由联系到区别 从过程到方法

朱挺红 陈喜卫

【摘   要】同一个单元不同课时的学习内容往往是有联系的，这种联系体现了数学知识的结构性与思维方式的迁移性。“乘、除法的意义和各部分间的关系”与“加、减法的意义和各部分间的关系”一起，构建了四则运算的知识结构，因此，此课的教学结构与上一课基本相同，而且有了更多的自主学习时间，让上一节课获得的学习经验得到了应用。

【关键词】乘、除法意义;联系到区别;过程到方法

“乘、除法的意义和各部分间的关系”这一课时的教学结构与“加、减法的意义和各部分间的关系”的教学基本相同。同时，教师在教学时还要进一步思考：乘法的意义从哪里来？除法之于乘法的关系和减法之于加法的关系有哪些结构上相同的地方，是否可以从上一节课所获得的学习经验中进行合理的迁移？在设计练习时，又可以从哪几个维度进行练习，以深化学生对于乘、除法意义的理解与关系的建立？带着这些问题，我们进行了实践。

一、乘法意义的理解

在学习乘法的初步认识时，学生已经认识到乘法与相同加数连加的关系，并结合具体的计算感受到乘法比多个相同加数连加更简单。因此，在概括乘法意义时，可从计算不同类型的加法入手，让学生在计算体验的过程中逐步概括出乘法的意义。

（一）在加法计算中概括乘法的意义

1.计算

教师出示题目，要求学生直接写出得数，完成后和同桌说一说思考过程。

（1）9+9=       （2）3+7+8=

（3）4+3=        （4）3+3+3+3=

（5）[7+7+7+……+711个7=]

2.分类

请学生说一说是怎样快速算出得数的。当学生说可以把第（1）（4）（5）题转化成乘法计算时，教师在相应的题目下面板书乘法算式并请学生进行分类，呈现乘法与加法的区别（如图1）。

3.概括

通过图1左右两种加法算式的比较，学生概括出了右边这列算式可以用乘法计算的特征，并在计算过程中概括出乘法的定义。

一般地，数学概念有两种解释形式，一种是举例子，一种是下定义。为了概括定义，在举例子时，还要设法去除非本质特征，为此需要列举具有非本质特征的例子进行比较。乘法意义的概括，正是经历了这样的过程。

（二）在不断比较中理解关系式

为促使学生进一步思考，在编制比较题时，教师特别重视凸显本质特征的一些细节。在概括出乘法的定义后，教师让学生对图1中的第（3）题与第（4）题进行比较，说说这两题有什么相同的地方与不同的地方。根据学生的回答，概括出乘法的表达式：因数×因数=积。

在此基础上，教师要求学生用线段图分别表示“3+4=7”与“3×4=12”的含义，能够用几种方法就用几种方法。学生独立完成后交流，形成如图2的线段图组。

教师继续引导学生对图示进行横向比较，学生发现加法与乘法中都有“合并”与“比较”两种不同的意义。在“合并”关系中，加法是“两个加数的和”，进一步概括出关系式：部分数+部分数=总数。乘法的关系式则是每份数×份数=总数。在“比较”关系中，加法的关系式是较小数+相差数=较大数。乘法的关系式则是1倍数×倍数=几倍数。

比较是数学学习的一种思维方式，通过比较可以寻找到不同數学知识中的相同点，可以发现相同数学知识中的不同处，从而更深刻地理解数学。

（三）依据关系式编制数学问题

在依据图2的线段图概括出关系式后，教师又要求学生依据线段图中的数据，提出具体的问题，以进一步加深对加法含义与乘法含义的理解。

这样的比较在二年级上册“表内乘法”教学中已经出现过（如图3）。

以此类推，在三年级下册“倍的认识”教学时，也可以与相差关系的应用问题进行比较。本节课教学中的比较与编写应用问题只是更加综合地加以回顾。如对于“比较”关系的加法与乘法有学生编制如下问题。

倍数关系：弟弟今年4岁，哥哥的年龄是弟弟的3倍，哥哥今年几岁？

相差关系：弟弟今年4岁，哥哥的年龄比弟弟大3岁，哥哥今年几岁？

依据以上关系编制出加法与乘法意义的应用问题后，教师出示如下问题：一个长方形长4米，宽3米，面积多少平方米？

学生发现这一题也用乘法计算，得到的关系式是：长×宽=长方形的面积。教师提问：“它可以归纳到哪一类乘法中？”学生结合图示发现它可以归纳到合并关系之中，但又与原来的数量关系有所区别，可以看成一种新的乘法意义下的合并关系。教师出示图4，请学生观察，这是小学阶段乘法意义的结构图，其中左上角是它的基本意义，其余的是乘法基本意义的延伸，右下角虚线框中的内容则是六年级上册“分数乘法”单元中“求一个数的几分之几是多少”的关系式与图式，后续学习时需要补充。

