启发式数学教学的探索与实践——以“弧度制”概念教学设计为例

(淮北师范大学数学科学学院 235000)

数学教学是科学性与艺术性的有效结合，并且更偏向于艺术性．教学艺术是以教师的教学天赋、技能技巧、个性经验、兴趣、体悟、想象力、心向等要素的融合与平衡为基础，在数学教学实践中分享其他数学教师的教学精华而发生的．[1]因此，好的数学教学的产生是一个领悟、反思与实践相结合并相互作用的过程．数学教学的这种艺术性展开所聚焦的一项重要目标就是启发学生思考．

1 启发式数学教学的目标及其手段分析

数学教学是有目的、有计划、有准备的实践活动．通过教材分析与学情分析，寻获学生接纳新知时的一系列心理线索，从而设置教学目标，进而设计一系列与心理线索一一对应的数学问题来启发学生思考．除此以外，教师还要通过烘托课堂气氛，鼓励学生带着问题进行探究发现活动，以此调动学生学习数学的积极性与主动性．当然，教师的问题设计得好，学生的活动参与度和思维参与度也自然都高涨起来，那么课堂便活了起来[2]，知识也就自然生长了．这种目标与手段大致分为以下几个方面：

其一，以促进学生发展数学学科核心素养为目的．王策三先生说：“知识好比一个百宝箱，里面藏了大量的珍宝，不仅含有关于客观事物的特性与规律，而且含有人的主观能力、思想、情感、价值观等精神力量、品质与态度．”[3]这些都是组成数学学科核心素养的主要元素．但是，学生自己很难将知识中的这些价值移植到自己的认知结构中去，需要教师通过教材分析，将这些发展学生数学学科核心素养的要素提取出来，通过合乎学生心理认识的途径，投射到学生的认知结构中去．

其二，以教学目标为大方向组织课堂教学活动．教学目标在教学过程中发挥引领作用，在进行教学设计时，要将教学目标具体化，根据具体目标设计具体的数学问题，由问题生成教学设计预案中的“问题串”，进而整合出课堂教学活动．“问题串”要体现思维的逻辑性、问题的深入性和启发的渐近性，以实现在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这三方面的教学目标．

其三，以“通过问题启发学生积极思考”作为课堂实施的核心．数学问题是数学的心脏，也是数学教学和数学学习的心脏．数学教师要启发学生从数学的角度发现问题和提出问题，引导学生分析问题，形成解决问题的思维策略．数学教师要以“问题”为载体，以问题背景的创设为出发点(如本课例以高中三角函数的学习为出发点)，以教学内容提出的具体问题为主线，引导学生独立思考、主动探索、合作探究来分析问题并解决问题．[4]

其四，注重思想渗透，帮助学生汲取数学思想方法的丰富营养．数学思想方法是从具体数学认知过程中提炼和概括出来的，具有可迁移和可推广的价值．在启发式数学教学的过程中，教师必须重视对数学基本思想方法的渗透，从而加深学生对数学概念、公式、定理的理解，提高学生的数学思维品质；同时，教师应当把学生的思维探究引向深处，从而最大限度地激发他们体验和理解数学内容的本质．[5]

由此可见，启发式数学教学的落脚点在于通过数学提问调动学生学习数学的积极性，引导学生主动参与数学学习.而数学学习心智活动的核心就是数学思维活动，教师正是要围绕学生学习数学的思维活动的这一核心来设计具有启发性的问题．如此说来，教师启发学生进行数学思考是实现数学课堂教学目标最为关键的要素，而数学问题是启发学生数学思考的有效工具．

2 使用问题驱动启发学生数学思考示例

一切科学研究毫无例外地都要经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程．也就是说，科学研究是由问题驱动的．同样，数学教学也离不开数学问题的驱动．数学教师要运用数学被发现时的本真问题，加以提炼、加工、呈现给学生，引导他们进行火热的思考，以达到启发式教学的目的．这里的数学问题并不是习题或实际问题，而是具有启发性的、本原性的、触及数学本质的、能够在教学中起统帅作用的问题．[6]

在基于“问题驱动”的启发式数学教学课堂中，笔者以问题串和真实课堂为载体，将教学内容设计成问题串，通过层层递进、环环相扣的数学问题来驱动课堂教学，启发学生思考，引导学生自己发现数学知识．本节课是高中弧度制的教学，由初中的三角函数引入，从已有的角度制的定义中获得启发，即从已学过的知识中寻得解决问题的灵感和思路，将角的概念进行推广，而“将初中所学的三角函数放在高中所学的函数定义中，此三角函数是否仍然成立”是角度制向弧度制转化的突破口．具体设计如下.

