运用数学建模思想建立求解模型

马红

摘 要：数学建模教学自始至终贯穿于素质教育的本质，让学生经历模型假设、模型构建、模型求解、模型验证和模型应用的系列活动，培养学生在生活中实实在在应用数学概念、数学原理和数学方法解决问题的意识和能力，能给予学生一种新的数学学习体验，從而真正促进学生数学素养的发展。

关键词：初中数学;建模思想;求解方法

【中图分类号】G【文献标识码】B

【文章编号】1008-1216（2020）02B-0052-02

目前，数学技术正逐渐向其他领域渗透和发展，数学建模思想的重要地位日益凸显。学生在数学建模思想引领下学习，有助于学生学会运用数学的思维和方法来解决实际问题，并形成良好的问题意识和创新理念。下面以一元一次方程模型为例，具体探讨如何运用数学建模思想建立和求解模型。

一、创设情境，模型分析

数学建模是让学生亲自动手用数学方法解决实际问题的过程，是促进学生“学以致用、知行合一”的有效途径。数学建模的第一步就是提出问题。相比于传统结构良好、方法已知和结论明确的数学习题，数学问题具有一定的障碍性，如条件不足、解题方法未知、结论不明确等，其难点在于复杂性和运用的巧妙性上，问题的解决能促进学生的数学意识的形成。建构主义理论认为，情境的创设，更容易引发学生的思考和知识的获得。

数学建模思想的难点在于，学生能否将实际问题转化为数学问题，这也是数学应用的核心。

（一）学情分析

在一元一次数学建模教学中，本节课安排在学生学习了《从问题到方程》和《解一元一次方程》知识后，虽然学生对一元一次方程及其解决知识已有一定基础，但对于数学建模几乎一无所知。为此，运用数学建模思想建立和求解模型解决实际问题是本节课的关键。

（二）数学问题情境

丢番图是古希腊亚历山大的著名数学家，也是代数学的创始人之一。在丢番图时代，人们热衷于对几何的研究，认为只有经过严密的逻辑推理论证的命题才是可靠的，所以将一切代数问题，甚至简单的一次方程问题都纳入几何学中。而丢番图将代全解放了出来。对于丢番图的生平，人们知之甚少，在丢番图的墓志铭上记载着这样一段：“他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。”丢番图究竟活了多少岁呢？

在这一环节中，结合学生学情和教学内容创设了问题情境。真实的历史背景和人物故事，更容易引起学生的好奇心和探究欲望。

二、建立模型，求解模型

建模是数学建模思想运用的最关键步骤，需要学生在阅读问题材料、理解题意的基础上，从中找到题目中所蕴含的各类变量和参数，并抽象出各个参数直观的关系，建构出符合题意的数学模型，比如几何模型、函数模型、方程模型等等。建模的过程实质上是将实际问题抽象转化为数学问题的过程，是建立在学生已有知识和经验基础之上。

提出情境问题后，学生边看幻灯片边听教师讲解。

师：你们从墓志铭上获得了哪些信息？

生：他的童年是人生的六分之一，少年占十二分之一，再过七分之一结婚。五年后儿子出生，然而儿子只活到父亲岁数一半就去世，四年后，丢番图也去世。

师：那丢番图的年龄是多少呢？谁能用快速的方法算一下呢？

（由于部分学生已经了解这个问题的算术解法，所以学生很快得出答案。）

师：非常好，你们都听明白这位同学的做法了吗？

在这一环节中，学生根据问题的实际背景和要求进行数据的整理和分析，并将丢番图的年龄求解问题转化为算术模型、方程模型进行求解，这就是数学的建模过程。

三、回到模型，检验结果

在利用数学模型求出答案后，需要学生将求出的结果再次转化为实际问题的结果进行检验，判断模型是否实用、是否符合实际、是否合理。如果合乎实际情况，问题得到解决;如果发现结果与现实情境不符合，那么需要学生再次建立模型，直到模型符合实际问题，则可进行运用。

师：现在我们来回顾一下刚才的解题思路。首先说道“年龄”，一般情况下都是按照正整数进行计算，但在有些情况下，也会用非整数表示，比如，一岁半、两岁半等。在用前两种模型计算时，我们就先假设了丢番图年龄为整数。同时，要求学生以最快的速度算出，学生很快用了算术模型中的份数法和公倍数法，由于公倍数的模型用的数字少，运算简单，很快经过口算就得出了答案7×12=84。对于这个结果你们是否还有疑问呢？

四、模型应用，总结反思

用所建立的数学模型来解决实际生活问题，让学生深刻掌握数学模型的用处和益处，从而感受到数学建模思想的重要价值，并形成数学建模的一般方法，这就是建立数学模型的最终目的。

在检验模型后，给出简单的练习，让学生自主体会模型的应用。

练习1：已知一棵树上有很多苹果，其中，三分之一是绿色的，二分之一是红色的，还有七颗是半红半绿，那么树上有多少颗苹果呢？

练习2：已知一本书一共有五章，第一章页数被撕掉了26页，其剩余部分与第二章、第三章页数占全书的，第四章、第五章页数占，其他部分包括前言、目录和参考文献一共剩下46页，问这本书一共有多少页？

练习1与例题非常相似，学生利用公倍数的模型很快求出答案，但容易忽略假设检验，从而掉入题设的陷阱中.因此，此题设置的目的是让学生意识到检验的重要性。练习2，学生在解决问题过程中，再次回顾一元一次方程模型的构建、求解和检验过程，加深学生记忆和理解。

建构主义理论认为，“知识的应用也不是简单地套用，而是根据具体情境的创造性组合，需要根据具体情境进行选择、变化”。数学建模正是在建构主义理论指导下以解决问题为目标的创新性活动，有利于挖掘学生已有认知结构中的数学知识和经验，学生体会和理解数学与外部世界联系，提升学生高层次的问题抽象和问题解决能力，促进学生数学综合能力的发展。

参考文献：

[1]黎康丽，郑燕玲.运用反比例函数，领悟数学建模思想[J].中学数学教学参考，2017，（27）.

[2]姜宁.建模思想在初中数学教学中的应用[J].数学学习与研究：教研版，2019，（9）.