能力与素养下高三微专题复习教学策略——以正切为背景的三角形中最值问题为例*

(江苏省如皋中学 226500)

1 背景

1.1 高三二轮复习的现状

经过高三一轮复习，学生已经掌握了基本知识与基本方法，建构了知识网络与方法体系．在二轮复习时，不少学生认为只要多做题，让自己见多识广、熟能生巧就够了，从而每天陷入题海，机械地模仿和复制，做了大量的重复劳动，其结果是遇到问题仍然不会思考，不善于探究解决问题的思路，分析问题和解决问题的能力未能得到提高，二轮复习收效甚微．

另一方面，教师主导下的二轮复习往往是题量多、方法多，表面看课堂容量大，但事实上是忽视了学生数学思维的训练，热热闹闹的课堂上常常是几个优等生的“表演”或是教师的“独角戏”．

1.2 新课程背景下高考的特点

在新课程背景下，高中数学突出了对学生数学核心素养和数学能力的考查．高考命题依据普通高中数学课程标准，考查中学数学的基础知识和方法，考查学生依据基础知识、基本技能分析和解决问题的能力，考查数学本质，真正选拔出会学习、理解数学的学生．

1.3 笔者的观点

(1)高三二轮复习选择适当的微专题进行复习，突出目的性和针对性

微专题选择的特点：切口小、思路宽、占用课时少．选题时可以从教材出发，通过一道题，由基本知识、基本方法逐步深入，挖掘数学本质，探究思想方法，引申出一类题；可以从学生解题过程中的典型错误入手，通过典型问题的解决来探究数学的思路；可以从高考的重点和难点知识板块入手．

(2)教师的教学方式

重在引导、提炼，教师不再是课堂上的主角．课堂上教师通过引导，让学生自己揭开问题的面纱，让学生由“获取”转化为“建构”，“感性”上升为“理性”，使学生领悟数学思想与方法，形成数学思维品质与数学能力．

(3)学生的学习方式

重在自己探索、发现和归纳总结．学生自己经历特定的数学活动，即动耳倾听、动眼观察、动手操作、动口交流、动脑思考，掌握了数学的本质后自己能编写题目，提出问题、分析并解决问题．

本文通过高三微专题案例“以正切为背景的三角形中的最值问题”来具体阐述笔者的观点．

2 教学片断

引例在斜△ABC中，求证：tanA+ tanB+ tanC=tanAtanBtanC．

2.1 解决问题—提出问题—解决问题

设计意图以教材的习题为引例，让学生感觉亲切，增强学生的学习积极性．求解过程利用三角形中内角和为π的等量关系和两角和的正切公式探求得tanA,tanB,tanC三者的等量关系式，并且要求学生进一步熟悉三角形中三个角的正切关系式．

师：在锐角△ABC中，已知sinC=4 cosA·cosB，请将此条件转化为三角形内角的正切关系，并求tanAtanB的最大值．

设计意图巩固三角形内角的正弦、余弦转化为角的正切的基本思路，回顾二元最值问题的求解基本方法，提醒学生在解题过程中要关注细节(锐角三角形)，注意求最值时等号成立的条件．

师：能否探求与tanA, tanB, tanC三者相关的表达式的最值问题？

生3：求tanA+tanB+tanC的最小值．

(请学生探索求解思路,不具体求解)

设计意图让学生明确求三角形内角A,B,C的正切表达式的最值的基本思路是消元：一是转化为一元函数求最值(利用函数单调性)；二是转化为二元问题，通过基本不等式求最值．

师：三角形中，除了研究角的正切值，还可以研究角的正弦和余弦值，试求sin2A+sin2B的最大值．

图1

师：刚才的已知条件都是用数表示的，那么从形入手，该如何转化呢？如图1，在锐角△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，且AD:DB=3:1，求(1)tanA+tanB+tanC的最小值；(2)sin2A+sin2B的最大值．