师：初中时我们学习了直角三角形中锐角的三角函数．在高中，我们还要继续学习三角函数．同学们还记得初中时学习了哪些三角函数吗？

生1：正弦函数sinA，余弦函数cosA，正切函数tanA．角A可以取30°, 45°, 60°，…

师：当时根据什么来定义它们为函数的呢？

生：根据初中的函数定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．对于A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA, tanA也是A的函数．

师：也就是说，初中所学的三角函数满足初中的函数定义．在高中我们也学习了函数定义，可否把初中定义的三角函数直接移植到高中所学的函数中来呢？

生：……

师：我们先来回忆一下高中函数是怎么定义的．

生：一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

师：据此，同学们能够提炼出满足高中函数定义的几个重要条件吗？

生2：①两个非空实数集A,B；②对于A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与其对应；③对应关系f．

师：很好！我们如何判断初中所学的三角函数在高中函数概念中是否为函数呢？

生3：可以看初中所学的三角函数是否满足高中函数定义的这三个条件．

师：很好！同学们一起来判断一下，正弦函数f(x)=sinx,x=30°, 45°, 60°,…在高中的函数定义下是否仍为函数呢？

生4：f(x)=sinx,x=30°, 45°, 60°,…在高中的函数定义下不是函数．因为自变量x的取值为30°, 45°, 60°,…,这是一些带有单位(度)的“量”，而不是一些“数”，不满足上述的第一个条件(x的取值范围A为非空实数集)．

师：既然初中所学的三角函数在高中函数概念中不能称之为函数，那么如何利用高中函数来定义三角函数以便继续研究呢？

生5：高中函数要求自变量x和因变量y的取值范围A,B为非空实数集，而不像初中函数定义的那样，x与y为变“量”即可，不要求其为“数”．那么我们是否可以将f(x)=sinx中的自变量x由一些“量”变为一些“数”呢？也就是将角A的度数由量转换为数．

师：这个想法很奇妙，也符合我们问题解决的方向．如何进行这种转换呢？

生：……

师：在初中，我们如何度量角的大小的呢？

师：这位同学将初中学的“角度制”解释得非常清楚．现在我们就是要想办法将这种以“度”为单位来度量角的角度制转化成一种以“数”为单位的度量角的单位制.如何转化？

师：如何将这个“量”变为“数”？

生：……

师：回想一下，我们曾经用过的单位量通常是多少？或者说我们通常设单位量为多少来解决问题呢？

生10：这让我想到了单位1，因为作为单位，我们总想使用“1”．

师：非常好！我们终于得到了想要的结果——以一个简洁的数作为单位角来度量角．这就是我们今天要学的另外一种度量角的单位制——弧度制．同学们能试着说出弧度制的定义吗？

生：长度等于半径长的圆弧所对的角叫做1弧度的角．

图1

师：总结得很好！长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角(图1)，弧度制单位用符号rad表示，读作“弧度”．那么弧度制下的角如何表示呢？

师：对于这个式子，同学们有疑问吗？它对任意角都通用吗？

师：很好！一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．现在我想问，某圆心角为αrad，此圆心角的单位为rad，那么αrad是一个量还是一个数呢？

生14：αrad带有单位，是一个“量”，而α才是一个“数”.我们能否只用α来表示角呢？

师：这位同学说出了大家的想法！今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad通常略去不写，只写该角所对应的弧度数．例如，角α=2就表示α是2 rad的角．如此，我们便可以用数来度量角了．既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间应该可以换算．如何换算呢？

师：现在请同学们利用这些换算公式，将本节课开始时给出的角度30°, 45°, 60°，…转化成弧度．

师：在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起了一一对应的关系.每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．因此，我们这节课最开始的问题迎刃而解了.有了弧度制，我们就可以继续研究高中函数概念下的三角函数了．

至此可见，本节课就是通过这一系列的数学问题来启发学生思考探究、达到数学教学目的的．课堂一开始，教师指出高中要继续学习三角函数，由此引出一连串的数学问题对话，最后得到角的集合与实数集R之间的一一对应关系，使得三角函数满足高中函数定义，解决了在高中函数定义下继续研究三角函数的问题．

3 结语

在启发式数学教学课堂中，学生通过一连串数学问题的提出和解决，认识到数学概念的发现、形成和发展，学会用数学思维来思考数学问题．这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还培养了学生良好的数学素养，也正好符合数学自身的发展规律．启发式数学教学实质上也就是问题的提出、探索和解决的全过程[7]，启发式数学教学的探索与实践也是以问题驱动教学为基础的．因此，在今后的数学教学中，数学教师要学会利用数学问题来驱动数学教学，发动数学思维，触动数学灵感[8]，更好地做到启发学生思考．