关注概念生成过程 提升数学抽象素养——以“任意角的三角函数”为例

(江苏省苏州工业园区星海实验中学 215100)

著名心理学家克鲁捷茨基等通过实证研究证实：抽象概括能力是数学能力的核心，具有较强抽象概括能力的学生在数学学习中很容易体验成功．[1]数学抽象作为数学学科核心素养之首，是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征．[2]数学抽象是获得数学概念、提出数学命题、形成数学思想的主要表现形式．在数学抽象核心素养的形成过程中，学生能进一步发展数学抽象能力，能积累从具体到抽象的活动经验，能够运用数学抽象的思维方式思考并解决问题．

中学教学中，教师往往过于强调题型与解题的技巧，却忽视了对数学抽象素养的提升．培养学生的数学抽象能力是个循序渐进的过程．因此，在我们日常的教学中，应将培养数学抽象能力有意识、有计划、有目的地贯穿于课堂教学，慢慢渗透和灌输，把发展学生的数学抽象能力与课标要求有机结合，逐步提升学生的数学抽象素养．本文以“任意角的三角函数”为例，谈谈在概念教学中引导学生开展数学抽象活动，展现数学思维过程，并提升学生数学抽象素养．

1 教材分析

“任意角的三角函数”是苏教版必修4第二章第一节中的内容，本节课具有承上启下的重要作用．一方面是对函数概念的加深，从数到数的映射“升级”为数到比值的映射；另一方面，也为后续学习同角三角函数关系、诱导公式等做好铺垫．本节课的重点是任意角三角函数概念的抽象过程，引入概念的必要性和合理性是教学的关键，从函数的概念理解三角函数的定义是教学的难点．下节将通过有向线段和数量的概念来研究任意角三角函数定义的几何表示．

教学目标(1)掌握任意角三角函数的定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并通过定义明确正余弦、正切的定义域以及在各象限的符号；(2)通过锐角三角函数定义到任意角三角函数定义的推广，体会概念的抽象过程；(3)制造矛盾情境，培养学生分析问题、解决问题的能力．

教学重点任意角的三角函数的定义．

教学难点任意角的三角函数定义的抽象过程．

2 教学过程

2.1 引申铺垫，创设情境

师：在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切值，下面我们任意画出一个锐角(图1)．

问题1你能求出该锐角α(图1)的正弦、余弦、正切值吗？

师：也就是说我们通过构造直角三角形，然后量出它的对边、邻边以及斜边的长度，这样就可以求得该锐角的正弦、余弦、正切值了．

图1 图2

问题2当点P在射线OA上变化时，锐角α的正弦、余弦、正切值是否会发生改变？

学生思考，小组讨论．

教师先通过几何画板在图形上直观地加以演示．不难发现，当点P在射线OA上变化时，正弦、余弦、正切值均不发生改变．

问题3再请同学们思考，能否从数的角度加以证明？

生：可以通过三角形相似来证明.在射线OA上再取一点M，不同于点P，过点M作MN⊥OB，垂足为N，则可以得到△OPQ∽△OMN，所以角α的正弦、余弦、正切值均不发生改变．

问题4当锐角α的大小发生变化时，这三个比值是否会随之改变？

学生思考后，汇报小组讨论成果．

教师先通过几何画板演示，发现当锐角α的大小发生变化时，这三个比值随之改变．即当α为锐角时，三个比值随α的变化而变化，且对于α的每一个确定值，这三个比值都唯一确定，不会随点P在射线上的移动而变化．

设计意图引导学生从函数的观点来认识这三个比值，即它们分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数．

问题5若α为任意角，怎样定义任意角α的三角函数呢？

师：前面我们学习过锐角、直角、钝角、平角以及周角，并借助直角坐标系推广到任意角，即当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，通过角的终边位置给出了任意角的概念．那么，我们能否在直角坐标系下定义任意角的三角函数？

师(追问)：首先我们一起在直角坐标系下，重新研究一下锐角三角函数的定义．

图3

设计意图为了实现锐角到任意角的推广，在学生的最近发展区构建桥梁，既与初中的定义相符，又能自然而然地实现知识的迁移，此处是突破任意角三角函数概念的难点之一．

图4

问题6若角α的终边落在了第二象限(图4)，能否用类似方法定义α的三角函数呢？

师：如果角α的终边落在了第三象限、第四象限呢？

设计意图从知识冲突中寻找研究问题的新方向，让学生经历在知识的生成中所产生的问题，参与新问题的思考与解决，在思维的碰撞中获取新的灵感．

师：那么请大家验证一下，此时是否符合函数的定义呢？

设A，B是两个非空的数集，如果对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，则称为从A到B的函数．

师：角的终边一定落在四个象限吗？

2.2 知识建构，形成概念

2.3 数学运用，演练提升

例2已知角α的终边经过点P(2,-3)，求角α的正弦、余弦、正切值．

师：能否改变题中的条件，再求解角α的三角函数值？

生1：可以让角α的终边落在坐标轴上.

