铺设探究之路 彰显育人之道——“完全平方公式”教学实录与反思*

(江苏省宿迁市实验学校 223800)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自连云港新海实验中学苍梧校区，基础较好，有一定的自主学习能力、运算能力、分析问题能力及独立思考能力．

1.2 学情分析

七年级学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点还有一定的难度．所以教学中应尽可能多地让学生动手操作、互动交流，突出完全平方公式的探索过程，让学生自主探索出完全平方公式的基本形式并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的推理能力、合作交流能力和数学化能力．

1.3 教材分析

所用教材为《义务教育教科书·数学七年级下册》(苏科版)．其具体内容为第9章第4节乘法公式第一课时“完全平方公式”.完全平方公式是初中代数中的重要内容，它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法等的基础上的进一步抽象与提炼，是多项式乘法中的特殊情形．本节课通过学生自主思考、合作交流、展示评价等学习方式，利用计算图形面积导出完全平方公式，并利用多项式乘法法则进行推导，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用．此外，在教学过程中力图向学生渗透数形结合、换元、化归、特殊与一般等思想方法，有助于学生更好地理解和领悟公式之间的内在联系，为熟练运用公式进行代数式的化简、求值、恒等式变形打好坚实基础，更好地发展学生的运算能力及抽象建模能力．

教学目标 (1)探索并推导完全平方公式，能运用公式进行简单的计算；(2)通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释；(3)经历探索完全平方公式的过程，感受转化的数学思想以及知识间的内在联系，发展符号感和推理能力．

教学重点 引导学生通过自主探索和合作讨论，推导出完全平方公式并能运用公式进行计算．

教学难点 公式的直观解释及公式特征的把握．

2 教学过程

2.1 情境引学，启发探究

师：在有理数这一章我们学习过乘方运算，请同学们想一想2012是多少呢？(边说边在黑板上写出2012= ？)

教师稍作停顿后，请一名学生说出结果．(教师板书)

生：2012=40 401．

师：这位同学很快得出了答案，那你是怎么得到的呢？

生：我是用计算器按出来的．(有的学生笑了起来)

有的学生说根据乘方的意义，用竖式计算出来的；还有的学生说根据多项式乘法计算，即2012= (200 + 1)2= (200 + 1)(200 + 1) = 40 401．

师：同学们表现得很好，说出了不同的方法．是否还有更为简单的计算方法呢？现在我们一起回到最后那位同学的算法，咱们不妨将刚才的数换成字母，进行“一般化”转化，就可得到(a+b)2，你将如何计算呢？(板书于黑板的右上方：从特殊到一般)

2.2 互动研学，分层探究

·从“数”的视角探究

师：同学们已经知道(a+b)2= (a+b)(a+b)，要想正确计算出(a+b)2就需要回归到根本，即多项式乘法(a+b)(c+d).你是如何计算的？

生：用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果为ac+ad+bc+bd．

师：计算的依据是什么？

生：乘法分配律．

师：回答正确．能明白算理，说明对法则的理解和掌握是很到位的．接下来，请同学们计算(a+b)2．(让一位学生在黑板上展示，其余学生在座位上独立完成)

师(引导)：我们把计算2012推广到一般情形，可得出(a+b)2=a2+ 2ab+b2．回过头来，请你再用这个式子来算算2012(停顿片刻)，大家有何感受呢？

生：比较简单．

师：对的，数学之美在于简洁，用这个式子计算起来较为简便．善于观察的同学会发现，这个式子还比较特殊.请前后四位同学为一组，交流一下，从形式上看式子的特殊方面表现在哪里？

生：从左边看，是两数和的平方，也就是两个完全相同的二项式相乘；从右边结果看，合并后只有三项，少了一项，所以看起来简洁了．

师：说得非常好，不仅观察仔细，而且表述有条理，也很严密．这其实就是多项式乘法中的特殊情况，我们称之为乘法公式．那么你能根据刚才同学的分析，给公式起一个贴切的名字吗？同时说出你命名的根据．

接下来，教师板书课题于黑板左上方(9.4乘法公式——完全平方公式)．

·从“形”的视角探究

师：同学们，刚才大家通过“式”的运算得出了完全平方公式，那么我们能否用“形”同样得到这样的式子呢？

小组交流，操作探究，并选两位学生将所作的图形展示在黑板上(如图1、图2)．

图1 图2

师(评价)：两位同学画得很好，大同小异，第一个同学还用阴影表示出来，显得更为醒目，为你点赞．(学生们表示赞同)

