美英早期解析几何教科书中的双曲线方程*

(华东师范大学教师教育学院 200062)

1 引言

近年来，随着HPM课例研究的不断开展和一系列课例的陆续发表，越来越多的数学教师开始关注HPM视角下的数学教学，但数学史材料的缺乏始终是新课例开发的障碍．圆锥曲线的历史与教学早在十年前就已受到关注[1]，椭圆定义的教学案例相继诞生[2，3]，相应地，对椭圆方程的历史也有研究[4]．之后，也有人对双曲线的历史与教学做过研究[5]，但很少涉及西方早期教科书．此外，HPM视角下的双曲线教学案例也有待于进一步开发．

国内现行高中数学教科书大多采用双曲线的第一定义．人教A版和沪教版都采用“拉链法”引入第一定义；人教B版用两组同心圆来模拟双曲线的第一定义．人教A版和沪教版都采用“二次平方法”推导双曲线方程；人教B版则采用“分母有理化”的推导方法．各版教科书几乎都未涉及数学史．已有教学设计中，除了个别教师采用了“和差术”[6，7]外，很少见到数学史的元素．然而，历史是一座宝藏，翻开历史的画卷，双曲线方程的推导方法精彩纷呈，挖掘、总结和提炼这些方法可以为今日教学提供有用的素材和思想养料．

为此，我们针对双曲线的定义与方程，对美英早期解析几何教科书进行考察，试图回答以下问题：关于双曲线，美英早期解析几何教科书给出了哪些定义？采用了哪些推导方程的方法？双曲线方程的历史对今日教学有何启示？

2 早期教科书的选取

我们选取1830—1969年间出版的93种美英早期解析几何教科书或含有解析几何内容的数学教科书，对其中的双曲线引入方式、定义、方程推导方法进行考察．在93种教科书中，83种出版于美国，10种出版于英国，各种教科书的时间分布情况如图1所示．其中，对于同一作者再版的教科书，若内容无显著变化，则选择最早的版本；若内容有显著变化，则将其看作不同的教科书．

图1 93种解析几何教科书的时间分布

在所考察的教科书中，双曲线定义与方程所在章节大致可以分为圆锥曲线、双曲线、解析几何、轨迹方程、椭圆与双曲线和二次方程6类，具体分布见表1．

表1 双曲线定义与方程在93种教科书中的章节分布

3 双曲线的定义

93种教科书中，有11种教科书采用了类比椭圆的方法引入双曲线，3种通过追溯历史来引入双曲线：从梅内克缪斯发现圆锥曲线到阿波罗尼奥斯系统研究圆锥曲线并撰写专著，古希腊数学家在圆锥曲线的研究上相继做出了重要贡献．其他教科书都采用直接引入的方式．

93种解析几何教科书中，共出现双曲线的四种定义：

第一种是原始定义，即“平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与对顶圆锥都相交时，交线称为双曲线”.[8]

第二种是第一定义，即“平面内到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线”．[9]

第三种是第二定义，即“平面内到给定一点及一定直线的距离之比为常数e(e>1)的点的轨迹称为双曲线”．[10]

第四种是基于方程的定义(作为补充说明出现)，即在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0中满足Δ=b2-4ac>0时[11]，或F(x,y)=Ax2+By2+C=0满足AB<0时[12]，其图象为双曲线．

图2 不同时间段教科书中各种定义的分布

这4种定义共出现194次，其中有27种教科书只给出1种定义，38种教科书给出2种定义，21种教科书给出了3种定义，7种教科书给出了4种定义．图2给出了不同时期教科书中各种定义的分布情况．由图2可见，4种定义出现在各个时期的教科书中，第一定义和今天一样最受青睐；而原始定义也受到部分教科书的关注，这与今天迥然不同．

4 双曲线方程的推导

4.1 基于第一定义的推导

·两次平方法

·洛必达法

图3 基于第一定义的双曲线方程推导

·平方差法

共有14种教科书采用了平方差法，相较于两次平方法，其计算的复杂性大大降低；相较于洛必达法，其运算技巧性没有那么强，较有利于初学者理解及计算．

·利用余弦定理

·小结

图4呈现了上述四种方法在不同时期的分布情况．从图中可见，在19世纪的教科书中出现了四种推导方法，而20世纪教科书普遍采用“两次平方法”，方法的多元性不复存在．

图4 基于第一定义的双曲线方程推导方法在不同时期的分布

4.2 基于第二定义的推导

·以准线为纵轴

图5 以准线为纵轴的方程推导 图6 以中心为原点的方程推导

·以中心为原点

·坐标轴的平移

·小结

图7呈现了上述四种方法在不同时期的分布情况．从图中可见，19世纪教科书倾向于以准线为纵轴建立坐标系，到了20世纪，教科书更倾向于以原点为中心建立坐标系．

图7 基于第二定义的双曲线方程推导方法在不同时期的分布

4.3 基于原始定义的推导

·旦德林双球模型

有2种教科书采用了旦德林双球模型．Fehr认为，将立体几何和圆锥曲线结合起来，有助于巩固立体几何知识[20]．如图8，一对对顶圆锥中各有一球与圆锥内表面相切，现用一不平行于母线且不经过顶点的平面去截圆锥，且平面与两球分别相切于点F和F′，则截线为双曲线．直线PT分别与两球面相切于点R和T，则有PF=PR，PF′=PT，PF′-PF=PT-PR=RT，RT为R,T所在圆面之间的母线长，是个定值．因此，双曲线上任意一点到两个定点距离之差为常值[21]．根据这一性质，用解析方法可推导出双曲线的方程．

图8 旦德林双球模型 图9 阿波罗尼奥斯的方法

·阿波罗尼奥斯的方法

·三角法

5 结语

以上我们看到，美英早期解析几何给出了双曲线的四种定义，从第一定义、第二定义和原始定义出发，又采用了丰富多彩的推导方程的方法，涉及代数、几何、三角等多领域的知识．在近一个半世纪里，随着时间的推移，推导方程的方法趋于单一，洛必达法、平方差法、余弦定理法等逐渐被人们所淡忘．

在学生具备立体几何知识基础的情况下，教师为了揭示圆锥曲线之源，可以在教学中采用旦德林双球模型(为降低难度，可制作该模型的教具)，推导出双曲线的焦半径性质，再将双曲线定义为满足该性质的动点轨迹．这样就将原始定义和第一定义统一起来，构建出知识之谐．旦德林双球模型的使用有助于培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养，从而实现能力之助．为了推导双曲线的标准方程，教师可以采用“洛必达法”“平方差法”或“余弦定理法”，以彰显方法之美．当然，在以后的复习课中，还可以采用更多的方法．教师在课堂上呈现双曲线的定义和方程的历史、不同时空数学家在双曲线定义和方程上的贡献，在展示数学文化之魅的同时，也可以让学生体会数学中所蕴含的理性精神，并树立动态的数学观，从而达成德育之效．