导数破最值 参数巧求解——2019年全国Ⅲ卷理科第20题

邓超群

(湖北省襄阳市第三中学 441000)

在解决有关函数的最值问题时，经常采用导数法，结合导数运算、函数的单调性、函数的极值以及端点处的函数值的大小等来综合处理，最终得以解决有关函数的最值问题，是应用比较广泛的一类解题方法．而参数取值的确定问题是函数最值中的一类难点，属于逆向探究题型．解决的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表或分类讨论，直观形象，结合最值，问题最终落脚在比较极值与端点值大小上，从而解决问题．

一、真题在线

高考真题(2019·全国Ⅲ卷理·20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．

本题(2)中有关含有参数的函数的最值问题，通过逆向思维法，采用分类讨论，在参数a不同取值情况下，结合函数f(x)在对应区间的单调性确定极值，从而比较极值和端点处的函数值的大小，以及题目中对应最小值与最大值的已知量，比较分析来确定相应的参数值问题．从不同的角度分类讨论，会有不同破解过程，产生不同的解题方式．

二、一题多解

解析(1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)．

若a=0，则f′(x)≥0，即f(x)在(-∞，+∞)单调递增；

(2)方法1：(官方标答——参数分类讨论法)

满足题设条件的a，b存在．

①当a≤0时，由(1)，知f(x)在[0，1]单调递增.

所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)=b，最大值为f(1)=2-a+b.

此时a，b满足题设条件当且仅当b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1.

②当a≥3时，由(1)，知f(x)在[0，1]单调递减.

所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)=2-a+b.

此时a，b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1.

综上所述，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f(x)在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．

点评借助(1)中函数f(x)的单调性情况，分“a≤0”，“a≥3”以及“0

方法2：(单调区间分类讨论法)

满足题设条件的a，b存在．

此时a，b满足题设条件当且仅当|f(1)-f(0)|=|2-a|=2，解得a=0或a=4.

则有a=0，b=-1或a=4，b=1.

综上所述，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f(x)在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．

三、规律总结

破解函数f(x)在闭区间[a，b](a

1.若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求方程f′(x)=0在区间[a，b]内的根，并计算使导数等于零的根的函数值(可以一个，也可以多个)，把这些函数值与f(a)，f(b)的值进行比较，其中最大的一个值就是最大值，最小的一个值就是最小值．

2.若所给的闭区间[a，b]含有参数，在对函数f(x)求导的基础上，要通过对参数进行分类讨论，判断函数f(x)在各相应子区间内的单调性，利用单调性所对应的极值以及端点值的比较，从而得到函数f(x)的最值(最小值或最大值).