设计说明一是让学生自主探究发现，已知条件可以转化为3tanA=tanB，上述问题同样转化为一个内角的正切函数求最值问题.二是呈现解决问题的两种常用思路，从数切入，利用三角形中的边角等量关系转化为正切的表达式；从形切入，利用直角三角形中的边角等量关系，转化为三角形中角的正切关系式．

师：在三角形中研究的对象除了角的函数值，还有哪些值得研究的量？

生6：三角形的边、周长、面积等．

师：在△ABC中，已知tanB=3tanA，则三角形的面积有没有最值？

(学生自主探究)

生7：没有最值．因为仅仅有角的关系式，三角形之间是相似关系，只能确定三角形的形状，不能确定三角形的边、面积、周长等的大小．

师：非常好！那么能否再增加条件，探寻三角形的面积的最值呢？

生8：确定一条边．例如，在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，求三角形面积的最值．

(学生自主研究，总结学生的思路)

图2 图3

设计说明一是将三角形内角的正切关系式等价转化为边的关系式有三种常用策略：策略一,化切为弦(边角关系的转化)；策略二，构造直角三角形(化斜为直)；策略三，建系(斜率，点的轨迹).二是求目标表达式的最值问题一般有下列常用的三种方法：策略一，减元，消元转化为一元 函数的最值(利用函数的单调性)；策略二，整体 代换，二元问题结合基本不等式；策略三，数形结合，探寻已知条件的轨迹和目标的几何意义求最值．

师：在△ABC中，已知tanB=3tanA，三角形面积没有最值．刚刚增加的条件是b=1，能否选择增加另外的边长，求三角形面积的最值？

师：非常好！在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，则三角形面积的存在最大值．在此条件下，三角形的周长是否存在最大值呢？

设计说明告诉学生此处只作定性研究，不展开具体的解题过程，突出求二元最值的方法即三角换元、消元判别式法等，求最值要检验等号能否取到．三角形中的边与角的互化有多种途径：从形入手构造直角三角形；从数入手，利用正弦、余弦定理；从建立坐标系入手，求出动点的轨迹和目标的几何意义．

2.2 条件和目标的“化妆”

师：刚刚研究的问题题设条件非常直白．在△ABC中，已知tanB=3tanA，你能否换一个角度，将已知条件“化个妆”，即换一种形式表示？

生16：“tanB=3tanA”转化为“2a2+c2=2b2”．

生17：“tanB=3tanA”转化为“2sin2A+sin2C=2sin2B”．

生18：将“tanB=3tanA”转化为“在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AD∶DB=3∶1”．

师：这些都是刚刚研究的结果．可否再利用正弦、余弦定理将题设条件“化个浓妆”？

生19：利用a2=b2+c2-2bc·cosA，代入 2a2+c2=2b2，得3c=4b·cosA．

师：够“浓”啊！

生20：从sinBcosA=3sinAcosB入手， 得sinBcosA+ sinAcosB= 3sinAcosB+sinA· cosB，则sinC=4sinAcosB，或者c=4a·cosB．

(学生自主探究)

2.3 自主编题

师：刚才研究的方法是将已知和目标换一种表示，可以组合成若干个问题，还可以将已知与目标互换等编出更多的新题(相对于学生而言)．

(2)在△ABC中，a2+2abcosC=3b2，则tanAtanBtanC的最小值为__________．

师：“浓妆淡抹总相宜”，不管条件“长成”什么样，有了这一节课的学习，在茫茫题海中总能一眼读懂你！这就是数学的魅力所在！

设计说明本堂课由课本一道习题，通过拓展引申为一类题，即已知三角形角的函数值与边的关系，确定三角形的形状，求角的函数值，求边长、面积和周长的取值范围等．所有问题的求解都归结到正弦、余弦定理及两角和与差的正切公式，通过对研究问题的思路和方法的总结归纳，提升了学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，增强了学生发展数学素养的意识．