生2：让角α的终边经过点P(2a,-3a)(a≠0).

生3：让角α的终边落在直线3x+ 2y=0上．

设计意图通过例题及开放性问题的探究， 让学生在变与不变中深刻理解概念的本质，重现概念的抽象过程；再利用投影展示学生的解题过程，在示范与纠错中深化对概念内涵的理解和外延的辨析．

例3利用提供的量角器、尺规、计算器完成下列操作：

设计意图通过设计活动和实验，让学生分组操作、交流互动、动手探究，旨在通过一正一反的应用让学生深刻体会“长度比”与“坐标比”的区别与联系，同时也为后续学习任意角的三角函数定义的几何表示做好铺垫．

2.4 课堂小结，回顾提炼

(1)本堂课学习了什么概念？解决了什么问题？

(2)从中体会到了哪些数学思想方法以及研究问题的方法？

设计意图引导学生从知识结构、研究思路、数学思想等方面对本节课的内容进行回顾总结．三角函数的定义简单易记，但更重要的是掌握概念的抽象过程以及获取新知识的方法，这样才能真正地理解概念．

2.5 课外作业，巩固提高(略)

3 教学思考

3.1 关注概念自然生成

概念的生成过程不仅能完善知识结构，更能培养学生运用数学的抽象思维方式思考并解决问题．在“任意角的三角函数”一课的概念建构过程中，笔者利用学生原有的认知结构与新概念之间的矛盾去制造一种恰当的教学情境，激发学生的认知冲突并不断提出问题，引导学生解决问题，并留有时间让学生独立思考、合作探究，将所得到的结论用数学语言、符号语言、图形语言加以表示，让学生体会概念的合理性，从而在思维碰撞的过程中促进思维的深度参与，完成概念的自然生成．

3.2 关注变式探究模式

所谓变式，是指教师引导学生对所给的条件进行观察、分析，进行恰当的改编、推广，将原题与变题的条件与结论进行对比，抽象概括为同一解题方法，在变化中找寻数学规律，展示知识的发生发展过程，它有利于学生构建数学体系，理解概念本质．课堂教学中，教师应不失时机地让学生参与题目的探究活动，通过改编题目、解答题目来发现规律，有利于培养学生的探索精神和创新意识，提升数学抽象素养．笔者在例2直接利用概念求解任意角的三角函数后，设计了这样一个探究点：让学生适当改变条件来求解三角函数．学生分组讨论，最后给出了三个变式及其解答．通过这样的变式教学，学生再次经历了知识的生成过程，理解了概念的本质属性，也只有掌握了规律性的知识才能实现知识的迁移，才能在变与不变中发现本质、触类旁通，真正提升抽象能力．

3.3 关注学习内化过程

内化，是将看、听、想等思维观点经内证实践所领悟出的具有客观价值的认知体系．而内化的过程正是学生自我反思、自我提高、自我升华的过程．作为教师，我们追求的不仅仅是让学生掌握教材中的概念定理等，更要引领学生去探究背后所隐藏的数学思维，当把这种思维真正内化为自己的思维方式的时候，学生思考问题就会全面而缜密．

学习的内化过程是提升数学核心素养的最终体现．课堂上，教师要关注学习的内化过程，要根据探究目标有效地安排活动流程、展示成果与评价，让学生积极主动地参与，通过实验与交流互动有效地促进学习内化．数学不仅仅是知识的简单累积，更是一种创造性的活动．因此，教师要有足够的耐心，要给与学生充分的思考，让学生经历“再创造”的过程．本节课中，笔者在“任意角的三角函数”的概念抽象出来之后，让学生利用量角器、尺规、计算器任意作出一个角并估算三角函数值，以及已知三角函数值画出该角，这样的设计旨在通过自主动手实验，让学生再次体验任意角三角函数概念的抽象过程，并深刻体会“长度比”与“坐标比”的区别与联系，加深对概念内涵及外延的理解．学生既增加了学习兴趣，又体会到了探究的方法，从而帮助学生多角度地理解概念、多途径地探索数学，将数学内化成为自己的思维，真正理解数学的本质．