“整体与部分关系原理”在解函数综合题中的应用

李永革

(安徽省巢湖市第一中学 238000)

数学学习，应该从“知识的积累”上升到“处理问题的一般方法”，挖掘背后蕴含的丰富思想，形成看问题的基本观点.布鲁纳在《教育过程》的“结构的重要性”中希望学生的学习从“特殊”迁移上升到“原理和态度”的迁移，即学习一个一般观念.观念决定视野，视野决定格局，格局决定境界.观念是思想的升华，决定了看问题的深度和层次.因此，数学解题不能仅仅限于“解”和“题”，需要高观点的指导.

函数是描述事物变化规律的数学模型，从“形”来看，函数图象上的点是部分，整个图象是整体；从“数”来看，定义域是整体，属于定义域的任意一个实数或区间是部分；从“表达式”来看，解析式是整体，其中的局部单元是部分，运用“整体与部分关系原理”指导函数问题解决，会产生意想不到的效果.

一、原理的内容

1.内涵

整体是构成事物诸要素的有机统一，部分是整体中的某个或某些要素.

2.整体与部分辩证关系原理的方法论意义

(1)整体的地位作用其方法论意义

整体具于主导地位，统帅着部分，拥有部分所不具备的功能.我们应当树立全局观念，立足于全局，统筹整体，选择最佳方案，实现整体的最优目标.从而达到整体功能大于部分功能的理想效果.

(2)部分的地位作用及其方法论意义

整体是由部分构成的，关键部分功能及其变化甚至对整体起决定性作用.我们必须重视部分的作用，搞好局部，用局部的发展来推动整体的发展.

二、原理的应用

1.找到关键点，在关键点上求突破

解题时，如果能抓住整个问题或整个过程的关键部分或关键过程，往往对整个问题的解决起到决定性作用.

例1(2015全国Ⅱ理)如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x，将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为( ).

例2(2014全国Ⅰ文)已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为( ).

当a>0时，注意到f(0)=1>0，作出图象知当f(x)有唯一零点时，零点为负.

点评抓住f(0)=1，这是局部性质，但它对整个图象的零点分布起关键作用.

例3(2017全国Ⅲ理)已知函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；

解析(1)f(x)恒大于等于0，f(x)=0的地方是关键点，注意到f(1)=0，所以x=1是最小值点，且是区间内点，所以x=1是极小值点，从而由f′(1)=0得答案.

例4(2015全国Ⅱ理)设函数f(x)=emx+x2-mx．

(1)证明：f(x)在(-，0)单调递减，在(0，+)单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范围．

点评因为图象是U字形.求最大值只要抓住端点-1，1和极值点0这三个关键点即可.

2.找到关键部分，理解关键部分对整体的影响

例5(2019全国Ⅰ理)已知函数f(x)=sinx-ln (1+x)，f′(x)为f(x)的导数.证明：

(2)f(x)有且仅有2个零点.

点评因为sinx是有界函数，当x很大时f(x)的函数值由ln(1+x)控制，所以ln(1+x)是关键部分，sinx可忽略不计.当x∈(2,+)时，ln(1+x)>1,函数f(x)>0，无零点.于是只要证明当x∈(-1，2)时函数f(x)有两个零点即可.

3.抓整体结构，依据结构特征选择解题方案

例6 求下列函数的最值：

(5)y=log3x+logx3-1.

解析本题在选择求值域的方法时必须从解析式整体结构出发.比如第(1)小题解析式是分式结构，且分子、分母都是关于自变量的一次式，于是无需关注各部分的细节，就可以选择“分离常数法”.而第(4)小题整体结构与第(1)有所不同，分子、分母是关于自变量的二次式，则应选择“判别式法”.第(2)小题整体结构特征是一次式和二次根式，故选择“根式换元法”，转化为二次函数求值域.第(3)、(5)小题则分别选择“三角换元法”、“基本不等式法”.

4.对整体进行合理分拆和变换

对整体进行合理的分拆，分解为若干基本的单元，由各单元的性质得到整体的性质或通过对基本单元的处理，得到新的整体，使新的整体具备某种性质，为解题服务.

解析∵y=ln (1+|x|)为偶函数，且在[0，+)单增；为偶函数，且在[0，+)单增；所以为偶函数，且在0，+)单增.f(x)>f(2x-1)⟺f(|x|)>f(|2x-1|)⟺|x|>|2x-1|⟺x2>(2x-1)2，所以x的取值范围是

点评将函数f(x)分成两部分，根据两部分的共同性质得到整体的性质，再用所得的性质解决问题.

例8(2019河南信阳)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=f(x-5)+x，数列{an}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45，则a1+a2+…+a9=( ).

A.45 B. 15 C. 10 D.0

解析涉及函数值和自变量的和或积，常考虑函数对称性.函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，则y=f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，那么y=f(x-5)的图象关于点(5，0)中心对称，函数y=x-5的图象也关于点(5，0)中心对称.设p(x)=f(x-5)+(x-5)=g(x)-5，则p(x)图象也关于点(5，0)对称.因为g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45，所以p(a1)+p(a2)+…+p(a9)=0.结合图象可知a5=5.所以a1+a2+…+a9=5a5=45.

点评本题对函数g(x)后半部分x进行了处理，构造出新函数p(x)，使p(x)具有关于点(5，0)对称的性质.

5.利用整体性质和部分性质的统一

例9(2015全国Ⅰ文)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=( ).

A．-1 B .1 C .2 D.4

解析设(x，y)是函数y=f(x) 的图象上任意一点，它关于直线y=-x对称点为(-y，-x)，由已知知(-y，-x)在函数y=2x+a的图象上，∴-x=2-y+a，解得y=-log2(-x)+a，即f(x)=-log2(-x)+a.∴f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1，解得a=2，选C.

点评图象具有对称性，则图象上的点也具有相应的对称性，这是本题解题的依据.

例10(2018全国Ⅱ文)已知f(x)是定义域为(-，+)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解析由题意可知函数f(x)的周期为4，结合f(1-x)=f(1+x)，得f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0，一个周期函数值之和为0.所以，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.

点评周期函数，它的所有性质都蕴含在一个周期内.只需研究一个周期，就可以弄清楚它在整个定义域内的性质.

点评整体具有的性质部分也具备，先通过部分性质的处理，获得某些限制条件，缩小问题的研究范围，使问题的研究得到简化.

6.注意整体性质是部分性质的有机结合

A.25 B.50 C.75 D.100

以上结合实例探讨了“整体与部分关系原理”在解答函数综合题中的运用.事实上在数学课程中，能够用“整体与部分关系原理”来思考的问题还很多，比如：统计学中的用样本估计总体，平几中的图形分解，立几中的截面选取，代数中利用函数观点研究方程、不等式、数列等等.只要我们善于利用上述原理思考，都会有助于思维的突破.