利用图形等式提高低段学生对数量关系的理解能力

魏琼 汤骥

【摘   要】低段学生由于思维定式和理解能力的限制，对数学应用题的数量关系往往缺乏综合分析能力。教师可采用图形代数的教学形式代替大量同类题目的练习，以逐渐加深学生对数量关系的理解。除此之外，作为工具的图形等式有助于学生关注数量关系的本质，进而拥有更高层次的数学解题能力。

【关键词】图形等式;数量关系;理解能力

学生在解决数学问题时，需要完成一系列思维活动。有部分学生的解题思维不是建立在对题目数量关系进行综合分析的基础上，而是孤立地以题目中的一些表面的、个别的外部因素为依据。这一现象在小学低段学生中尤其突出。

【事件回顾】

在一次二年级除法教学的课堂练习中，笔者出示了这样一道题：每条船可以坐10个人，现在有2条船，可以坐多少人呢？结果有9名学生这样解答：10÷2=5（人）。笔者与做错的学生进行了交流。两名学生的回答很有代表性。

生1：有“每”字就可能是乘法，但口诀里没有10×2，我们没学过。

生2：我发现，问题中有“可以”两个字就要用除法来做。

从交流中我们不难发现，除了受思维定式的影响外，部分学生解决应用问题有两大“法宝”：（1）看关键字。看到“一共”就是加法，看到“还剩”就是减法，看到“每份”就是乘法。（2）看数的特征。比如出现23和4，那一定是用加减法来做的;出现24和4，那大致是用除法来做的。至于这道题为什么要用除法来做，量与量之间到底存在哪些关系，这些本质的问题并不在学生的考虑范畴内。

【原因分析】

追根溯源，我们不难发现，学生在解决问题之起初，凭借的是生活经验，使得他们在解决求总数、求剩余的应用问题时形成了“一共—加法”“还剩—减法”的简单联系。这些联系在日后的练习中得到不断的强化和印证，逐渐成为学生解题的“法宝”，一旦题目的表达和数量关系发生变化，表面的信息不能简单地加以利用，错误就不可避免地发生了。正是因为学生具有按经验解题的习惯，加上他们的思维具有具象性，所以他们不能用概括化的语言分析题目中的数量关系，在解決问题时往往会受到量的变化的困扰。

另外从教材的编排来看，数与代数的应用问题往往是结合计算教学进行的。计算教学时一般通过实际问题引入，在学生掌握计算方法以后，再进行应用问题解决。这样分散编排的模式使得解决问题虽大量存在，但由于过分强调的现实情境，造成各类应用问题之间缺少一种内在的联系，学生难以理解和把握数量关系之间的内在联系。

【对策思考】

解决应用问题，其基本要素就是情境+数量关系。传统的应用问题教学往往是从大量的同类题目练习中，逐步脱去情境“外衣”，提炼出数量关系。低段学生由于缺乏一定的概括能力和理解能力，并不太容易接受。也正因为如此，《课程标准》中直到第二学段才提出在具体情境中了解常见的数量关系。那么这些数量关系在教学问题解决时就不需要了吗？教师是否可以用一种学生能接受的方式来梳理问题的数量关系呢？

笔者认为可以用图形等式表示数量关系的方式来提高学生对数量关系的理解能力。其实施步骤如下。

一、以形代数，架设具体思维到抽象思维的桥梁

用图形表示数，可以说是代数思维的雏形，对于以具体思维为主导的二年级学生来说有一定困难。如何在低段进行代数思想的渗透呢？教师需要寻找合适的载体和切入口进行渗透和训练，化难为易，有步骤地让学生完成由实物到图形、由数到图形的转化。

事实上，仔细研读教材就会发现，二年级教材提供了许多合适的载体。比如教材在线段图形成的处理上就循序渐进地展现了由实物到线段图的转变过程。教师在教学时可以抓住这些素材，有目标、系统地对学生进行训练，让学生体会物与形的变化过程。

在此过程中，教师还可以借助练习进行数到形的转化。比如可以将这样的练习“在（   ）里填数：6×（    ）=42”改为“6×△=42，想想△等于几，这个式子可以表示什么意思”，让学生知道图形可以代表未知数。再如在学生对乘法有了进一步的理解之后，教师可以设计如下练习（如图1），让学生想一想，如果这样一直表示下去，能表示完吗？如果用图形来表示数，螃蟹的腿可以怎么来表示？

