“高等数学”中的概念和公式教法

乌仁其其格

【摘要】在“高等数学”课程的教学中，基本概念和公式占有相当重要的位置.一方面，基本概念和公式是学习后继课程所必需的基础知识;另一方面，概念本身的实际背景及公式的应用和着眼点就是学生解决实际问题并且掌握好数学这门课程的关键.但是，由于许多概念和公式具有高度的抽象性，使学生学起来感到非常困难，有些概念和公式虽然简单，但学习过程枯燥乏味.“兴趣是最好的老师”，因此，教师如何恰当地选择方法引导学生轻松愉快地接受新知识，了解概念和公式的来龙去脉，掌握解决问题的方法，从而激发和培养学生学习数学的兴趣，在整个数学教学过程中起着举足轻重的作用.笔者就自己在“高等数学”教学实践中对概念和公式的教学方法做一浅谈.

【关键词】高等数学;概念;公式;教法

【基金项目】赤峰学院青年科研基金项目：cfxyqn201921.

一、引 言

“高等数学”是高校非常重要的一门必修课，其逻辑性强、基础性强、抽象性强且应用广泛.然而，刚入学的学生，对抽象定理的证明、冗长例题的演算或“高等数学”实用工具的理解都没有做好准备，因而，普遍感到概念难以理解，公式不易应用，思维难以展开，问题难以入手，方法难以掌握，习题难以解答.同时，部分学生不清楚这门课和自己所学专业之间的联系，导致很多学生一开始就对这门课没有兴趣，甚至产生放弃学习的念头.很多学生对“高等数学”的学习存在一定的畏难情绪，认为“高等数学”学着难、用着少，因此，他们的积极性不高.众所周知，“高等数学”是理科类非数学专业的各个专业的重要基础课，近年来，也成为一部分文史类专业的必修课.通过“高等数学”课的学习，一方面，使学生获得必要的数学知识，为以后的专业课学习打下基础;另一方面，也能培养学生的抽象思维、逻辑推理和综合分析能力.而且“高等数学”课程的教学中，基本概念和公式占有相当重要的位置.

笔者认为，为了提高基本概念和公式的教学质量，促进教学的改进，在教学过程中，必须把抽象的内容具体化，把复杂的问题简单化，使教学接近于生活，帮助学生理解数学、应用数学，从而提高学生学习数学的兴趣.

如何解决这些问题，笔者从以下几个方面谈一下看法.

二、恰当地引出概念和公式

（一）“高等数学”课程和学生所学专业课的联系

首先要解决数学和开设该课的专业之间的联系.很多学生上这门课的第一个问题是：“我学这门课有什么用？”教师首先应理解自身教学的目的，才能够为学生解答此问题，使学生明白这门课和自己专业的后继课程之间的关系;即使是文科，也应让学生明白逻辑思维的重要性.學生也只有解决了这一问题，才能自主学习.这样的学习也不再是被动的、漫无目的的.

“高等数学”是高校理科和文科相关专业学生必修的一门重要基础理论课程，比如，理科中的物理、化学、计算机、生物医学的相关专业和文科中的财经管理类专业都开设了“高等数学”课程.这门课程对各专业后续课程的学习具有奠基作用.例如，物理学、控制论、流体力学和电动力学等专业课程都要用到“高等数学”中的数学知识.另外，大学生毕业参加工作后也会用到“高等数学”所学的知识，例如，数据分析、机械设计、游戏软件设计、城乡规划、建筑设计、风景园林设计、房地产管理和测量工程等工作领域都涉及“高等数学”知识.

（二）利用各种方法提高学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师，如果能够激发学生的学习兴趣，就能使学生真正成为教学的主体.教师时刻关注学生的思想变化，因材施教，这样有利于培养学生学习的积极性和主动性，从而提高学生的理论知识和实际操作技能.

“高等数学”是一门抽象的学科，教学内容中概念较多，上课时教师必须注重它的文字讲解和逻辑推导，但这样将导致课堂教学枯燥乏味，学生很容易丧失学习兴趣，最终难以达到预期的教学效果.为了解决这个问题，教师在教学时首先应注意面部表情和肢体语言，良好的表情与肢体语言的引导能够使学生感到轻松、愉悦;其次，学科背景、实际问题和趣味问题的选取，也会激发学生的兴趣.因此，如果把握好每个概念触发兴趣的契机，学生学习的效果就有了极大的保障.另外，实际问题或趣味问题的选取，会给学生愉悦的感受.

（三）从直观到抽象，由特殊到一般

要给出数列极限的定义时，可先引出以下问题：一根1 m 长的木棒第一次平分后，变成两个长度为1 2 m的木棒;第二次平分，其长度为1 22 m，第三次平分，其长度为1 23 m，如此持续平分下去，我们可知，随着平分的次数增加，木棒长度越来越小以至于趋向于0，从纯数学的角度来说就得出一列数字为：1 2，1 22，1 23，…，1 2n，….随着自然数的增加，此数列趋向于0，从而可以引出数列极限的定义为：设 {xn}为一数列，如果存在常数a，对任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为 limn→∞xn=a.

