STEM理念下的数学教学实例分析

(江苏省太仓高级中学 215400)

STEM是科学、技术、工程和数学这四门学科的英语首字母的缩写.STEM理念是培养个体在科学、技术、工程和数学领域以及相关交叉领域中,运用个人关于现实世界运行方式知识和能力的新型理念.主张学习是建构而不是接受的过程，提出教学实践是为学习者提供学习情境，让他们在情境下建构知识，强化对知识的理解，促进知识的迁移，提高学习者把学习到的零碎知识与机械过程转变成探究真实世界相互联系的不同侧面的综合能力.STEM理念主张以团队合作为基础、以小组为活动单位、以探究作为主要方式的应用模式.它并不是简单的“应知应会”，也不是活跃课堂气氛的形式点缀，更不是科学、技术、工程和数学四门学科的分类开发，而是一种基于创新理念的课程重构，是对学生创新思维的系统训练，彰显新课程的教育本质.

与传统的教育形式想比，STEM理念下的数学课堂更加注重学生的学习体验，它以数学实验为载体，以解决实践中遇到的问题为主线，实施过程中更加重视团队的协作.在STEM教育理念下利用现代信息化的教育手段，将科学、工程、技术与数学有机结合在一起，让学生感受到数学教学带来的趣味性、跨学科性、情境性及设计性等特点，同时让他们能够进行创造、设计、建构、发现、合作并解决问题，培养学生的数学核心素养.

本节课笔者以苏教版数学教材选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”中的第33，43，54页的三道操作题为探究实例，通过折纸实验，让学生经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程，培养学生的数学建模能力及数学探究思想.

1 教学内容预设

本节课通过学生折纸实验，观察折痕围成的轮廓，借助信息技术提出轮廓曲线类型的假设，建立数学模型论证自己的猜想.通过“实验—观察—分析—假设—论证”等过程，锻炼学生的自主探究、动手实践和团队合作等能力.通过体验实验的直观感受及推理的严密论证，进一步巩固三种圆锥曲线(椭圆、双曲线及抛物线)的定义及方程结构，体会三种圆锥曲线之间的联系与区别，感受数学实验的直观感受与逻辑推理的严谨思维带来的相辅相成的数学之美.

2 学生课前预习

图1

课前布置如下操作题：准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一个点，将纸片折起，使圆周过该点，然后将纸片展开，就得到一条折痕(为了看清楚，可把直线画出来)(图1).这样继续折下去，得到若干折痕.请同学们观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

设计意图洛克的学习经验论认为，“知识归根到底来源于经验”.折纸实验让学生获得感性的数学经验契机，促进学生将折纸的“经历”转变为“经验”，引导学生经历观察—辨析—思考的过程.

学生们课前以小组为单位，由组长安排好分工，相互协作，认真做实验，小组内相互交流讨论，气氛十分热烈.(出乎意料)

3 课堂探究

3.1 成果展示

师：请两个小组的代表(一个折痕少一些，一个折痕多一些)利用实物投影仪展示自己的折纸成果，并谈谈自己小组的发现.

生1：折痕围成了一个区域.

生2：折痕围成的区域好像是一个椭圆.

3.2 软件操作

图2

师：折的次数多一些对结果的呈现有没有优势？

生3：有优势，折痕越多，折痕围成的区域越明确.

师：请同学们借助电脑演示折纸过程，有何新的发现？

生4：折痕围成的轮廓应该是椭圆.

生5：好像定点和圆心应该是这个椭圆的两个焦点.

生6：感觉每条折痕都与椭圆相切.

……

设计意图课堂展示的过程是学生将原有经验归纳、整理、再造的过程，通过小组的交流，组内成员共享自己的经验，并不断整合；学生经历了原有经验的再认识、再生长，并将这些经验概括、提升，为后续学习奠定基础.信息技术的使用过程，是学习者不断提高自身认知水平的过程.软件的演示绝不仅仅是一个技术性的操作问题，而是一个让学生不断学会观察思考的过程：“为什么会是一个椭圆？”“是怎样的一个椭圆？”“这些折痕和椭圆是怎样的位置关系？”并猜测结论的可能性.

3.3 推理证明

师：刚才同学们的回答中都包含了“应该”“好像”“感觉”等不确定的词语，说明我们的这些结论暂时还只能是一个猜想.

(学生表示赞同)

师：那我们能够证明一下我们的发现吗？

(学生刚开始窃窃私语，慢慢地有人开始去证明……)

生7：我可以证明折痕围成的图形是以定点F和圆心O为焦点的椭圆.

证明任意给定圆上一点M，连结MF，OM，设线段MF的中垂线为l，设l与直线OM的交点为点P，则点P的轨迹即为折痕围成的轮廓.

设圆O半径为r.连结PF，因为PM=PF，所以PF+PO=PM+PO=r>OF.

由椭圆定义可知，点P的轨迹为以点F,点O为焦点、r为长轴长的椭圆.

师：(追问)你是如何刻画这个轮廓的呢？

生7：通过轮廓上的点的轨迹来证明它是一个椭圆.

师：(追问)每一条折痕与轮廓有怎样的位置关系？每一条折痕上有几个点在轮廓上？

生7：折痕上的点会在轮廓上或者在轮廓外，但只有一个在轮廓上.

师：(追问)那这个既在折痕上又在轮廓上的点有什么特点呢？

图3

生7通过几何画板的操作与演示，让同学们看出中垂线l与半径OM的交点P即为椭圆与折痕的公共点(图3)，进一步通过跟踪点P，发现其运动轨迹与已知椭圆完全重合，即点P的轨迹就是所求的椭圆.