有了前面的基础，学生很快就能说出可以用4×△，4×☆等来表示螃蟹腿的条数，充分体会到用形代数的优势。通过引导还可以让学生意识到，不管符号的形象如何改变，只要它所代表的关系结构不变，它的本质意义就不会改变。久而久之学生对图形产生熟悉感，对由图形表示的数感到习以为常，对图形参与运算逐步认同，对式可以表示量也慢慢熟悉了。

二、图形推算，积累“式”的感性经验

从算术思维到代数思维是学生认知结构的一次质的飞跃，因此在实施时会受到学生所拥有的知识背景及思维定式的影响。像在上述类似“6×△=42”的练习中，我们发现学生往往会根据“因数=积÷另一个因数”来思考，也就是说，虽然学生接受图形可以表示数，但其思考过程仍然是由已知来推导未知，在他们的意识中，未知量是不可以参与运算、不可以用于表达关系的。针对这一问题，教师可以在学生对图形参与运算逐步认同的基础上，安排一些简单的图形推算，让图形参与运算，学生由此积累关于代数的感性知识，逐步达成对代数语言的初步理解和基本应用。比如在下面的练习中（如图2），教师可以补充图形题，让学生体会到，只要意义相同，未知量可以和已知量一样进行列式，含有未知量的式子可以表示一种关系、一种量。

三、转换情境，感受数量关系的本质

在学生对图形算式有了充分积累的基础上，教师可以通过图形等式，把最基础的数量关系展现在学生面前，让学生来编应用题。如根据21+△=40，让学生想想这里的每一个量可能表示什么，引导学生为这些关系套上情境“外衣”，在大量的情境中感受数量关系，理解不管情境如何变化，其数量关系的本质都是一样的。

在学生对数量关系有了本质的了解后，教师可以改变同一关系的未知量，引导学生对这些问题进行变化和归类。比如上面的21+△=40，可以让21，40成为图形代替的未知量，让学生在编题组的过程中，体会这三个题可以用同一种关系进行思考，并利用“图形推算”体会某种数量关系是可逆可换的，逐步形成所涉及的几类一步计算应用问题的模型建构。

如果学生基础较好，教师还可以进行稍复杂的关系整理，比如结合下面例题（如图3），引导学生用“△”表示还要烤的次数，表达为：36+9×△=90，并出示对比题组，分别将36，9，90等设置为未知量，让学生感受到虽然未知量不同，但当用图形来表示它们之间的关系时，其实并没有发生变化。通过教学，帮助学生逐步形成用图形表示数来分析和解决问题的意识。

四、抓住主干，建立两步计算应用題模型

为了让学生更好地理解和解决问题，教师可尝试用图形等式来引导学生理解两步计算应用题的解题主干和顺序。

二年级的两步计算应用题数量关系大致可以分为两大类：一类是按前后顺序进行的，比如说乘车问题，学生只要根据事情发展的前后顺序进行列式计算就可以，问题不大;另一类是有主次之分的，如乘加、乘减等类型，由于变化相对复杂，学生在理解时就容易出现偏差。这类应用题也是教师重点指导的对象。

在教学二年级乘加两步计算应用题时，教师可以采用以式换数、以式换形等多种形式，从题目主干出发，让学生体会到式也是数，可以参与运算，建立两步计算应用题的模型。比如将形如24+6=30的算式作为问题主干，让学生通过变换情境体会不同情境下相同的数量关系，将此算式变换为4×6+6=30，24+24÷4=30，让学生将自己编写的情境也作相应的改变。学生体会到在这里，24和4×6其实是等价的。基础不错的学生还可以进一步改变未知量，出现形如24+△=30的问题主干进行变化。像这样，不断引导学生把式与数、式与量联系起来，对于提升学生的问题分析能力大有帮助。

我们完全相信，当学生对用图形等式表示数量关系能运用自如之后，图形等式将作为一个重要的工具，帮助学生关注问题的本质，正确地表达数量关系，从而拥有更高层次的数学解题能力。

（浙江省诸暨市东和乡中心小学   311800

浙江省诸暨市教育研究中心   311800）