任务驱动 自主转化

周春芝 徐花

【摘要】计算教学既要掌握算法，同时也要理解算理。算理是算法的基础，只有明确了算理，才能有助于算法掌握，二者相辅相成，不可偏颇。而计算教学经常运用转化的策略来探究算理，以旧引新，引导学生自主探索算理和算法，不断积累学习经验和技能，逐步培养学生的数感，最终落实学科素养。

【关键词】转化策略   估算   数学推理

“小数乘小数”这节课是在学生已经学习了小数乘整数，以及“小数点的移动引起小数大小变化的规律”的基础上开展教学的。在前面小数乘整数时，学生已经习得利用转化的策略，把小数乘整数转化成整数乘法，最后根据乘数中小数的位数确定乘积中小数的位数。可以说学生已经积累了一定转化技能和学习经验，也体验了转化策略的价值。这节课学生只要利用同化技能，把前面积累的经验和方法迁移到这节课中，自主探究小数乘小数的算理和算法，就能掌握基础知识和基本技能。但这个过程应该由学生自己“摸着石头过河”，由此获得经验和感悟才是深刻的。这节课笔者先后观摩过两位教师的执教过程，由于教学理念不同而带来不同的教学效果，由此形成了强烈的对比，不由得引起了笔者的反思。

案例一：

1.复习

（1）口算（略）。

（2）列竖式计算：0.72×6。

（3）反馈交流：小数乘整数怎样计算？

生：先把小数看作整数……

（4）揭示课题。

2.教学例题

出示例题（学生看图，并收集信息）。

师：你能提出哪些数学问题？

生：①房间的面积是多少平方米？②阳台的面积是多少平方米？总面积是多少平方米？

师：我们来解决第一个问题，你能列式吗？

生：3.2×3.8。

师：你能估算一下房间的面积大约是多少平方米吗？

生：3.2×3.8≈9（平方米），3.2×3.8≈12（平方米），3.2×3.8≈12.8（平方米），3.2×3.8≈11.4（平方米）。

师：通过估算发现这个房间的面积在9～12平方米之间，大约是12平方米左右。

师：准确的结果是多少？还需要……

生：可以通过竖式进行计算。

你打算用豎式来计算3.2×3.8时，把3.2和3.8可以看作多少来计算？

生：把3.2×3.8看成32×38。

师：那3.2→32乘数有什么变化？3.8→38呢？积又有什么变化？

生：3.2→32乘数扩大10倍，3.8→38乘数扩大10倍，积就扩大了100倍。

师：要想得到原来的积怎么办？

生：用得到的积除以100，也就是把小数点向右移动两位。

以上教学片段中，整个教学过程流畅，学生似乎在老师的“牵引”下都能运用转化策略计算小数乘小数，而且通过后面有针对性、有层次性、有比较性的巩固练习，学生的计算技能、技巧都得到了锻炼和提高，并且从当场反馈的情况来看，学生的正确率较高。但实际这样的学习过程是被动、机械、模仿式的学习过程，学生的体验并不深刻，基本活动经验和数学思想没有得到有效的落实。