师：(追问)这么快就表示出来了，请问你是怎么想到的呢？

生：(画第2个图的学生迅速抢答)这个很好想的，大家看到(a+b)2就会很自然联想到边长为a+b的正方形，对吧！然后在大正方形边长中分出长度为a与b就可以了．

生：(补充)再通过整体与部分两个角度计算大正方形面积，就能很快得出公式．感觉从图形方面得出公式比刚才的计算更直观、更方便．

师：同学们的表现真的不错，学会了从不同视角分析思考问题，这里体现了数形结合思想的应用．(接着板书课题：完全平方公式；并在黑板的右上方板书：数形结合)

2.3 自主立学，类比探究

·由此及彼，类比迁移

师：我们已经知道了(a+b)2，其实在实际应用中也会经常用到(a-b)2.目前你有几种方法可以得到(a-b)2的结果呢？(放手让学生自主探究与讨论交流，探究结果)

巡视后，发现主要有以下几种方法：

方法1 用多项式乘法法则，即(a-b)2= (a-b)(a-b) =a2- 2ab+b2．出于习惯，使用原有知识．

方法2 使用公式，即把a-b看成a+ (-b)，得(a-b)2= [a+ (-b)]2=a2- 2ab+b2．现学现用，转化后套用公式．

方法3 运用图形得出公式(如图3、图4)．

图3 图4

由此，派生出完全平方公式的另一种形式，即两数差的完全平方．因为减法可以统一成加法，所以通过转化可以看成是一个式子，但为了使用的方便，我们把它单独列出来.(教师在黑板右上方接着板书：学会类比，学会转化)

·特征比较，本质探究

师：目前，我们知道了完全平方公式的两种形式.接下来咱们来探究公式的特征，哪位同学能说说你的看法？

生：我们先来看公式的左边，是两项式的完全平方，一个是两数和的完全平方，一个是两数差的完全平方，都要记得加括号；再看公式的右边，都是二次三项式，有所不同的是中间符号，一个“加”，一个“减”．

师：通过刚才同学的回答，其实这里把公式由符号语言转换成了文字语言，而且比较了异同……

生：(一位学生举手)老师，我感觉这个公式运用时会出现错误(a+b)2=a2+b2，因为我以前就犯过这样的错误．(少数学生点点头)

师：是的，受积的乘方的影响，即(ab)2=a2b2，同学们会出现上述常见错误(让学生用两个数代入计算一下，左右两边明显不等)，而完全平方公式中前面两项不是积的形式，同学们要把握住它们之间的联系和区别，树立“模型思想”．(板书)

·模型引路，深化探究

教师出示两个问题，让学生再次深化对公式的认识，积累模型经验．

运用完全平方公式计算：(1)(x+ 3)2= ( )2+ 2( )( ) + ( )2=__________．

↑ ↑

a-b

由学生分组完成，并指出这里哪个代数式相当于公式中的a和b．

2.4 展示评学，应用探究

学生的认知水平和思维能力是有差异的，为此选编了一组例题、反馈练习题及拓展应用问题，以保证不同层次的学生在已有模型经验的基础上都能得到相应的发展.显然，问题设置有一定的意图及代表性，让学生独立完成并展示出来，要求指出题目特点、解题思路或过程、困惑等．

例用完全平方公式计算：

(1)(2x- 7y)2；(2)(-2a+ 5)2；

(3)(-2a- 5)2．

展示评学中，发现学生能较好地掌握公式，但仍然出现丢掉“积的2倍”这一项，同时更多地会出现符号的错误．

师：(指出)第一，学会回头查，积的2倍在中央，中间符号看前方；第二，对于底数中首项带有“-”号的，通常先化成“+”的，再用公式计算，可大大降低错误发生率！

巡视中发现多数学生很快完成了，而且正确率很高．对于第(4)题学生中有不同解法，用实物投影展示不同解法策略．

师：同学们解答正确、书写规范，希望大家能养成分步有序、言之有理的思考与书写习惯．通过比较，可以看到解法1简洁明快，这里进一步体现了“能正不负”的优越性．

拓展延伸，计算：(m+n+p)2．

教师顺应学生的探究路径给予适当的提示、点拨，让学生少走弯路(还有学生画图探究的，适当给予鼓励，但指出比较繁琐)，把功夫花在关键处．尔后指定各组代表展示本组的研究结果，教师随机点评．

教师点拨：(1)这里关键是把什么看作a和b．从同学们的展示来看，有两种情况，即把m看成公式中的a或把m+n看作公式中的a，两种视角都是可以的；

(2)不难看出，这里体现“整体思维”及“算两次”的思想，希望同学们能正确运用．

2.5 反思悟学，归纳探究

学贵于思，学而不思则浅．课堂反思是一节课的有机组成部分．反思悟学不仅有利于培养学生的概括归纳能力，深化对知识的消化与内化，而且能够升华对学习目标的进一步理解与把握，可收到余音绕梁、回味悠长的教学功效．[1]

