横看成岭侧成峰 远近高低各不同——一道2019年南通市中考试题解法赏析

(江苏省南通市通州区教师发展中心 226300)

数学解题方法中有一种常见方法称为构造法，是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决时，根据条件和结论的特征，从新的角度用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，以题中的已知条件为原材料，以已知数学关系式或定理为工具，在题中构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地呈现出来，进而借助该数学对象方便快捷地解决问题.这种方法的解题过程中思维的创造性活动的特点是“构造”，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归，人为地构造基本图形、方程、函数模型等以帮助解决原来的问题.本文以一道2019年南通市中考题为例，介绍有关构造思想的应用，以飨读者.

1 回首但看年来事——原题再现

试题(2019年南通市中考试题)如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4．点E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．

图1

(1)连结AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；

(3)连结BP交EF于点M，当∠EMP=45°时，求CP的长．

2 青山妩媚景不同——试题分析

本题(1)(2)两问是常见问题，考查学生有关直线型基础知识，命题难度属于要求中的容易题范畴，此处不作赘述．第(3)问属于命题难度要求中的难题范畴，命题从学生最熟悉的45°角出发，给学生足够的思路和方法选择余地，意在让学生依据最熟悉的条件展开合理的联想，探求解题的思路，最大限度地考查学生综合运用联想、推理、优选等方法解决数学问题的能力，以实现思维上的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.笔者参加了本题的阅卷工作，发现第(3)题的解答方法较多，正如唐朝一位叫乐休的禅师曾经作过的一首诗：“几见春来几见冬，又值岁庆转运中.回首但看年来事，青山妩媚景不同.”

3 微微风簇浪，散作满河星——解法欣赏

3.1 水底日为天上日——构造全等三角形

图2

图3

点评看到45°角，联想等腰直角三角形，但图形中没有现成的等腰直角三角形.于是，尝试构造等腰直角三角形，再依托两条相等的直角边添加水平线和铅垂线，构造“K字型”全等三角形，化归思想蕴含其中.传说宋代大臣寇准和杨大连合作过这样一幅对联：“水底日为天上日，眼前人为面前人.”“水底日为天上日”是平面镜成像现象，在数学上这不就是“全等形”的意境吗！

3.2 眼前人为面前人——构造相似三角形

图4

点评由一个45°角，再添加一个45°角，联想构造一对“母子型相似三角形”.从数学视角看，寇准和杨大连的对联下联“眼前人为面前人”是凸透镜成像，在数学上具有“相似形”的意境.

3.3 寄言荣枯者，反复殊未已——构造两对相似三角形

图5

图6

点评方法4首先通过PC∥AB发现 △ABQ∽△CPQ，同时又发现在△ABQ中，∠AQB，∠BAQ和AB边都确定，即“角角边”确定，所以△ABQ一定可解，从而作高BH，再构建△ABH∽△ACB，实现问题的解决.方法5构建△PNC∽△CBA，△ABQ∽△CQP，实现问题解决.方法4和方法5都是通过两次相似寻找解决问题的途径，正如白居易《读史五首》所言：“寄言荣枯者，反复殊未已.”

3.4 玉人何处教吹箫——构造方程、函数

图7

图8

点评方法6通过构造方程、方法7通过建立直角坐标系，得到直线方程，构造方程组，实现问题解决.唐朝杜牧《寄扬州韩绰判官》：“青山隐隐水迢迢，秋尽江南草未凋.二十四桥明月夜，玉人何处教吹箫？”杜牧在明月夜中闻箫声从二十四桥传至，却不知玉人在何处教吹箫而发问，恰似数学中给出方程式而未解.因此，在数学上寓为“解方程”.

3.5 会当凌绝顶， 一览众山小——构造两角和的正切

图9 图10

点评这里巧妙作图，构造出两角和的正切公式，毫无突兀之感.在数学解题中，只有掌握了正确的数学思想、解题策略、思维方法，全面、客观、正确地观察问题并认识问题且达到一定高度，才能透过数学问题的现象看到本质，而不会被事物的假象迷惑.登山，就是要冲上顶峰，只有当你站在顶峰时才会真切地感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的意境之美．联想到解数学题也是如此，只有当你达到运用“数学思想方法”“数学解题策略”达到登峰造极的境界时，你才能真正领悟到什么叫“会当凌绝顶，一览众山小”.

最高的诗是数学，最高的数学和最高的诗一样，充满了想像，充满了智慧，也充满了灵感与激情，更充满了创新与挑战.数学教学的魅力不仅在于一个个天衣无缝、无法推翻的性质、公式、定理、推理,还在于数学与文学、哲学、美学的完美融合.“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”——让学生经历过才能体会到解决数学难题的艰辛.“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”——难题成功解决后才能品尝到什么是解数学题的喜悦.我们要让学生在数学解题中涌动诗的灵性，洋溢诗的浪漫，弥漫诗的芳香，勃发诗的激情，流淌诗的旋律，演绎诗的精彩.与诗共舞,让数学课堂飘溢人文诗香,是促进学生深度学习、提升学生品性和修养的有效途径.让我们的数学课堂与经典同行、与圣贤为友、与诗歌共舞,教师要成为这样的“点灯人”，正如清代查慎行的《舟夜书所见》描述的那样，“月黑见渔灯，孤光一点萤.微微风簇浪，散作满河星.”