案例二：

师：3.2×3.8，看一看和之前学习的知识做比较，有什么不同？

生：之前学习的乘法中只有一个乘数是小数，另一个乘数是整数。

师：今天老师不讲，由你们自己研究，能不能用学过的知识来解决这个新问题。如果遇到困难可以寻求帮助，也可以共同研究解决，好吗？

（生自主尝试用竖式计算，2分钟后汇报、交流）

师：说一说，你遇到了什么困难？

生：不知道小数点应该点在什么位置。

师：谁有办法来确定乘积中小数点的位置？

生：我是通过估算来确定小数点的位置的。因为3.2×3.8≈12，所以小数点应该在数字“2”和第二个数字“1”之间，积是12.16。

师：为什么不在其他位置点上小数点呢？

生：因为在其他位置点上小数点后，得到的积与估算的结果相差太大了，所以不可能。

师：如果你能举例说一下就更好了。

生：如果在数字“1”和“6”之间点上小数点，得数是121.6，而通过估算正确的乘积大约是12左右，所以不可能点在这个位置。如果点在其他的地方也是一样的道理。

师：看来估算不仅能知道结果大约是多少，而且能够帮助我们确定小数乘小数中积的小数点的位置，真是一举多得。还有不同确定小数点位置的办法吗？

生：我把3.8米改写成38分米，3.2米改写成32分米，相乘得1216平方分米，改写成用平方米作单位，用1216÷100=12.16（平方米）。

师：以后在计算小数乘小数时，不能总带上单位名称一起参与计算吧，况且有些单位名称之间的进率不是10，比如，“小时”和“分”之间的进率是60，再用这样的方法就显得比较麻烦，能不能寻找一种通用的、不依赖单位名称，并能确定小数点位置的方法？

（生沉思不语）

师：需不需要提示一下？

生：需要。

师：能不能从乘法中乘数的变化，引起积的变化规律中寻找方法呢？请同学们先小组讨论。

（1分钟后学生汇报交流）

生：把3.8看作38乘数扩大10倍，3.2看作32乘数又扩大10，那么算出的得数就扩大100倍，要想得到原来的得数，就用1216除以100得出12.16。

师：我在下面看到有两位同学是这样竖式计算的，我们请这两位同学说一说自己的想法。

生1：把3.2看作32，先用2乘3.8得7.6，所以就在7和6之间点上小数点。再用3乘3.8得11.4，所以就在数字4前面点上小数点。

师：那上下两个小数点不对齐怎么办？

生1：我也不知道，刚才听同学说大约是12，所以就在数字“2”和“1”之间点上小数点。

生2：我和他想的差不多，2乘3.8得7.6，3在十位上表示30，30乘3.8得114，所以小数点就在数字“4”的后面，开始想在数字“1”和“6”之间点上小数点，但是和估算的结果相差很多，所以就在数字“2”和“1”之间点上小数点。

师：谁能帮一帮他们，解决他们心中的疑惑。

生3：我认为两次算乘法的时候不要点小数点，因为我们已经把这两个小数看成整数来计算。其实就是算2×38和30×38，所以两次算出的得数也就没有小数点。

师：那为什么相加后，要点上小数点呢？

生4：因为相加后不是原来的积，而是32×38的积，要想得到原来的积必须要点上小数点。

师：通过刚才这几位同学的发言我们发现，每乘一次都考虑小数点的位置显得很麻烦，而且到最后都无法说清楚小数点的位置应该在哪里，不如把两个乘数都看成整数来计算，最后综合来考虑小数点的位置。

师：通过前面同学的讨论，发现乘法中积的变化规律和其中的每一个乘数都有关联。那么积的小数位数和乘数的小数位数有联系吗？如果有，又是什么联系？

生：第一个乘数的小数位数是一位，第二个乘数的小数位数也是一位，积就是两位小数，1加1等于2。

师：这只是一个猜测，我们再来看看其他小数乘小数是不是也有这样的规律，我们来解决第二个问题。

……

小数乘小数在“小数乘法和除法”这一单元中起着承前启后的作用。它既是前面小数乘整数知识的延伸，又为后面除数是小数的除法计算做好策略层面的铺垫。其中隐性的转化策略则是一条主线贯穿整个单元。而转化的价值经常表现为沟通新旧知识之间的联系，化新为旧，利用已有的知识经验解决新的数学问题，是有意义学习的表现。当然转化的方法学生可以通过模仿获得，但更重要的是转化思想需要学生自己感悟和体验。只有学生通过自主参与，深入研究，才能够有效锻炼自己的推理能力和逻辑思维能力。