(1)本节课探究学习了哪些新知识？(完全平方公式)

(2)问题探究与问题解决过程中，使用到了哪些数学思想方法？(数形结合思想、模型思想、转化与化归思想、算两次思想等)

(3)探究活动中，获得了哪些数学活动经验或感受？(图形直观验证，由具体到抽象，由特殊到一般，由简单到复杂，有序有理有据表达等智慧与经验)

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

根据数学是培养和发展人的思维的学科特点，教学设计时着力从为什么要学、学什么、怎样学、学得怎样等问题立意．让学生不仅“知其然”而且要“知其所以然”，更要让学生明白“何由以知其所以然”．具体教学时，依据“最近发展区”理论，遵循以旧引新的发展原则，创设一个简单问题情境，“一石激起千层浪”，以问题引发学生思考；接下来顺势而为，用启发思维的问题引领教学，逐步探究，知识自然生成，探究之迹步步呈现．为了体现以生发展为本理念，要遵循学生的认知规律，依照循序渐进与启发式的教学原则，进行有序的分层探究活动，让不同层次的学生都能主动参与并能得到充分的发展．边启发，边探索，边归纳，边反思，边感悟．突出以学生为主体的探究性学习活动，引导学生积极思考，鼓励学生交流合作学习，让每个学生动口、动手、动脑，自主归纳出公式，激发学生学习的主动性和积极性，让学生学会思考、学会学习．

3.2 教学反思

课堂是培育学生数学核心素养的肥沃土壤，学生在数学学习过程中逐步形成数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养．而这关键在于教师能将其在每一节数学课“落地生根”，并能抓住每一个环节之间的整体联系，将学生的思维从形象思维逐渐向抽象思维延伸．通过铺设学生乐于探究之路，以此发挥数学学科育人功能，在探究过程中培养学生的逻辑思维能力，并能有效表达．在运算中培养运算能力和建构能力，为学生发展核心素养搭建平台，铺设“脚手架”．

(1)行于简约问题，让学生想学

设置有效的问题是探究的载体，通过简约易行、灵活多元(一题多问、多思、多解、多图等)的问题设计，引导激活学生思维，启发学生探究欲望，实现“一吐为快”的满足感．课例中通过一个简单的计算“2012”进行启思、关联、探究、抽象、建构、应用，整个教学过程没有大量的机械训练；在反馈时，设置三组有层次的代表性问题(变符号、变系数、变项数)实现学以致用，整个教学自然生成，一气呵成，育人无痕．为学生感知数学好玩、主观上想学创设良好的探究准备．第一，营造和谐的学习氛围，让学生在轻松愉快的环境中跃跃欲试；第二，问题设计简约而不简单，关注整体性、灵活性、联系性，做到启思提升；第三，符合学生的最近发展区特点，突出教师主导、学生主体、问题主线的“三主”原则，让学引思等．

(2)动以操作探究，让学生乐学

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的.”长期以来，教师习惯于讲、学生习惯于听，而忽视探究或懒于“做”，学生充当课堂上的看客或听众，学习被动、被迫，效果可想而知．上述教学中，通过精心设计有挑战性的动手计算、动手画图等操作性问题，让学生动口、动手、动脑，在画图时学生通过割补、计算验证等过程，加深了知识的理解，获得了直观感知，引发积极思考，在“做数学”的主动探究过程中培养学生的动手能力、解决问题能力，进而培养创新精神．[2]让学生在探究中经历过程，积极参与，经历“思维旅行”，欣赏数学美景，在建模解决问题过程中不断“攀登”，品评探索过程的艰辛并获得成功的快乐．

(3)融以思想方法，让学生会学

授人以鱼，不如授之以渔．作为教师，要深入领悟所教内容的用意与方向．教学时既要关注显性的教学内容，更要关注内容背后隐藏的数学思想方法．课例开始就从特殊到一般进行“抽象”，不断渗透数学思想方法，始终以建立公式模型这一核心指向进行探究与运用，通过“变符号、改问法、变问题”等方式让问题自然生长，聚焦联系，使问题内容不断丰富提升；同时触及数学的精髓内容即数学思想方法，其间体现了数形结合、分类讨论、类比、转化与化归、换元、特殊与一般、建模、整体、算两次等重要的思想方法．[3]从而达成让学生会学的目的．