一道高考不等式题的浅析

陈丽

【摘要】不等现象是现实生活中的常见现象，建立不等关系能够更好地解决实际问题.不等式在高考中是重要的考查内容，常常与几何、函数、方程、概率等内容相结合.高考题大多来源于教材，对一道不等式题目的一题多解、一题多变、教材中的题源以及推广，能够使学生通过解答一道题目了解一类不等式题型，提高学生的解题能力.本文选择2019年高考理科数学（全国卷Ⅰ）中的一道不等式证明题进行简要分析.

【关键词】不等式;一题多解;一题多变;推广

2019年高考理科数学（全国卷Ⅰ）第23题不等式选讲：

23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1，证明：

（1）1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2;

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.

一、对不等式（1）的一题多解、多变、题源及推广

（一）对不等式（1）的一题多解

对不等式（1）变形的方式有两种：直接将abc=1替换题目中的分子1，或者将不等式左边直接通分.

将证明1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2转化为证明a2+b2+c2≥bc+ac+ab成立.

證法1 比较法

证明：∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2） 2

=1 2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

证法2 综合法

证明：∵abc=1，∴1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab.

又∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca.

根据不等式性质，三式相加得：

2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），

∴ab+bc+ca≤a2+b2+c2，∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

证法3 分析法

证明：∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab abc≤a2+b2+c2，

∴bc+ac+ab a2+b2+c2≤abc，

bc+ac+ab a2+b2+c2≤b2+c2 2+a2+c2 2+a2+b2 2 a2+b2+c2=1，

∴abc=1，∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

证法4 反证法

证明：假设1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2不成立，即

证明a2+b2+c2<1 a+1 b+1 c成立.

由题意得1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab.

∵a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=1 2[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2）]

=1 2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，与假设矛盾，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2.

证法5 放缩法

证明：令a≥b≥c，

∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）=a（a-b）+c（b-c）+c（c-a）

≥c（a-b）+c（b-c）+c（c-a）=0，

∴a2+b2+c2-（bc+ac+ab）≥0，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

证法6 一般形式的柯西不等式

三维柯西不等式为：

证明：1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

根据柯西不等式得：

（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（bc+ac+ab）2，

右边展开、移项得：a2+b2+c2≥bc+ac+ab，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

证法7 向量法

证明：设m =（a，b，c），n =（c，a，b）.

∵|m |·|n |≥|m ·n |，

∴a2+b2+c2·b2+c2+a2≥ac+ba+cb，

∴a2+b2+c2≥ac+ba+cb，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

证法8 构造函数[1]

证明：设f（a）=a2+b2+c2-（bc+ac+ab），

f（a）=a2-a（b+c）+b2+c2-bc，

Δ=（b+c）2-4（b2+c2-bc）=-3（b-c）2<0，

∴f（a）≥0恒成立，∴a2+b2+c2≥bc+ac+ab，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

同理，也可以以b或c为自变量构造函数，证明不等式成立.

证法9 参数法

证明：令a≥b≥c，设a=t+c，b=n+c（t≥0，n≥0），

∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=（t+c）2+（n+c）2+c2-c（n+c）-c（t+c）-（t+c）（n+c）

=（t-n）2+nt≥0，

∴a2+b2+c2-（bc+ac+ab）≥0，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

（二）对不等式（1）的一题多变

一题多变主要是通过改变同一道题的条件或者结论，一题多变的类型主要包括隐藏定值条件、改变成立的条件，或者改变背景将条件与其他知识进行交汇等.

变式1：（隐藏成立的条件）已知a，b，c为正数，且满足lnabc=0，证明：1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

变式2：（改变结论）已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc=1，证明：a2+b2+c2≥1 a+1 b+1 c.

变式3：（改变条件）已知a，b，c为正数，证明：ab+bc+ac≤a2+b2+c2.

变式4：（交换条件和结论）已知a，b，c为正实数，且1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2，证明：abc=1.

变式5：（增加元，交换条件和结论）a，b，c，d为正实数，且满足abcd=1，证明：1 a+1 b+1 c+1 d≤a3+b3+c3+d3.

变式6：（改变背景）[2]设a，b，c是△ABC的三边，证明：a2+b2+c2≤2（ab+bc+ac）.

（三）不等式（1）在教材中的題源

题（1）来源于高中数学4-5不等式选讲，第一讲的练习题第10页第7题：

求证：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.

当项数为3项时，即：当abc=1时a2+b2+c2≥bc+ca+ab=1 a+1 b+1 c.

（四）对不等式（1）的推广

可以由此推广到n项时：

题（1）已知a1，a2，…，an为正数，且满足a1a2…an=1.

当n=2时，当且仅当a1=a2时成立.

二、小 结

在证明不等式成立中，可以用综合法、分析法、参数法、放缩法、数学归纳法、柯西不等式证明以及几何证明等多种证明不等式的方法证明不等式成立.对不等式的考查中涉及了不等式的性质、函数的性质、向量的性质以及高等数学的知识[3].对不等式的一题多解多变有利于培养学生思维的灵活性，对高考题的题源的分析和尝试推广，教师一定要对考题和教材做到精确分析，帮助学生把握教材，精学精练.

【参考文献】

[1]林克富.数学教学应重视一题多解[J].内江科技，2007（5）：156.

[2]侯富金.巧用不等式的性质一题多解[J].课程教育研究，2013（9）：178.