周期信号均值型参数的矩形卷积窗加权测量

陈砚圃，张介秋

(1.西京学院信息工程学院，陕西 西安 710123；2.空军工程大学基础部，陕西 西安 710051)

0 引言

周期信号的均值型参数是指其定义中含有一中间周期信号均值项的一类重要参数。如周期信号的有效值和有功功率均为均值型参数，有效值的定义为信号平方(中间周期信号)的均值的平方根，有功功率的定义为电流信号与电压信号乘积(中间周期信号)的均值。周期信号均值型参数的测量可归结为求相应中间周期信号的均值问题[1-3]。

用采样法对周期信号进行分析时一般要求同步采样并满足奈奎斯特采样定理，同步采样是指对周期信号的截断时长严格等于信号周期以及采样周期的整倍数。但实际中信号的频率是时变的(不存在严格的周期信号)，而系统的时钟周期是固定的，因此测量中无法实现信号的等周期截断和同步采样，这将导致均值的异步测量误差[1-2]。针对周期信号的均值型参数，人们已经研究了同步采样法[4-6]、异步采样法[7-8]和误差修正法[9-14]等多种测量方法。其中异步采样法因无需同步电路且算法简单而广为应用。异步采样法虽然截断时长不能恰好覆盖整倍数个信号周期，但通过适当选择窗函数对信号加权后可实现对异步误差的有效抑制。根据实际需要，人们已经构建了大量的窗函数用于信号分析[15-20]。但现有的窗函数在构建时并未充分考虑周期信号的特点，用于周期信号参数测量分析时尚需具体的误差公式。

本文始于周期信号的逐次平均，且把逐次平均的中间结果视为相同周期的信号，深入研究周期信号均值型参数的矩形卷积窗加权测量，给出测量误差公式和应用条件，并与典型窗加权测量的性能进行比较。

1 周期信号均值型参数的逐次平均与矩形卷积窗加权测量

1.1 周期信号的均值

实际中准周期信号的周期通常是时变的，但在一小段时间内仍可近似为周期信号，故文中仍假设所分析的信号是周期信号。设g(t)为周期为T、均值为A的周期信号，其均值可以在以时间t为中心的一个周期内对信号求平均给出：

(1)

但在实际中通常无法得到严格的周期T，只能用其预估值T0代入式(1)对均值A进行测量：

(2)

由于不是严格地在一个周期内求平均，用上式对A进行测量一般存在误差，而且是时间的函数。

1.2 逐次平均与矩形卷积窗加权

A1(t)也是周期为T的周期信号，而且是g(t)均值的无偏测量(见后)。因此，为了进一步提高均值的测量精度可以继续用A1(t)替代式(2)中的g(t)求平均得到A2(t)，以此类推逐次进行求平均，得均值的p次平均测量为：

(3)

这是一个迭代过程，迭代次数p越大，均值测量的精度就越高[1-2]。

如果直接用以上逐次平均法测量周期信号的均值，需要反复对各中间测量结果求平均，计算量大，为此须进一步研究相应的等效算法。由于式(2)是在有限区间[t-T0/2，t+T0/2]上的积分，自然可以写为基于窗函数的加权表示：

(4)

其中，

(5)

(6)

式(4)—式(6)中，r1(t)为单位宽度、单位面积的归一化矩形窗函数，w1(t)为宽度为T0、面积为1的矩形窗函数。二者均为偶函数，式(4)可以写为：

(7)

值得注意的是，上式正是标准的卷积形式：

(8)

同样式(3)可以写为：

Ap-1(t)*w1(t)=Ap-2(t)*w1(t)*w1(t)=

(9)

因此有：

(10)

(11)

这清楚地表明，周期信号均值的p次平均测量恰好等价于基于窗函数的直接加权测量，该窗函数称为p阶矩形卷积窗，它由式( 11)所示的p个矩形窗函数的相互卷积给出。

p阶矩形卷积窗与归一化矩形卷积窗满足以下关系:

(12)

(13)

式(13)中，rp(t)称为p阶归一化矩形卷积窗。

只要有p阶矩形卷积窗的具体形式，则通过窗函数查表与信号加权即可直接计算出周期信号均值参数，无需逐次迭代因而计算简单高效。工程中，基于2～4阶矩形卷积窗对周期信号的加权测量即可满足不同的精度要求。

对式(6)给出的1阶归一化矩形窗进行互卷积[12]，得2～4阶归一化矩形卷积窗的解析式:

(14)

(15)

(16)