（四）引经据典，由浅入深

要给出导数的定义时，可先引出以下问题：在自由落体运动中，设在时间t下落的距离为s，则有公式s=〖SX（〗1 2gt2，其中g是固定的重力加速度，要求物体在t0的瞬时速度，可以先求平均速度，即用下落距离的改变量除以时间的改变量：

所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有：加速度是速度增量与时间增量之比的极限，角速度是转角增量与时间增量之比的极限，线密度是质量增量与长度增量之比的极限，电流强度是电量增量与时间增量之比的极限，提出这些问题的共性就可以引出导数的定义为：设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，若 存在，则称函数f（x）在点x0处可导，并称此极限为y=f（x）在点x0的导数，从而可知物体在t0的瞬时速度为下落的距离函数在该点的导数.

（五）创新教学模式，培养学生自主学习的能力

传统的教学模式已经不能满足这一代的年轻人了，教师也发现课上太多学生玩手机、不听课，最大的原因就是学生对所学内容不感兴趣，因此，需要教师创新教学模式.在教学过程中，教师可以采用多样化的教学模式，例如，问题驱动型教学模式，其教学效果良好.教师可以课前提出问题，以小组合作为单位，布置预习任务，指导学生课外搜索相关资料，对资料进行分析和归纳.课堂上，教师可以围绕该知识点提出问题，学生通过查找资料、认真思考等过程解决问题.在这一过程中，教师要不断激发学生的求知欲，使学生从被动学习变为主动学习.例如，在讲解“定积分”时，笔者给学生布置了一项任务：如何求曲边梯形的面积？

课后有很多学生把思路发给笔者，也有学生觉得这是不可能的.到下一次课的时候，笔者用问题引入的方式来讲解.讲解这个例子的时候不仅让学生学会用简单的方法求出了曲边梯形的面积，更重要的是引出了定积分的概念，让学生知道定积分其实可以求曲边梯形的面积，从而强化了学生的理解能力.

三、熟练掌握抽象的概念和公式

（一）根据教材的内在联系，优化教学内容

“高等数学”教材，因为面向的是广大学生，因此，非常重视基础知识部分.在教学过程中对基础知识讲解过多，可能造成浪费学时的现象，从而导致教学效率低下.因此，根据教材的内在联系，优化教学内容，是提高教学效率的有效途径.数学是一门逻辑性强、内容间联系紧密的课程，学生抓住这个特点能更好地掌握所学内容，熟练应用概念和公式来解决问题.例如，教师在讲解函数极限、导数、不定积分、定积分、特别是重积分等概念之后提出思考问题：这些概念的内在联系是什么？它们有哪些共性、区别？在学生做出解答以后，教师再引导学生复习这些基本概念的定义和计算方法，通过比较共性和找出区别也达到了预期的教学目的，同时还能锻炼学生的发散性思维和逻辑思维能力.

“高等数学”中的内容内在联系紧密，例如，函数极限、导数、不定积分、定积分、特别是重积分等概念都有密切的内在联系，一般情况下前者是后者的基础，后者是前者内容的延拓或应用、深入展开.所以，讲新内容时先回顾之前所学的有关内容，让学生感觉所讲内容并不陌生，激发学生的学习兴趣.

（二）公式的应用应该抓住特点灵活运用

“高等数学”中有很多公式，我们不能通过死记硬背公式来掌握与应用，否则已经产生记忆的公式很容易忘记或者无法应用公式来解决问题.而公式的应用应该抓住其特点灵活运用.例如，两个重要极限为

（三）引入案例教学法

案例教学法是指教师在授课过程中能够举出一些典型案例去解决生活、管理、经济等实际问题.只有当数学问题和实际问题联系在一起时，学生才能体会数学是有用的，才能激发学生的学习兴趣.不过，案例教学法实施起来还是有困难的，需要教师有扎实的数学功底和专业背景，要求学生要去多观察、多发现本专业的一些实例，结合数学知识来构造问题，从而让学生体会数学的有用之处.接下来介绍一个具体的案例教学法，此例子是针对经管类学生提出的，让学生明了“不同计息方式所得利息不同”，推出连续复利并加深重要极限的理解.

“高等数学”课上使用案例教学法是非常有必要的，它不仅可以影响学生的学习兴趣，也可能影响教师本身的发展.所以教师有必要收集一些数学教学案例，也可以建立一个案例库，这些措施可以极大地推进案例教学的实施和开展.“高等数学”的教学教法有很多，本文只介绍了从教学模式方面去介绍“高等数学”教师如何教学.在当今高速发展的信息时代，教师应该培养学生的数据处理能力、数学应用能力和数学创新能力.对学生，不管用什么样的教学方法，最终目的是社会需要什么樣的人才，就应在教学中着重培养什么样的人才.

（四）精选例题法

抽象的概念或公式即使讲得再深刻、再透彻，也难以使学生迅速地消化吸收.因此，教师应通过课堂举例这一教学手段帮助学生巩固新知识.恰当、适时和具有启发性的例子是课堂教学的关键，这样的例子能开阔学生的思路，加速其对新概念的吸收和消化.相反，课堂教学过程中不顾对象、脱离实际的例子则会使学生摸不着头脑，不利于学生理解概念和公式，所以如何配合内容精选例题值得教师注意.

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