一、估算是被动行为吗

新课标指出：能在解决问题的同时，选择合适的估算方法，培養学生的估算意识和习惯。可以看出，估算意识和习惯的养成需要教师在平时的教学中捕捉时机，引导学生自主、灵活选择估算去解决问题，从而感受估算的价值和便捷。所以说估算不应流于形式，不应成为学生的被动应答行为。案例一中估算的要求是教师发出的一道“指令”，学生只是在执行这道“指令”，而行为主体却没有主动采用估算解决问题的意识;但案例二中估算是学生为了解决确定小数点的位置而产生一种实际内需，这时的估算行为已经上升为一种策略，显然要比单纯为估而估要高明得多。通过对比发现，如果单纯地学习估算，那只是一种技能，技能可以通过一定量的训练得到巩固和强化，但是“为什么要估算？何时采用估算？”这样的意识问题却得不到最终的解决。如果让学生带着问题去主动运用估算，这样获得的价值也许会更多。因为估算不仅可以发展学生的思维，培养学生的直觉思维能力，而且可以发展学生对数的认识，培养学生的数感，提高学生在学习和生活中的预见能力和判断能力。

二、例题仅是“敲门砖”吗

教材不仅仅是个例子，它是师生共同对话的文本，所以教师在走进课堂前首先要做的就是研究教材，深刻吃透教材的要义，然后最大限度地用足、用好教材，让每个例题发挥它应有的价值。然而案例一中的教师仅仅将教材的例题看作一块“敲门砖”，在学生观察收集数据并提出问题后就束之高阁了。可是翻阅这一单元的教材，不管是前面的例题1（小数乘整数），还是后面的例题10（除数是小数的除法），其中例题已经暗含了利用单位名称的改写来实现知识之间的转化的编写意图，这是教师缺位的一种表现。案例二中，教师则充分相信学生的主观能动性和学生已经积累的学习经验，利用单位名称之间的改写来实现新旧知识之间的转化，化新为旧，从而求出房间的面积，体现了转化策略的多样化，也为后面除数是小数的除法计算再次作了策略和经验层面的积累。通过两个案例对比，再次验证了那句教育名言：教师既要备教材，也要备学生。教师要充分信赖学生的能力，让学生自主寻找转化的路径，这样才能培养学生独立自主学习的能力。

三、学生的错误可以忽视吗

错与对是一对矛盾体，二者之间可以相互转化。没有“错”，哪来“对”。恩格斯说过：最好的学习是从差错中学习。案例一中学生的探究活动是在教师的“牵引”下亦步亦趋的学习活动，这样的探究活动学生不需要作出克服困难的意志努力，探究的味道自然不浓;案例二中学生真实探究后产生不同的错误计算方法，教师没有视而不见，而是直面学生的错误，并不惜时间让学生自己说明计算过程。同时通过辨析，学生也明确解决问题的方向，就是最后一次性来考虑积的小数点的位置，中途不需要考虑小数点的位置。虽然这样的探究过程比较曲折、费时，但却能最大限度地暴露学生最真实的思维状态，学生也能从错例中汲取经验，不断修正自己的思维方向，从而找到解决问题的最佳路径。

四、运算推理的过程可以替代吗

陈省身院士曾说过：“经验不可替代，过程无法超越。”本节课从思维形式上进行讲述，转化过程也就是推理过程，但这个过程是别人无法替代的，需要学生自己运用已有的知识去实现自主推理，把小数乘小数的算理弄明白。而在这个过程中，教师只能起到引领者、组织者和对话者的角色。案例一中教师通过一问一答的形式让学生完成推理的过程，这样的学习活动教师“调控”太多，没有充分考虑学生已经积累了一定的基础知识和学习经验。案例二中教师则放手让学生利用乘法中乘数变化引起积的变化规律自主去完成推理过程，并且通过观察两个乘数中小数位数与积的小数位数之间的联系作出大胆猜测，激发学生探究的欲望，使学生保持高昂的情绪继续投入下面的探究活动中去。