巧用数轴表示圆与圆的位置关系

武兴亮

(江苏省无锡市青山高级中学 214000)

一、圆与圆的位置关系(几何法)

设有圆C1与圆C2，半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，从下面的图可以看出，平面上两圆的位置关系有五种，可以从两圆的圆心距与两圆的半径大小关系来判断.

(1)当d>r1+r2时，圆C1与圆C2相离；

(2)当d=r1+r2时，圆C1与圆C2外切；

(3)当|r1-r2|

(4)当d=|r1-r2|时，圆C1与圆C2内切;

(5)当d<|r1-r2|时，圆C1与圆C2内含.

二、结合数轴展示圆与圆的位置关系

从上面圆与圆的位置我们发现，圆心距d的值与r1+r2,|r1-r2|的值的大小关系决定了圆与圆的位置关系.首先我们画一个数轴，设其为d轴，其上有r1+r2和|r1-r2|.根据圆心距d的大小，两圆的位置关系就可以清晰地在数轴上展现出来(见下图).

今后在解题过程中，我们只需要算出r1+r2,|r1-r2|这两个值，然后将其与圆心距d进行比较，结合数轴，就很容易进行判断了.下面举几个例子进行说明，以显示这种方法的便捷性.

三、题型研究

例1 已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1和圆C2的位置关系.

解把圆C1的方程化为标准形式为(x+1)2+(y+4)2=25,C1(-1,-4),半径r1=5.

由上图可以看出，圆C1与圆C2相交.

(变式)：已知两圆C1:x2+y2=1,C2:(x+4)2+(y-a)2=25,若两圆相交，求实数a的取值范围.

解因为圆C1:x2+y2=1,圆心坐标为C1(0,0),半径r1=1.

因为C2:(x+4)2+(y-a)2=25,圆心坐标为C2(-4,a),半径r2=5.

而r1+r2=6,|r1-r2|=4

例2已知圆x2+y2+m=0与圆x2+y2-6x+8y=0没有公共点，求实数m的取值范围.

解因为两圆没有公共点，所以他们之间的关系可以由下面数轴看出.

因为x2+y2-6x+8y=0，即(x-3)2+(y+4)2=25，半径r2=5.

本文通过以上事例展示了在用几何法判断圆与圆的位置关系时，结合数轴，会为我们的解题带来便捷.