可以看出p阶归一化矩形卷积窗的窗宽为p，特别是p=2时的矩形卷积窗为三角函数。图1分别给出了1阶(点线)、2阶(点划线)、3阶(划线)和4阶(实线)归一化矩形窗。预估周期为T0的p阶矩形卷积窗由式(12)给出，相应的窗宽为pT0。

图1 1～4阶归一化矩形卷积窗Fig.1 Plots of the first four normalized rectangular convolution windows

2 周期信号均值型参数窗函数加权测量的性能分析

2.1 周期信号矩形卷积窗加权均值测量误差

设周期信号g(t)所含谐波的最高次数为K，其正弦级数展开式为：

(17)

代入式(2)，均值A的1次均值测量为:

(18)

其误差对应各高次谐波的线性迭加，随时间变化的均值为0，所以1次平均测量A1(t)为均值A的为无偏测量。当T0等于T时，sinc函数的值为0，均值测量不存在误差。另外由于sinc函数的绝对值小于1，即便T0不等于T，平均测量对各次谐波均能起到抑制作用。

可以看出，1次平均的效果相当于用sinc(kT0/T)分别对各高次谐波进行衰减。为了进一步提高均值的测量精度可以继续用A1(t)替代式(2)中的g(t)求平均得到A2(t)，以此类推进行逐次平均，均值的p次平均测量为:

(19)

由于周期信号均值的p次平均测量与p阶矩形卷积窗加权测量相等，上式也即周期信号均值的p阶矩形卷积窗加权测量的结果，且与A1(t)一样也是均值A的为无偏测量。

式(11)表明p阶矩形卷积窗可视为由p个窗宽为T0的相同矩形窗的相互卷积，其窗宽为pT0。为了对照不同的窗函数对周期信号均值的加权测量效果，一个基本前提条件就是它们应具有相同的窗宽。为此引入周期信号的归一化窗宽ρ，它表示窗宽与信号周期T的比值，则式(19)可以写为:

(20)

其中,

αpk=sincp(kρ/p)

(21)

式(21)中，αpk为k次谐波的传递系数，它是归一化窗宽ρ和谐波阶次k的函数。t时刻周期信号均值的测量误差由式(20)的第2项给出:

(22)

误差随时间起伏变化，相应的标准差为:

(23)

由式(22)和式(23)可以看出，各传递系数集中体现了均值的测量误差，因而非常适合对矩形卷积窗加权均值测量的性能进行分析。

图2(a)—(d)分别为1～4次谐波时，1～4阶矩形卷积窗对应的传递系数与归一化窗宽ρ的关系。对1阶矩形卷积窗(点线)，在ρ为整数处，所有谐波的传递系数均为0；对2阶矩形卷积窗(点划线)，在ρ为2的整数倍处，所有谐波的传递系数均为0；对3阶矩形卷积窗(划线)，在ρ为3的整数倍处，所有谐波的传递系数均为0；对4阶矩形卷积窗(实线)，在ρ为4的整数倍处，所有谐波的传递系数均为0。也就是说，对p阶矩形卷积窗，在ρ为p的整倍数处，即当窗宽为p个信号周期的整倍数时，所有谐波的传递系数均为0，均值的加权测量无误差。

应用中一方面要减小周期信号均值的测量误差，同时还要提高信号分析的时效性，为此p阶矩形卷积窗的窗宽总是取为等于或尽可能接近p个信号周期。

图2 谐波传递系数与矩形卷积窗归一化窗宽Fig.2 The harmonic transfer coefficients vs. the normalized width of rectangular convolution window

2.2 周期信号矩形卷积窗与典型窗加权均值测量比较

当p阶矩形卷积窗的窗宽等于p个信号周期时，均值测量误差为0。但由于信号周期是变化的，同时系统的时钟周期又是常数，因而实际中矩形卷积窗的宽度难以恰好取为信号周期的整数倍，这就带来均值的异步测量误差。为了表现加窗过程中的这种时间不同步，引入相对频偏:

ν=(f-f0)/f0=(T0-T)/T

(24)

当p阶矩形卷积窗的窗宽等于pT0时，则各次谐波的传递系数可表示为:

(25)

当相对频偏ν非常接近0时，上式近似为:

(26)

均值测量的误差也可用Ap(t)的标准差描述:

(27)

