适度开放 发展素养——以“直线与圆”专题复习课为例

(江苏省扬州市江都区教育局教研室 225200)

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称“新课标”)提出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(以下简称“四基”)；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(以下简称“四能”)．在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养．[1]鉴于此，近年来“核心素养”已成为教育界关注的热点．核心素养是一种内在的修为，它是数学知识、方法、能力经过长期的积淀，最终内化于人的言行中．作为一名教研人员，最感兴趣的是如何在教学中改变我们的教学行为才能朝着培养核心素养的方向稳步前进，不偏离、不动摇．笔者在参加高三教学视导中听了一节高三一轮“直线与圆”专题复习课，课堂开放度较高，学生自主探究、讨论、思考、操作空间充分.通过适度开放式教学，一方面帮助学生梳理了“四基”，另一方面激发了学生的学习兴趣，在潜移默化中提升了学生的“四能”并发展了素养．现将该课的实践与思考分享给同行．

2 基本情况

授课对象扬州市江都区大桥高级中学高三物生班(借班上课)，学生基础中等．

教学目标

(1)掌握直线与圆的位置关系中的基本问题；(2)掌握一类在直线与圆中的定点、定值及范围最值问题；(3)通过适度开放式教学，提升学生“四能”，发展学生素养．

教学重点掌握直线与圆中蕴含的“四基”及“三动三有”问题．

教学难点引导学生自主发现与提出问题，并能分析和解决问题．

3 教学过程

3.1 浅度开放

例题已知圆C：x2+(y-4)2=4和点P(2,1).

图1

师：你能在以上条件下提出什么问题？小组内部可以相互讨论．

(学生之间立即展开讨论，气氛较为热烈)

生1：过点P的直线与圆C有几种位置关系？

师：你认为有哪几种？

生1：相交、相离、相切．

师：怎么得出来的？

生1：可以转动过点P的直线，易知有三种位置关系．

师：这位同学是通过“形”直接得出的.我们一般通过什么方法去判断直线与圆的位置关系？

生1：判断d与r的大小关系，d>r时相离，d

师：很好！这是通过几何方法判断的.还有别的方法吗？

(教师随机点了另一名学生)

生2：将直线方程代入圆的方程中，消去一个变量后产生关于另一变量的一元二次方程，利用判别式加以判断．

师：这就是一般的代数方法，体现了方程思想.我们还能够提出什么问题呢？

(教师板书：直线与圆的位置关系的判断方法有：(1)几何法；(2)代数法——方程思想)

生3：过点P的直线与圆C相交时,可以求该直线的斜率范围；若相交时弦长为定值的话，可以进一步求出直线方程．

生4：过点P的直线与圆C相切时可以求直线方程，并且相切时还可以求切线长．

(教师板书：(1)相交→弦长、斜率范围； (2)相切→切线方程、切线长)

(教师巡视，分别在两大组中随机找了两位学生的解法投影并做了点评)

师：解决直线与圆相交和相切问题时你认为最为关键的是什么量？

生5：最关键的是弦心距．

师：为什么？

生5：只要求出弦心距，就能构造关于斜率的方程，从而求出直线的斜率来．

(教师在黑板上板书：直线与圆相交、相切问题的关键量——弦心距)

点评通过以上的开放教学，学生主动积极回忆了平时做过的直线与圆的基本题型.学生自主发现、提出问题与自主分析、解决问题，一方面梳理了这部分的基础知识、基本方法及思想，另一方面也初步提升了学生发现与提出问题的能力，这实际上就是简单的数学建模能力．

3.2 中度开放

师：如果把点P放在直线x- 2y= 0上，并令其运动起来，你又能提出什么样的问题？小组内部可以相互讨论．

(学生之间立即展开讨论，气氛较为热烈，停留时间较长)

图2

生6：把点P和圆心C连结起来，随着点P的运动PC也在动，可以求出PC的最小值．

生7：过点P的直线与圆C相切时，求切线长的最小值．

生8：过点P的直线与圆C相切时，设切点为A，B，可以求出四边形CBPA面积的最值．

生9：在上述前提下还可以求出AB长度的范围．

教师板书：

(1)点P动→PC动；

(2)点P动→PA动；

(3)点P动→四边形CBPA面积动；

(4)点P动→AB动.

师：随着点P的运动，还有什么量在变化？

生10：∠ACB也在变化，四边形CBPA的周长也在变化．

师：很好！我们选择其中的两个问题来解决．请第1、3小组完成问题(3)，第2、4小组完成问题(4)．

图3

(学生动手操作，教师巡视，分别在两大组中找了两位学生的解法进行了投影)

(投影的同时，教师请相应的学生到讲台前讲解了自己的解法)

师：投影2与3利用了两种不同的方法得出了AN的长度.投影3的解法中还可以解决我们刚才提出的什么问题？

生11：∠ACB的范围．

师：很好！以上的展示中，面积、AB长度及角度的变化本质上是什么变化引起的？

生：点P运动后引起的CP长度的变化．

师：漂亮！我们发现点P运动后产生了很多的范围及最值问题，即“动中有界”．

(教师板书：动中有界)

