奇异Choquard方程解的多重性

张琦,高思妮

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

本文我们研究以下带有奇异项的Choquard方程

(1)

非局部椭圆型方程(1)与下面非线性Choquard方程密切相关,

-Δu+V(x)u=

(2)

其中N≥3,μ∈(0,N).当f(t)=|t|p-2t，g(t)=0时，Choquard方程

-Δu+V(x)u=

(3)

可以追溯到1954年Pekar对静止极化子量子理论的描述[1],以及1976年Choquard对困在自己空穴的电子模型的描述[2],此外,Penrose在文献[3]中提出方程(3)可作为一种量子力学波函数自引力塌陷的模型。近些年,方程(3)解的存在性和定性性质成果显著,参见文献[4-6]。当g(t)=0且f为更一般的情形时,文献[7-9]对(2)进行了研究。在[7]中,Moroz和Van Schaftingen在Berestycki-Lions型假设下考虑了方程基态解的存在。在文献[8]中,Alves等研究了具有位势井的非线性Choquard方程多包解的存在性。在文献[9]中,Chen证明了具有消失势函数的Choquard方程基态解的存在性。

据我们所知,仅Gao等人在有界区域研究了带有Dirichlet边界条件的Choquard方程。在文献[10]中,Gao研究了以下具有线性扰动项的Choquard方程

(4)

带有奇异非线性扰动项的Choquard方程目前很少有文献研究,参看文献[12]。而具有奇异非线性项的二阶椭圆方程[13]在研究非牛顿流体力学,黏性流体的边界层现象等实际问题中具有广泛的应用。在文献[14-17]中,作者研究以下带有奇异项的Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统

(5)

其中,Ω⊂R3是具有边界∂Ω的有界光滑区域，a,b≥0,参数μ,τ,λ∈R+。h和一般奇异项g满足以下假设:

(h)h∈L2(Ω),h(x)>0a.e.x∈Ω,

当a+b>0,τ=1时,Li等在文献[14]中证明了问题(5)解的存在性与唯一性。当a>0，b≥0，μ=1,λ=-1,h，g满足(h)，(g)以及f具有一般拟临界增长假设时,Zhang在文献[15]中得到当τ>0足够小时,问题(5)解的存在性。当g(t)=t-γ，γ∈(0,1)为更特殊形式的奇异项且b=λ=0时, Zhang在文献[16]证明了奇异Schrödinger-Poisson系统解的存在性,唯一性(μ=1，任意的h>0)以及多重性(μ=-1，h>0足够小)。其中，文献[17]研究了带有强奇异项的Kirchhoff-Schrödinger-Poisson系统正解的存在性和唯一性。

本文在有界区域Ω上讨论带有一般奇异项及一般非局部项的Choquard方程(1)。其中h,g分别满足(h),(g)，f满足以下“拟临界”增长假设:

(f3) 2F(t)≤f(t)t,t≥0。

首先,我们给出以下Hardy-Littlewood-Sobolev不等式。

其次,由g的单调性假设可知,存在C1,C2>0,使得

0≤G(t)≤C1t+C2,t∈R。

(6)

由(f1),对任意的ε>0,存在Cε>0,有

(7)

利用命题1和(7), 我们有

(8)

由(6),(8)及h∈L2(Ω),方程(1)对应的能量泛函

(9)

在E上有定义且连续。然而,由于奇异项的存在,泛函J不是Frechet可微的,因此我们不能利用通常的临界点理论得到解的存在性。我们给出方程(1)解的定义，设u∈E是方程(1)的解是指u(x)>0,a.e.x∈Ω且对任意的v∈E，

(10)

此外,由命题1,Sobolev嵌入定理及(7),我们可以得到以下收敛性结果。

命题2假设(f1)成立, 在E中,un弱收敛到u, 那么当n→∞时,

最后,我们给出主要结果。

定理1假设(f1)-(f3),(g)和(h)成立,那么存在λ*,使得当λ∈(0,λ*)时,方程(1)存在两个解u,v满足J(u)<0

我们的证明思路如下:首先证明当参数λ充分小时,泛函J存在负的局部极小值点并为方程(1)的一个解,其次,我们讨论扰动问题的山路型解,最后用逼近的方法得到问题(1)的第二个解的存在性。

1 方程(1)第一个解的存在性

为了得到方程的第一个解,我们讨论参数λ充分小时,泛函J的局部极小值点的存在性。

引理1假设(f1),(g)和(h)成立,

(i) 存在λ*>0,r,ρ>0,使得对任意的λ∈(0,λ*), 有

证明(i) 首先根据(6),(8)和Hölder不等式,对任意的u∈E，

J(u)≥r(m(r)-λC5|h|2)-

(11)

另一方面由(g),存在δ>0,使

(12)

由(6)及Sobolev嵌入定理，{G(un)}在L2(Ω)中有界。由G的连续性,G(un(x))→G(u(x)),a.e.x∈Ω.因此,在L2(Ω)中,G(un)弱收敛到G(u),由h∈L2(Ω),我们得到

(13)