3 教学思考

3.1 高三微专题复习教学设计的关键要素

(1)教学设计的目的

“高三微专题”是指围绕高三复习中的重点、难点、易错点、弱点和题型类型而精心设计的、以巩固具备相关性的基础知识与基本思想方法为目的的一类专项研究，这是一类能够在1—2节课(每一节课45分钟)内专门解决问题的小专题．它能促进学生深度学习，易于让学生从根本上认识学科的本源，通过这些微专题的复习进一步提升学生解决问题的能力，发展学生的核心素养．

(2)教学设计的几种类型

设计依据：一是围绕教材的主干内容、重点和难点、易错点等；二是学生学习中的重点及热点问题；三是高考试题各类型题的特征；四是常用解题方法和数学思想方法等．

(3)教学设计的基石：知识与方法框图

本节课的学习让学生通过对关键词的解读和问题的解决，理解相应的知识与方法结构，建构知识网络，掌握基本方法，并能在知识交汇处进行综合提升．本节课的基础知识和基本思想方法框图如图4所示．

图4

3.2 高三微专题复习中数学核心素养的培养与落实

核心素养的培养与落实体现在教师的教与学生的学这两个重要环节．

·教师的教

教师要藏慧装愚，引导与追问同上阵．

(1)教师要能从一节节数学课的教学中跳出来，整体把握数学课程，突出课程中的教学主线．数学课程目标要求教学中关注数学的学习方式，关注数学核心素养的六要素，通过观察、实践、思考、推理、互动等数学活动，引导学生动手实践、自主探索、合作交流，从不同角度解决问题、感悟解决问题的策略与方法．教学中要突出在活动中思考，感受知识的价值，领会知识的本质，体验基本方法的应用．

(2)课堂教学中自始至终创设机会让学生深度思考．本堂课仅直接给出了一个引例，其他的环节中，如研究问题的思路、解决问题的方法及总结提炼等，教师都是旁观者，所有机会都给了学生，让学生独立思考，再交流互动、质疑，再展示．教师通过追问暴露学生的思维过程，每当一个活动或一个问题的解决后，教师只是提醒学生“哪个条件暗示你这样想？”“你为什么这样想？”“是联想到哪个问题或结论暗示你这样想？”“还有别的解法吗？”“解决这一问题最容易想到的方法是哪一种？”“运算是否还可以再优化？”等等．

(3)课堂注重提高学生选择思维能力和发展学生提出问题素养．传统教学对于提高学生解决问题的能力已经达到一定的高度，忽视的是学生自主发现问题能力的提升．本堂课通过将已知条件和目标的“化妆”，探索研究问题的产生过程，揭示解决问题的方法的形成过程，让学生明白问题的源头和产生的过程，培养学生的提出问题、发现问题的能力，发展学生数学抽象的素养；通过一题多解、多题一解及各种求解方法优化的过程，发展学生数学选择思维能力．

·学生的学

学生手脑并用，能力与素养共提升．

(1)学生是发展数学核心素养的主体．在课堂上通过各项活动，让学生自主探究、展示、点评、完善，再发现问题、提出新问题等．学生经历解决问题—提出问题—再提出问题—建构思路—解决问题的过程，在初步感觉、体验感知、思考感悟的过程中，学生的直观想象、数学运算和数据分析等素养得到真正发展．

(2)自主探究是发展学生数学素养的关键手段．本节课从已知条件、所求目标入手，探索研究问题的方法，探寻问题的本质．如解决了只有三个角度的正切值有关问题后并没有直接抛出新问题，而是引导学生探究三角形的元素——角、边、周长、面积等，增加哪些元素、探索哪些元素的问题，从数的角度，转化为边和角的正切值解决，从形的角度，转化为轨迹和曲线的问题来解决．最后，用本节课的研究方法去探寻以正切为背景的三角形中的最值问题，进一步拓展为其他背景下的三角形、多边形的最值问题．