“三个关键”攻破准确计数

卢 勇

两个计数原理是同学们解决计数问题的最基本、最重要的方法．借助“分类”“分步”两大武器，可以将复杂问题简单化，综合问题单一化，实际问题数学化．在求解过程中，同学们要合理运用转化化归、分类讨论、特殊与一般、正难则反等数学思想方法，要能正确计数，需抓住“三个关键”．

关键一 对照原理，准确理解题意

运用两个原理计数，首先要理解两个原理中“完成一件事”的含义．具体来说，就是要弄清四个“什么”，即元素是什么？位置是什么？放置的规则是什么？放置的方式是什么？这是解决具体问题的第一个关键．

例1（1）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？

（2）五名学生争夺四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

（3）书架第一层放有5 本不同的计算机书，第二层放有2 本不同的文艺书，第三层放有4 本不同的体育书．从书架中任取1 本书，有多少种取法？

（4）若从1,2,3,4,5 这5 个整数中同时取2 个不同的数，其和为偶数，有多少种不同取法？

思路剖析

表1

关键二 应用原理，合理规划路径

运用两个原理计数，必须区分“分类”还是“分步”．也就是要研究“怎样完成事情”，确定“分类”“分步”的标准，从而设计合理的计数路径．当限制条件较多时，需对各个限制条件仔细梳理，通常都是优先考虑特殊元素或者特殊位置，从而逐步减少限制条件，直至所有的特殊元素、特殊位置都普通化．在求解过程中，一般都是先分类后分步，同时要防止重复和遗漏，因此要做到分类标准“不重不漏”，分步过程“完整有序”．

例2如图，用4 种不同的颜色对图中5 个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________．

1 4 5 2 3

思路剖析

要对图中5 个区域涂色，自然考虑分5 个步骤，每一步给一个区域涂色，但是相邻的区域不能涂相同的颜色，不相邻的区域可以涂相同的颜色，而不相邻的区域涂色是否相同对后继步骤的方法数是有影响的．

因此需对不相邻区域是否同色分类讨论，或者通过设计涂色顺序，避免分类讨论，简化计数．

表2

例32020年春节放假7 天，某单位安排7 名员工值班，每人值班一天，每天安排1 人。若甲不安排第一天，乙不安排第二天，且甲、丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有多少种？

思路剖析

本题要“完成的事情”是将7 个元素(7 名员工)放入7 个位置(7 天)，其中特殊元素是甲、乙、丙，特殊位置是第一天、第二天，限制条件有三个：甲不安排第一天，乙不安排第二天，甲、丙在相邻的两天值班．

表3

关键三 回归原理，灵活转化问题

有些创新性问题，看起来很难，其实只要主动将问题与两个计数原理相联系，就能顺利转化求解．

例4(2012年湖北卷)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2 位回文数有9 个：11，22，33，…，99．而3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：

（1）4 位回文数有______个；

思路剖析

回文数虽然是新概念，但从定义中发现回文数的左右位置上的数字相同，所以只需考虑中间数位之前的各数位上的数字有多少种不同的取法．4 位回文数的个数取决于前两个数位上的数字个数，首位有9 个数字可以选用，第二位10 个数字可以选用，所以共组成9×10=90个数；位回文数的首位有9 个数字可以选用，从第二位到第n+1 位，每个数位上均有10 个数字可以选用，所以共有9 10×n个数．我们只要抓住问题的本质，把握解决这类题的方法，就能实现熟能生巧．

（“小试牛刀”见第48 页）