由范数的弱下半连续性,命题2(1)及(13),有

为了证明能量泛函J的局部极小值点是问题(1)的解,我们需要以下关于奇异项的重要引理,证明见[14]。

引理2[14]假设(g)成立

(ii) 对任意的u∈E,并且u(x)>0a.e.x∈Ω,我们有

引理3 假设(f1),(g)和(h)成立,则当λ∈(0,λ*),J的局部极小值点u是问题(1)的解。

证明首先证明u(x)>0a.e.x∈Ω.定义u+(x)=max{u(x),0}，u-(x)=min{u(x),0}。根据F,G的定义,我们有m≤J(u+)≤J(u)=m,则可假设u≥0，对任意的v∈E且v≥0,当t>0充分小时,

(14)

设e1∈E是算子-Δ在E中的第一特征函数,则e1(x)>0,x∈Ω,于是

(15)

我们就得到u(x)>0a.e.x∈Ω.否则,存在T⊂Ω,使得m(T)>0,且u(x)=0,x∈T。由引理2(i),

与(15)矛盾。

最后,我们证明u是方程(1)的一个解。定义φ(t)∶=J(u+tu),t∈R,即

当t=0时,φ(0)=J(u),φ达到了它的局部最小值。又φ在t=0处可微,从而φ′(0)=0,即

(16)

对任意的v∈E及ε>0.定义vε∶=u+εv,Ω-={x∈Ω∶u(x)+εv(x)<0}, 由(14),(16),

从而

(17)

与文献[14]定理1.1的证明类似,由(17),我们可以得到

根据v的任意性,上式对-v仍成立,于是

根据解的定义,u为(1)的解。

2 定理1的证明

为了得方程(1)的第二个解, 首先考虑扰动问题

(18)

其中α>0,方程(18)对应的能量函为

显然Jα(u)∈C1(E,R).方程(18)的弱解u就是Jα的临界点,即u满足

(19)

对任意的s>0,因为g是不增的,所以

(20)

又因为当s≤0时,G(s)=0.所以当s∈R时,G(s+α)-G(α)≤G(s),因此对任意的u∈E

J(u)≤Jα(u)≤I(u) ,

(21)

其中,

且I∈C1(E,R)。

在(f1),(f2)的假设下,可以得到泛函I具有山路结构。

引理4假设(f1),(f2)成立,那么存在r0,ρ0,使得泛函I满足

(i)I|sr0≥ρ0;

(ii)存在u1∈E且‖u1‖>r0,使得I(u1)<0.

证明(i) 由(8),对任意的u∈E,根据Sobolev嵌入定理

由于μ∈(0,N),当ε充分小,显然存在r0,ρ0,使得(i)成立。

(ii)对任意的u∈E{0},t>0

根据(21),引理1及引理4,泛函Jα也存在山路结构, 即有

引理5设λ∈(0,λ*),(g),(f1),(f2)和(h)成立,对r,ρ>0,泛函Jα满足

(i)Jα|Sr≥ρ;

(ii)Jα(u1)<0。

定义

其中Γ∶={γ∈C([0,1],E)∶γ(0)=0,I(γ(1))<0},Γα∶={γ∈C([0,1],E)∶γ(0)=0,Jα(γ(1))<0}。根据(21),引理4、引理5,对λ∈(0,λ*),

c≥cα≥ρ>0。

(22)

以下讨论扰动问题(18)山路解的存在性。

首先证明{un}是有界的,根据(20),(f3)和(g),我们有

则{un}在E中有界。

其次证明{un}有收敛子列。由{un}在E中有界,那么存在子列仍记为{un}及uα∈E，使得当n→∞时，

(23)

(24)

接下来我们证明当α→0时,uα的极限是问题(1)的另一个解,为此我们需要下面的引理。

(25)

或者u≡0或者存在C>0使得u(x)≥Cdist(x,∂Ω),x∈Ω。

引理8 假设(f1)-(f3),(g)和(h)成立,当λ∈(0,λ*)时方程(1)存在解v满足J(v)>0。

则{uα}在中E中有界,则存在子列仍记为{uα}及v∈E使得当α→0时

且存在k2∈L2(Ω),使得对所有的α,|uα(x)|,|v(x)|≤k2(x)a.e.x∈Ω。

首先证明v(x)>0a.e.x∈Ω。在(19)中,取φ≥0,则

再由Fatou引理及命题2(3), 可得

与引理3中证明u(x)>0a.e.x∈Ω类似,可以得到v(x)>0a.e.x∈Ω。

其次证明在E中uα→v且v是(1)的解,即证明v满足(10)。由F,f,g的定义, 我们有

λhg(uα+α)≥0。

|hg(uα+α)φ|≤|hg(uα)φ|≤

|hg(Cdist(x,∂Ω))φ|≤

|hg(k0)φ|∈L1(Ω)。

这里k0=Cminx∈Ω1dist(x,∂Ω)>0.又hg(uα+α)φ→hg(v)φa.e.x∈Ω，通过Lebesgue控制收敛定理,

(26)

(27)

在(27)中令φ=v则有

(28)

另一方面,在(26)中令φ=uα,则有

(29)

根据(h),(6)及Lebesgue控制收敛定理,

定理1的证明由引理3和引理8,对每个λ∈(0,λ*),方程有两个解u,v∈E满足J(u)<0