可见，周期信号均值的p阶矩形卷积窗加权测量的误差近似与相对频偏的p次方成正比。因此基于矩形卷积窗对周期信号进行加权可以有效降低均值的测量误差，矩形卷积窗的阶次越高、相对频偏越小效果越明显。图3为基于式(25)给出的矩形卷积窗(自上向下的点线、点划线、划线和实线分别对应1阶、2阶、3阶和4阶矩形卷积窗)的窗宽在接近pT0时，基波传递系数的幅值与相对频偏ν(-2.5%～2.5%)的关系。实际上，由式(26)可知当相对频偏很小时谐波传递系数的幅值与谐波的次数近似无关。

图3 谐波传递系数与相对频偏的关系Fig.3 The harmonic transfer coefficients vs. the relative frequency deviation

加窗是对信号进行频谱分析的常用方法，针对不同用途人们已经提出了各种形式的窗函数。这些窗函数自然也可以用于周期信号的均值测量。通过比较卷积窗函数与其他窗函数对周期信号加权后的谐波传递系数，评价各窗函数对周期信号加权均值测量的性能。我们对各个典型窗函数[7-8]通过数值计算进行了测试，结果表明在相对频偏很小时矩形卷积窗的传递系数明显小于同宽的其他窗的传递系数。图4为p阶(2～4阶)矩形卷积窗与同属p个周期窗宽的典型窗函数加权后基波(左图)和3次谐波(右图)的传递系数与相对频偏的关系。(a)和(b)分别对应2阶矩形卷积窗(实线)与同属2周期窗宽的Hann窗(点线)和Hamming窗(划线)；(c)和(d)分别对应3阶矩形卷积窗(实线)与同属3周期窗宽的3项Ⅰ类Rife-Vincent窗(点线)和3项最小Nuttall窗(划线)；(e)和(f)分别对应4阶矩形卷积窗(实线)与同属4周期窗宽的4项Ⅰ类Rife-Vincent窗(点线)和4项最小Nuttall窗(划线)。在几个子图中，当|ν|<2%时矩形卷积窗(实线)对应的谐波传递系数的幅值最小，且当ν趋于0时矩形卷积窗对应的幅值远小于其他窗对应的谐波传递系数的幅值。

图4 矩形卷积窗与典型同宽窗函数加权后基波和3次谐波的传递系数与相对频偏的关系Fig.4 The transfer coefficients vs. the relative frequency deviation by weighting rectangular convolution windows and other typical windows

3 正弦信号有效值的矩形卷积窗加权测量

以正弦信号有效值的测量为例，说明矩形卷积窗加权求均值的有效性。设正弦信号为:

(28)

式(28)中,U为交流信号的真有效值。取上式平方后信号为中间信号:

(29)

该信号同样是周期信号，其均值的平方根即为正弦信号的有效值。由式(10)，u2(t)均值的p阶矩形卷积窗(窗宽为pT0)加权测量为：

(30)

而有效值的p阶测量为：

(31)

由式(20)，有效值平方的均值为：

(32)

当相对频偏很小，上式中的第二项远小于第一项，故交流电压信号有效值的测量为：

(33)

该有效值测量的标准差为：

(34)

实际中对信号的采样应满足采样定理，对信号频率的预估应尽可能接近实际周期。为了进一步验证理论的有效性，通过式(30)对式(28)给出的信号进行数值计算。其中信号在一个预估周期内的采样点数为50，信号的相对频偏取值范围为-2.5%～2.5%。图5中自上而下分别为1阶、2阶、3阶和4阶矩形卷积窗加权有效值测量的相对误差，实线为理论值，“+”为数值计算的结果，二者非常吻合。随着矩形卷积窗阶数的提高，有效值加权测量的相对误差迅速下降。如相对频偏为1%时，1阶、2阶、3阶和4阶矩形卷积窗有效值加权测量相对误差的数量级分别为10-2，10-4，10-6，10-8的数量级。

图5 有效值测量的相对误差与相对频偏的关系Fig.5 The relative errors of RMS measurement with the relative frequency deviation

4 结论

本文始于可有效抑制周期信号均值测量异步误差的逐次平均思想，导出了在理论上与逐次平均等价的周期信号均值型参数的矩形卷积窗加权测量方法。借助谐波传递系数定量分析了矩形卷积窗加权测量的误差，明确了其应用条件。周期信号均值型参数的矩形卷积窗加权测量误差随矩形卷积窗阶次的提高呈指数下降，通过与相同周期窗宽的窗函数进行比较表明，周期信号均值型参数的矩形卷积窗加权测量在测量精度上具有显著优势。基于2～4阶矩形卷积窗对有效值的加权测量进行了理论分析和数值计算，验证了周期信号均值型参数矩形卷积窗加权测量理论的正确性和有效性。