浅谈高考解三角形常见问题

谭世敏

【摘  要】“解三角形”是高中数学教育中的重要内容，也是高考中的常见题型之一，在其中包含三角函数、平面向量等多个方面的内容，在解决这类问题时，往往需要依靠三角形中的边、角、面积等方面。本文就着眼于高考中解三角形的常见问题，提出如何帮助学生提高解三角形的能力，让学生在高考中高质地解决这方面的问题，从而取得理想的成绩。

【关键词】高中数学;解三角形;常见问题

解三角形的本质就是帮助学生理清三角形当中的所有边、角关系，让学生求解三角形中所有的边、角问题，从而提升学生的数学问题解决能力。

一、解三角形在高考中的地位

通过对近些年高考试卷的分析，我们能够看到，解三角形的相关知识分布在选择、填空和问答题中的方方面面，并从多个角度考查学生对解三角形知识的综合应用能力和问题分析能力。学生能够从整体上把握解三角形的全部知识，并且有效地应用在实际问题的解答中。在实践教学中，教师就应当帮助学生明晰高考中解三角形的常见问题，让学生在建立解题模型中，更好地在高考中应用这部分的知识，从而取得良好的成绩。

二、高考解三角形中常见的问题

（一）正余弦定理的應用问题

将三角函数、正余弦定理之间解三角形的关系进行结合，让学生解三角形，是高考中一种普遍的题型，这类题目的表述相对简单，但是其中所考查的基本知识点却是复杂多样的，同时还涉及一些三角函数中的内容，如两角的和与差、二倍角的正、余弦等公式，将这些内容灵活地使用在解三角函数问题中，也是学生进行这部分内容学习的难点。所以，有效地提升学生对这类问题的解答能力，对强化学生的综合思维、提高综合知识应用能力也具有重要的价值。例如，有这样一道题，已知△ABC中，∠ABC=90°，其中AB=2，BC=1，又有点P在△ABC内，且∠BPC=90°，给定条件中分为两部分，一是已知PB的长度是3，求PA的长度，二是给定三角形中∠APB=150°，询问tan∠PBA是多少。对于这道题目来说，可以在△PAB中应用余弦定理，就可以求得第一问的答案，而通过三角形正弦定理的应用就可以求出tan∠PBA。对于这类题目的解决，就需要学生对三角形中的正弦、余弦定理进行学习和应用，并对一些简单的诱导公式进行使用，才能够逐步找到问题的突破口，促进问题的有效解决。

（二）不等式与解三角形结合的问题

在解三角形的问题中遇到三角形求角、求边及求面积范围的内容时，就会需要使用到三角形不等式问题的相关知识，让学生从分析三角形角、边的取值范围，充分认识到三角形函数值符号，以及三个边的关系等，实现问题的解决。此时三角形存在的价值就是尽可能地缩小角和边的取值范围，避免增根产生和所求变量取值范围扩大的情况。例如以下习题：三角形中的三个角A、B、C分别对应a、b、c三个边，其中a=2，且有（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求三角形ABC面积的最大值。在题目当中已经给出（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC的条件，其中边、正弦已经明确，因此，学生可以联系正弦定理进行变量的统一，让学生对化解之后的等式进行观察，从而获得化解之后的等式，得出cosA的值，之后，学生可以再以此为出发点，最终获得三角形ABC面积的最大值。在这道题目当中就考查了学生对三角形正弦定理、余弦定理的理解，以及对这部分内容的合理应用，促进不等式问题的有效解决。

（三）三角形三边的最值问题

这类题目主要考查的是三角形正余弦定理的使用，以及其与三角形有关的综合性问题，也是在高考当中经常考查到的内容，一般来说针对的是三角形中边的代数式的最值问题，假设三角形当中最大边长或者最小边长等。在进行这类问题的解答时，教师可以先让学生根据三角形中三个角的大小来判断三个边的关系，之后，再让学生利用三角形的正余弦定理进行解答。此外，也可以根据情况的不同，使用基本不等式或者三角形的正余弦定理的转化进行最值的求解。同时，对于三角形中三角函数的最值求解来说，如果是其中一个角余弦的最值问题，那么在解答的过程中也常常使用余弦定理来进行化边，然后再使用基本不等式进行求解。但是在解答的过程中也会遇到多个角的三角函数值求解问题，对于这类问题可以先将其转化成一个角的求解，然后再使用三角函数公式得出最后的值。

三、解三角形教学中的改进方向

解三角形部分内容的重要性，使教师更加注重教育方法的有效设计，提高学生对这部分基础知识的认知效果，并且能够将这部分的知识应用在实际问题的解决中，所以，传统灌输的方式并不适用于当前解三角形部分的教学。为此，数学教师应当从高考的实际问题解决路径出发，结合学生学习知识的特点，进行解三角形知识的高效施教，以便让学生在夯实基础中提高应用的能力，逐步提高对此类问题的解决效果。

参考文献：

[1]李定平.高考视野下“解三角形”的教材理解及教学处理[J].中学数学教学参考，2018（24）.

[2]王庆龙.知识交汇巧设置，问题解决显身手——以解三角形为例[J].中学数学，2018（11）.