以上的乘法概念的理解过程，是从加法计算出发，学生在边计算、边观察、边体验的过程中，概括出乘法的定义，再通过画线段图与列关系式的方式进一步揭示乘法意义，最后编制具体的应用问题，再一次认识乘法的意义。

二、除法意义的理解

与减法的定义由来相同，除法的定义也是由乘法的定义逆推而来的。有了减法定义建构的经验，教师可以放手让学生自主探究除法意义，再组织评析总结。同时，从乘法定义推导得到的除法定义是抽象的、形式化的，因此，需要用各个层次的具体事例加以诠释，才能真正体现除法意义的价值。

（一）自主概括除法的定义

在学生理解了乘法的意义后，教师请学生想一想，与乘法有联系的还有哪一种运算，怎样定义除法的运算，并依据已有乘法算式举例说明。

如果学生独立探究除法的定义有困难，教师可以出示课件，让学生回顾减法的定义（如图5），再让学生类比与迁移，自主建构乘法与除法的结构图示，通过展示与交流，形成图6。

数学中知识之间可以类比与迁移是数学知识结构化的体现。基于单元整体设计，教师要努力寻找单元内各个课时的联系，从知识结构、思维方式等方面寻找它们的相同点。

（二）自主构建除法关系式

除法定义来源于乘法概念，同样地，除法关系式也可以由乘法关系式推导而来。教师可以结合线段图，让学生感受到除法关系式是由乘法关系式推导得到的，构建起乘法与除法关系的结构图，并把乘法关系式作为基本关系式。形成这样的思维方式，就能为后续学习列方程解决问题中寻找数量关系打好基础。

教师指着图4的内容，请学生想一想，怎样依据乘法关系式写出除法关系式。学生完成后交流完善，形成如图7所示的板书。用箭头在乘法关系式中表示出除法关系式，以此体现除法是乘法的逆运算。

（三）自主改编应用问题

作为理解除法意义的应用问题编写，主要是让学生结合具体例子再一次认识除法中“均分”的含義。因此，在学生把之前编写的“3×4”的应用问题改编成除法的应用问题后，教师要求学生选择“包含除”的例子，在相同情境下编写用算式“12-3”或“12-4”表示的应用问题，从比较中发现“分”与“均分”的区别。

如学生根据乘法应用问题改编了除法应用问题：有12个苹果，每3个装一盘，可以装这样的几盘？

教师要求学生同样用“苹果装盘”的情境，编写一道用“12-3”表示的应用问题。学生编写如下：有12个苹果，装成两盘，其中一盘装3个，另外一盘装几个？

接着画出相应的线段图，比较除法中的“每份数”与减法中的“部分数”的区别。

显然，除法意义的理解是基于上节课中减法意义理解的学习经验，强调采用自主学习来获得新知，形成知识结构。这种学习经验也可以迁移到有类似结构的单元整体设计之中，如多边形面积计算公式的推导，可以提供结构化的学习材料，把平行四边形面积计算公式的推导经验运用到后续三角形与梯形面积公式的推导过程之中。

三、课堂练习的设计

在练习过程中有新收获，这是检验练习有效性的重要标准。利用乘法与除法两种运算的相互转化解决问题，弄明白有余数除法与乘法的相互关系，是实现新收获的切入点。

（一）概括有余数除法的关系式

教师出示如下算式，先请学生说一说各个算式中括号里表示什么数，怎样求，然后独立计算。

（1）60×（   ）=540    540÷（   ）=90

（2）（   ）÷6=90        2+（   ）=6

（3）（   ）÷18=23……6

（4）420÷（    ）=16……4

学生完成后，教师要求学生概括第（2）（3）题中求被除数和商的关系式，概括第（3）（4）题中求被除数、除数以及商的关系式。

（二）尝试分步算式列成综合算式

上面的第（1）（2）题是题组，第（1）题两个算式中均有“540”，但它们的意思不同;第（2）题第二个算式中的和，刚好是第一个算式的除数。依据这样的关系，请学生分别把第（1）（2）题列成综合算式：60×9÷6;540÷（2+4）。

把有联系的两道一步计算列成综合算式，可以培养学生的逻辑思维能力，增强学生的数感。这里特别要注意的是，由第（2）题组改变而来的综合算式需要增加小括号，改变原来的运算顺序，也为下一节课学习“中括号”做了准备。

（三）利用综合算式编题

第二层次的练习是在第一层次的基础上进行的。再进一步，教师可要求学生把第一层次的四题编成某一类情境下的应用问题。由四人小组合作完成，先集体讨论用什么情境来编写，每一个数代表哪一个信息比较合适。然后分工完成，组内交流，最后集体反馈。

可以发现，以上三个层次的练习层层推进，学生在不断应用新知解决问题的过程中又有新发现，积累新经验。

回顾本节课的教学过程，并与前一节课进行比较后，我们发现，有一些课的教学内容虽然不同，但是它们之间的教学思路可以相同。这样做，有利于学习经验的迁移，有利于学生自主探究数学知识，也有利于形成数学知识结构。

（浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学   311254）