在教学中学会“教学生学”*

(江苏省南京市第二十九中学初中部 210029)

在课程标准修订版公布后，我们感到要真正培养学生的数学素养、促进学生的全面发展，只关注“怎么教”是远远不够的，应该返璞归真，需要重视“教什么”．每节课的结论很重要，但如何得到这个结论更重要；方法很重要，但如何掌握这个方法更重要．即获取知识的知识、提炼方法的方法更有价值．这其实也决定了“怎么教”的问题．我们的数学教学到底要教学生学什么？要教数学大思维．

何谓大思维？一是大视野，“既见树木又见森林”，能把握整体、看清联系，体现思维的广阔性，称之为全局思维；二是高视点，既得其形又得其神，能探求本质发现规律，体现思维的深刻性，称之为本源思维；三是多视角，既可观静又可观动，能知晓变化、顺势而为，体现思维的灵活性，称之为动态思维．此三者，其实为一，得之则无往不利、无事不成．我把它作为自己教学中努力的目标．

在教与学的实践过程中，我们很多学生甚至老师，常常会出现学(教)而不思、思而不深、深而不活的现象，以致所见甚小、所获甚少、效率低下、发展受限．我们都需要不断地扩大视野、抬高视点，让思维层次由低变高，这样才能真正地提升思维能力．回顾我的教学实践，做了如下一些尝试．

1 重视自主思考、自我探究

有学生认为，数学就是用结论.比如代数，学了一个二次根式的乘法公式，然后去练几个计算题，就会用公式了．又比如几何，学了矩形的判定定理后，就开始做证明题，证明一个图形是矩形．其实，不是只有结论重要，如何得到这个结论更重要；方法很重要，如何掌握这个方法更重要．也就是说，获取知识的知识、提炼方法的方法更有价值．举个例子，在经历了平行四边形和矩形的概念、性质和判定的完整研究过程后，菱形部分就可以放手给学生自己去探究，结果学生得到的结论比书上的还要多，如“平行四边形的一条对角线平分一组对角”“一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形”等．教学中一定不要直接告诉学生结论，而要提出有思维含量的问题，让他们自己思考探索，只在疑难处加以点拨、引导．我之前非常反感学生上辅导班，因为辅导班的老师会用暑假一个月的时间教完整本书甚至两本书，可想而知教学模式一定是简单粗暴，教结论、做练习，最怕的是学生以为自己都学过了，上课时缺少了对新知识的好奇心和期待，导致课堂参与度不高、效率低下．现在我的想法有点改变了，因为几乎所有的孩子都在“提前学”，而他们上课时也并没有像预想的那样不积极，我想这跟电影的预告片应该是一样的道理：你稍微了解一下这部电影讲什么，但怎么讲和具体的细节还得走进电影院去观摩，做预告片是为了增加电影的票房，而不是说看了预告片就不想看电影了．

2 回归“原生态”课堂，期待下一个更精彩

课堂是学习的主阵地，课堂学习才是可控的、高效的，不要寄希望于把学习任务留在课后．我这一年的教学几乎没有用课件，虽然我的板书、字迹等还有待提高，但我努力只用语言和板书呈现所有的教学过程.这样做有两个好处：第一，不用受到课件的限制，很多时候课堂生成的灵感来自学生的反应，教到什么程度也尊重学生．对于A班，可以多一些讨论和探究，对于B班，就不在易产生干扰的内容多纠结，探究性的问题也只浅尝辄止．第二，学生也不会去期待看下一张PPT，而是紧紧地跟着我的眼神，仔细地倾听我的问题，然后思考、交流．用他们自己的话说，我的课堂思维比较活跃，有点小刺激．备课时，我会花心思去全盘设计内容、设计问题、设计练习，形成系统化的教学方案，每节课留在黑板上的板书是这节课的精华，能体现知识的结构或者是研究问题的方法．

3 享受发现的过程，体验修正的乐趣，发展优化的思维

就像刚才第一点所说，很多知识是学生自主思考、探究出来的，所以要给予充足的时间，这看起来进展很慢，但有时慢比快更有效、更有价值，就像砍柴之前先磨刀并不耽误时间．在发现的过程中，学生的语言有时是不精练的，甚至是不科学的，比如探究旋转的第三条性质时，学生的结论是“一组对应点与旋转中心的连线所成的角相等”，没有学生发现这句话有问题，于是我们翻开书，找到不同点之后一起反思，哪一个更科学？为什么？在这样的“修正”过程中，学生感悟到了数学语言的准确性和严谨性，也欣赏到了数学的语言美．

一次试卷讲评课上，我让学生四人一组进行小组讨论．他们认识到，一个小组中只要有一个人会了，那么四个人就都会了；只要有两种不同的方法，自己就又学到了一种新方法．课堂上的组合是固定的，课后还可以任意组合，这是一种多么好的合作学习方法啊！当他们通过讨论解决不了时，我才介入．比如这样一个问题：在正方形ABCD的边AD上求作一点P，使∠APB= 60°．全班各抒己见，讨论出了五种方法(图1～5)．