师：非常好！从而我们得到了结论1：在半径为r的圆O内任取不同于圆心的一定点F，设M为圆周上任一点，线段MF的中垂线为l，则OM与l的交点P的轨迹是以点O,点F为焦点、r为长轴长的椭圆.(在黑板上板书)

生8：我可以证明任意一条折痕l与该椭圆相切.

证明设点P是l与椭圆的一个公共点，点M为点F关于直线l的对称点，则M在圆O上.设点N为直线l上异于点P的任意一点，则NO+NF=NO+NM>OM=r，所以点N不在椭圆上.因此，直线l与椭圆只有一个公共点，即直线l与该椭圆相切.

设计意图多媒体软件演示的过程是数学感知的过程，让学生去发现结论；当有“猜想”时，就需要学生抽象概括及推理论证自己的猜想是否正确，需要经历数学推理和计算活动，形成基本的活动经验，并且对这些活动进行体会、反思和总结.

3.4 类比探究

师：请同学们分小组继续探究以下问题：

(1)如果点F与圆心重合，得到的折痕围成的曲线是什么？

(2)如果点F落在了圆上，得到的折痕围成的曲线又是什么？

图4

图5

(3)如果点F在圆外，又会有什么样的结论呢？

组1：(1)围成的曲线为圆的同心圆(如图4).

组2：(2)中所有的折痕经过圆心(如图5).

组3：(3)中折痕围成的轮廓变成了以点O，点F为焦点、半径r为实轴长的双曲线(如图6).

图6

设计意图类比是提出新发现和解决新问题的一个重要源泉，是一种较高层次的知识迁移.通过折痕转化为椭圆的认知过程，将数学经验迁移到其他曲线上，不仅是对数学经验的再造，更是对整个数学活动的再认识，加深了对所学知识的理解.

3.5 课后作业

师：请同学们课后类比椭圆轨迹的证明过程，证明以下命题.

命题 在半径为r的圆O外任取一定点F，设M为圆周上任一点，线段MF的中垂线为l，则直线OM与l交点P的轨迹是以O,F为焦点、r为实轴长的双曲线.

设计意图有猜想就要有证明，这是一个完整的数学认知过程.课堂上类比得出的猜想要能成为结论离不开证明.要让学生体验完整的数学认知过程，推理证明必不可少.

4 教学过程分析

本节课，笔者围绕“圆内异于圆心的一点和圆上一点连线的中垂线，与对应半径的交点的轨迹是椭圆”这一中心问题设计了一明一暗两条主线:明线是实验→证明圆锥曲线的实例探究；暗线则是本节课所蕴含的数学发现→结论猜想→技术验证→逻辑推理→实际应用的数学知识产生以及应用的完整过程.通过本节课的教学实践以及同行专家的点评，笔者对于如何在STEM理念下实施数学实验教学有了新的认识.

4.1 STEM理念注重培养学生的综合知识与综合能力

STEM教育的模式通常以项目为引领，学生通过真实世界的问题设计、实验体验，借助统整科学、技术、工程与数学等跨学科课程的教学方法，产生直接经验，从而内化为自己的能力.本节课通过折纸探究轮廓曲线这个项目，让学生通过科学的实验获得了直观的想象，通过几何画板等信息技术工具去验证自己的猜想，通过严谨的数学推理论证自己的猜想.学生在这个教学过程中，体验了直观感知—工具验证—抽象论证的全过程.学生在这个积累经验的过程中，发展了直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析等数学学科核心素养，提高了分析问题和解决问题的能力.

4.2 STEM理念注重发挥学生的自主探究与团队协作能力

高效的数学学习来源于学生自身对数学活动的参与度，新课程强调“学生的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才能是有效的”.STEM理念注重探究式的科学教育，也注重团队的协作发展，提倡在学生原有经验的基础上提出问题—设计实验—观察分析—预测猜想—数据收集—归纳推理—得出结论—反思评价—迁移应用，让学生经历一个完整的知识认知过程，激发学生的探索欲望，培养学生大胆猜测、细致观察，严谨论证的学习态度，并且让学生在团队合作中感受到，个人能力不是重点，队员之间互补互助才能让团队的工作效益最大化.以此促使学生参与团队活动，交流心得体会，共享经验成果.

4.3 STEM理念注重学生感受教学带来的趣味性

古希腊哲学家亚里士多德说:“生命的本质在于快乐.”英国教育家斯宾塞说：“教育的目的是使学生感受快乐.” 保持学习的快乐是学生能够不断地坚持学习的动力源泉.STEM 理念注重在教育实施过程中把多学科知识融于有趣、具有挑战性、与学生生活相关的问题中，激发学习者内在的学习动机，让学生在轻松愉快的学习中收获学科知识，在解决问题的过程中获得成就感.本节课的折纸游戏让学生充满了新鲜感，多媒体的动态演示让学生产生了浓厚的兴趣，猜想与质疑让学生体会到了学习的快乐，推理与证明让学生获得了成就.

课堂是提升学生核心素养的主阵地．课堂上，教师如能在STEM理念下设计教学环节，利用生活生产中的直观资源创设具有挑战性、趣味性的数学情境，巧设问题，开展自主探究活动，激发学生的学习兴趣，引导学生积极思考，积累学生的直观经验，将极大地促进学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养的发展，促进学生思维品质的提升.