点评由定到动，通过学生的相互讨论和探究，发现随着点P的运动产生了很多的变量，如角度、长度、面积、周长等，有了变量就自然产生了最值和范围问题．通过这样的开放，让学生感悟到平时做过的不少题型就是这般产生的．从中既让学生体会到“自主命题”带来的愉悦，又达到了梳理题型及方法的目的，更好地揭示这类问题的本质，最终发展了学生的数学建模、数学运算、直观想象等核心素养．

3.3 深度开放

师：在上述问题中，随着点P运动带来很多量的变化，其中有没有定的量呢？大家相互讨论下．

(学生讨论热情高涨，停顿较长时间)

生12：直线AB恒过一个定点．

师：为什么？

生12：设点P(2t,t)，点C,B,P,A共圆，线段AB可以看成该圆和已知圆所产生的公共弦，两圆方程相减得到直线AB的方程中含有参数t，直线AB恒过一个定点．

师：很好！还有其他定量吗？

生13：点C，B，P，A共圆，该圆也恒过定点．

师：为什么？

生14：该圆方程为x(x-2t)+(y-4)(y-t)=0，整理该方程后不难发现其恒过定点．

(教师板书：(1)直线AB过定点；(2)四点共圆——过定点)

师：很棒！请大家解决以上两个定点问题．

(学生操作，教师巡视，找出典型解法投影后再请相应学生自主讲解，教师在关键处点评)

师：前面我们发现了“动中有界”，而上面的研究表明，动中还有什么？

生15：动中有定．

师：不错！总结得很到位．

图4

(教师板书：动中有定)

师：取AB的中点设为N，随着点P的运动，点N的运动有何规律？

师：非常漂亮！通过上面的研究说明了动中还有什么？

生17：动中有轨迹．

师：简称“动中有迹”.宇宙间的很多运动变化是有轨迹的，如我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道、地球的运行轨道等都是有规律的，它们运行的轨迹是什么？

生18：椭圆．

师：很好！既然点N的变化有一定规律，你还能提出什么新的问题吗？大家可以相互讨论．

生19：(1)求NP的最小值.

师：请第1、4两组完成问题(1)，第2、3两组完成问题(2)．

(学生动手操作，教师巡视，找出两大组中的典型解法投影并请相应学生自主讲解)

师：上面的两个问题本质是一个问题，都是研究圆上的动点与直线上动点之间的距离最值问题，再次验证了“动中有界”．

点评学生通过相互讨论，探究发现“动中有定”“动中有迹”，进一步提出新的问题，再次验证了“动中有界”．教师由该问题拓展到更广阔的领域里研究天体的运动轨迹，即时渗透了适量的数学文化．让学生自主提出、自主解决、自主讲解，教师适当点评，教师充当了“导演”的角色，整个教学过程让学生有足够的自由思考权利和空间，有效地激发了学生的思维潜能，提高了学习兴趣，增强了学习信心，充分凸显了学生的主体地位．

巩固提升在平面直角坐标系xOy中，已知点P(-1，0)，Q(2，1)，直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为点H，求线段QH的取值范围.

(停顿片刻，随机请一位学生到黑板上板演，教师进行了点评)

师：世间的很多运动变化都有规律可循，我们如果能用数学的眼光去观察、用数学的思维去思考、 用数学的语言去表述，就一定能发现其中的奥妙所在．

点评上题中直线l的运动体现了“动中有定”，点H的运动体现了“动中有迹”，线段QH的取值范围体现了“动中有界”.通过以上问题的设置再次让学生感悟到上述的“三动三有”，让学生对这类问题的求解策略得到进一步的巩固与提升，同时又从本节课的学习延伸到生活中的运动变化规律，启示学生学习数学的终极目标．

4 教学反思

2017版新课标的课程目标指出：通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值．[1]本课是高三期中考前的一节专题复习课．学生已经有一定的知识和解题方法的储备，在此基础上设置了从一个“定”的开放过渡到一个“动”的开放，在“动”中探寻其变化规律；从“浅度开放”到“中度开放”最后到“深度开放”，整个过程层层递进，思维逐步升级；从学生的自主提出问题、解决问题、讲解问题和教师外延拓展等方面充分体现了以上课程目标．这节课的教学设置可谓精致、精彩、精当，作为复习课的模式可作一定的推广．

开放式教学要能做到收放自如，就需要把握好一个度，否则很有可能成为天马行空的课堂．这需要教师在预设问题时，要在学生已有的认知水平基础上精准设置，让预设和生成能在一定可控范围内进行．试想，这节课如果学生没有一定的知识和方法的储备，就可能达不到预想的效果．当然，学生提出的问题大多是平时做过或见过的一些题型，很难提出更具挑战性、创新的问题，这就需要教师把这种“适度开放”变成一种常态，渗透到日常教学中，从而潜移默化地提升学生的“四能”．教学中教师可以根据不同的生源，在合理的铺垫基础上进行“适度开放”，让课堂出现更多即时的生成资源，如此方能让课堂充满更多的生机和智慧．