基于教材整合的复习课教学*——以“空间垂直关系”为例

江苏省苏州市田家炳实验高级中学 (215004) 李隽易

复习课是数学教学中的重要课型之一，其目的是帮助学生系统整理所学知识，形成结构化的认知，并在问题解决过程中融会贯通，实现知识的内化．教材是课程的载体，也是高考题的源头，因此，回归教材、整合教材是复习课教学的重要前提．立足复习课的特点，基于教材整合的复习课教学应整合知识，纲举目张；整合例习题，寻根探源；探究变式，融会贯通．

1.整合知识，纲举目张

整合知识的行为，来源于对运用知识的诉求．理解学科的基本结构是运用知识的最低要求，而理解知识的适用情境，则有利于问题识别与知识激活．因此，可从两个方面进行知识整合．

一是，强调知识联系，明晰知识结构．例如，立体几何章节中“空间垂直关系”主要包括两直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三个主要内容，以及它们之间的相互关系．如图1所示，复习时可画出知识结构图，以帮助学生形成结构良好的知识体系．

图1

二是，强调问题统领，明确适用情境．有关“空间垂直关系”的证明问题主要包括异面直线垂直、线面垂直以及面面垂直问题．在复习时，可直接提出问题，“可证明两条异面直线垂直的方法有哪些”“可证明直线与平面垂直的方法有哪些”“可证明平面与平面垂直的方法有哪些”，以帮助学生从问题解决的角度梳理数学知识．

实行多样化的知识整合，有助于学生从不同角度去审视知识、理解知识，为知识运用做好准备．

2.整合例习题，寻根探源

教材例习题由教材编写者精心编制，既是运用数学知识的典型案例，又是反映数学思想的重要载体．横向来看，同一个知识点通过不同的现实模型来呈现，体现了数学表征与数学应用的多样性，有利于学生把握数学知识的实质；纵向来看，分布在不同章节中的一系列知识点通过同一现实模型来呈现，从数学问题的层层推进中，展现数学研究的不断深入，既有利于学生把握知识点之间的联系，也有利于学生领会、掌握分解问题、转化问题进而解决问题的方法．其中，教材例习题的横向整合更适合于新授课，而纵向整合更适用于复习课．

以“空间垂直关系”为例，教材对正方体模型的研究，贯穿了异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的学习过程．复习课中可通过再现、重组、改编等方式，整合相应的例习题，实现数学问题的“有层次推进”．

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中．

(1)求证：BD⊥平面AA1C；

(2)求证：A1C⊥BD；

(3)求证：A1C⊥BC1；

(4)求证：A1C⊥平面BC1D．

图2 图3 图4 图5

证明：(1)如图2所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AA1．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为AA1∩AC=A，AA1⊂平面AA1C，AC⊂平面AA1C，所以BD⊥平面AA1C．

(2)如图3所示，由(1)知，BD⊥平面AA1C，又因为A1C⊂平面AA1C，所以A1C⊥BD．

(3)如图4所示，连结B1C．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥A1B1．因为四边形BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又因为A1B1∩B1C=B1，A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．又因为A1C⊂平面A1B1C，所以A1C⊥BC1．

(4)如图5所示，由(2)(3)知，A1C⊥BD，A1C⊥BC1，又因为BD∩BC1=B，BD⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D．

说明：例1改编自苏教版《必修2》第38页练习的第3题，第41页习题1.2(2)的第7题、第15题．其中，第(3)小问是第(1)(2)问的简单迁移运用，而第(4)小问则是第(1)(2)(3)问的组合运用．

例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA1中点．求证：

(1)A1C∥平面BDE；

(2)平面BDE⊥平面BC1D．

图6

证明：(1)如图6所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结AC交BD于O，则O为AC中点．因为E为AA1中点，所以OE为△BDE中位线，即EO∥A1C．又因为EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE，所以A1C∥平面BDE．

(2)由例1知A1C⊥BD，A1C⊥BC1．由例2(1)知EO∥A1C．所以EO⊥BD，EO⊥BC1．又因为BD∩BC1=B，BD⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，所以EO⊥平面BC1D．因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BC1D．

说明：例2改编自苏教版《必修2》第69页复习题的第17题．其中，例2(2)则是例1与例2(1)的组合运用．

点评：例2(2)是一道较为复杂的问题，学生通过例1、例2的学习，体会数学问题由简单到复杂的演变过程，领会分解问题、转化问题的思想，学会在研究数学问题时识别数学问题“小的时候的样子”，进而找到解决问题的切入点和突破口．与此同时，在数学运用的过程中，领会、掌握知识间的联系．

3.探究变式，融会贯通

解决问题的变式是联结未解决的复杂问题和已解决的简单问题之间的一系列中介问题，其主要作用是为化归提供铺垫．从这个意义上来说，整合后的教材例习题，本就是一系列的变式．而在复习课教学中，可在此基础上进一步延拓，形成新的变式，继续推进对现实模型的研究，进一步培养学生综合运用相关知识研究问题的能力．

另一方面，也可将整合后的教材例习题视为问题解决的样例．将学生在师生互动下的问题探究视为对问题解决样例的学习．因此，教学中应提供样例的变式，以帮助学生在样例方法的迁移过程中，深化对相关问题解决方法、策略的理解与融通．

变式在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA1中点，记AC∩BD=O，求证：C1O⊥平面BDE．

图7

证法1:(结论推进)如图7所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为四边形ABCD为正方形，AC∩BD=O，所以O为BD中点．因为C1B=C1D，所以C1O⊥BD．由例2知平面BDE⊥平面BC1D．又因为平面BDE∩平面BC1D=BD，C1O⊂平面BC1D，所以C1O⊥平面BDE．

图8

证法2:(方法迁移)如图8所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结A1C1，分别取A1C1,A1B1中点O1,F，连结AF,FO1,AO1．

因为AA1∥BB1且AA1=BB1，BB1∥CC1且BB1=CC1，所以AA1∥CC1且AA1=CC1，故四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1且AC=A1C1．又因为O,O1分别为AC,A1C1中点，所以AO∥O1C1且AO=O1C1，故四边形AOC1O1为平行四边形，所以AO1∥OC1．

图9

点评:该题为例1、例2的变式，与例1、例2结构相似但更为复杂，并且不同的迁移视角，反映出的证明方法也不同．证法1是对例2结论的进一步推进，学生可在例2的基础上联结更多的数学知识，深化对知识结构的理解．而例1、例2也为变式的解决提供了较多铺垫，使得学生可以顺利地解决较为困难的问题．证法2是对例1解题方法的迁移，学生可在此过程中巩固所学，并解决相似解法中的新问题，进而深化对解题方法的理解．