图1 图2 图3

图4 图5

那些原本没有思路的学生简直目不暇接，不断感叹神奇．但如果仅此而已，那么这道好题仅能让学生增加一点记忆，对训练高阶思维并没有任何作用，不能出现“玩魔术”式的教和学：只知怎么做，不知怎么想，使得数学解题如天外来客，不讲道理，难以理解．我问学生：请大家仔细观察一下这五种方法，有什么发现？通过引导和讨论，学生发现，本质上这道题是要解决构造60°角或30°角的问题，有以下几种途径：构造等边三角形得到60°角，还可以构造特殊的直角三角形得到60°角，60°的一半是30°，90°减60°也是30°．结合几个基本作图可以发现，构造一个点的方法有多种，可以是两弧交于一点，也可以是一条弧和一条直线交于一点，也可以两条直线交于一点．这五种方法其实可以归于一条思路，就是构造特殊形．学生通过这个题目体验到了数学的发散创造之美、多样性与统一性的和谐之美．

这就是一开始说的用大思维看待问题，可以举一反三、事半功倍．求点莫限于点，要寻找其所在的线；求线莫限于线，要寻找其所在的形；辅助线不该叫辅助线，应称为辅助形；勿执着于一招半式，应归之于通性通法．在解题教学中，很多学生最大的疑问就是“为什么我想不到？”用十种方法解决一道题，比用一种方法解决十道题更有价值．为什么既要“多学”还要“归一”？因为“一”是简易的，“一”是通用的，“一”是无所不在的．接下来还要一以贯之，因为一以贯之才能形成习惯，使它变成属于你的思维方式．当然，这个“一”是不断融合更新、不断变化完善的．对数学解题我们不求神奇巧妙，只求自然合理，而逻辑思维可以让神奇巧妙变得自然合理．思维本没有方法，想得多了、悟得多了、用得多了，自然就形成了方法，所以思维是可以训练的．

4 把课堂还给学生，相信学生，相信榜样的力量

学习的终极目的是获得自由，获得通达无碍的精神自由，做到不忧、不惑、不惧．我的课堂比较自由，我负责串场，学生是主演．他们可以随时提问，提问后也是他们自己内部解决，我负责看热闹和适时干预．有一个关于学习效率的观点——“学习最高效率的方式是讲给别人听”，站起来分享思路的学生往往能获得成就感和掌声，也能增强自己的语言表达能力和思维能力．我一开始不敢放手，怕让学生讲会来不及，但有时候他们的思路确实让人眼前一亮，尤其在不断追问为什么的过程中，可以把他们原本的隐性思维显性化、方法与策略明确化，点破那层纸，让学生在黑暗中见到光亮，逐渐从了解到适应、熟练、融会贯通．尤其在B班，因为掉到B班的学生基本是在自己手上“土生土长”的，所以他们其实也有着不错的思维，到了B班可以做小老师、领头羊，对其他同学也是一种很好的激励，有时榜样的力量胜过我们教师的千言万语．

5 培养学生的联想能力，在统领课中见全局

数学知识有很强的系统性，只有注重数学知识的整体性、理解和领会数学知识之间的联系，才能真正把握数学知识的本质．因此，在学习一个新概念时，我们常常用类比教学的方法，如类比不等式与方程、类比反比例函数与正比例函数、类比二次根式与整式、分式，类比四边形与三角形，我们总是不断地寻找类比源，将新知识与已有知识建立联系，同时通过辨别，找到新旧概念之间的联系和区别，从而更好地实现对新知识的同化与顺应．

几何题中需要联想能力的例子有很多，看到条件有联想、看到图形有联想、看到问题有联想．下面我举个代数的例子.上学期教一元二次方程时，我在A班和B班采用了不同的处理方法．在研究一元二次方程的解法时，在B班，我按书本顺序让学生按部就班地学习四种解法．在A班，我进行了大胆的尝试，先上了两节统领课，第一节课统领了全章，主要解决两个问题：研究什么？如何研究？将一元二次方程置于初中代数知识的整体框架中，根据式子结构推想出了解一元二次方程的方法应该是降次，本质上和二元一次方程组、分式方程一样，转化为一元一次方程．在第二节课中，通过两个例题体会如何解方程：

例1解方程：(1)x2-2=0；(2)4x2-1=0；(3)(x- 2)2- 9 = 0．

通过例1学生发现了两种解法，直接开平方法和因式分解法.它们有什么联系呢？

例2解方程：(1)x2- 4x+ 4 = 0；(2)(x- 2)(x+ 4) = 0；(3)(x- 2)(x+ 4) = 8；(4)x2- 4x+ 3 = 0；(5)x2- 4x+ 5 = 0；(6)x2- 3x+ 4 = 0．

通过例2又发现了配方法.我向学生追问：直接开平方法和配方法的关系又是什么呢？

这些方法之间也是有联系的．通过第(5)题可以发现，不是所有的一元二次方程都有实数根，那么什么样的一元方程会没有实数根呢？这一问题为下一节课埋下伏笔．第三课时，进一步熟悉配方法和解一般形式的一元二次方程，从而得到最后一种解法——公式法．公式法和配方法又有什么关系呢？当学完了四种方法后，每一种方法又适合于解什么样的方程呢？在选择方法时，是否有优先顺序呢？通过这样的设问和追问，不断促成学生找到知识之间的联系，这样知识就不是碎片化的、孤立的、容易遗忘的．

数学是思维的科学，自有一套具有普适性的思考结构和用于交流的符号形式，这种结构和符号形式是强大的，富有逻辑、简明而且精确，是我们可以借助来理解和处理新数学问题的一种思维方式．数学也是各学科中最“讲道理”的学科，它严谨、准确、清晰，善于把混沌无序的直觉经验变成逻辑严密的理性认知．所以数学学习不能仅停留在直觉经验层次，必须要升华到理性认知层次．我们在教学中要尽量减少“只知道怎么做，不知道为什么这么做”的现象，遇到问题要教会学生“先知道怎么想，再知道怎么做”．