几何直观：助推学生的数学理解

韩叶

摘  要：几何直观，能让抽象的数学问题形象化，让复杂的数学问题简约化，从而能有助于学生快速、精准地解决问题。在小学数学教学中，教师要充分运用几何图形，让学生感知、操作、思考。通过几何直观，化解学生数学学习难点，提升学生数学学力，发展学生数学核心素养。

关键词：小学数学;几何直观;数学理解

几何直观是一种意识，也是一种能力，更是学生的一种思维方式。在学生数学学习中运用几何直观，其根本目的是为了促进学生的数学理解。几何直观，不仅能表征概念、数量关系，而且能有效地表征问题。通过几何直观，能让抽象的数学问题形象化，让复杂的数学问题简约化，从而能有助于学生快速、精准地解决问题。在小学数学教学中，教师要充分运用几何图形，引导学生用图想事、借图促思、据图说理。通过“几何直观”，能让学生消除误解，达成视界融合。当然，这个过程不是一蹴而就的，而是一个波动、反复、非线性、分水平的动态建构过程。

一、几何直观：在感知中促进学生直观理解

数学家克莱因深刻地指出：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”发展学生的几何直观能力，首先就是要让学生对数学学习对象进行直观感知。有些数学学习对象，其信息往往比较隐含，学生难以察觉。为此，教师就要引导学生借助几何直观，将学习对象中的隐含信息、隐性信息敞亮、显露出来，从而让学生可视化。只有从几何直观的视角去引导学生深度观察，才能让学生理解学习对象蕴含的几何意义，从而深刻地把握学习对象的本质。

阿提雅说过，“几何直观是领悟数学最有效的渠道”。教学“分数的初步认识（一）”（小学数学教材苏教版第5册），笔者充分借助几何图形如长方形、正方形、圆形等，引导学生涂色、对折，用不同的方式表示“”。在学生通过“涂一涂”“折一折”等方法操作后，笔者引导学生深度观察：这些图形的形状相同吗？大小相同吗？为什么形状、大小各不相同，但都能表示“”呢？如此，学生在几何直观中能舍弃观察对象的非本质属性，提炼出观察对象的本质属性，即“尽管这些图形的形状、大小各不相同，但都是将整个图形平均分成2份，表示其中的1份”。通过深度观察，学生感悟到，分数只与对象的平均分的份数和表示的份数有关。在此基础上，笔者反其道而行之，让学生用自己喜欢的方式表示分数“”。于是，有学生将一个长方形平均分成四份，然后涂上颜色;有学生将一个圆形对折后再对折，然后涂色表示其中的一份，等等。通过对图形的直观感知，学生能认识到分数的“平均分”的数学本质。

“直观与推理是‘图形与几何学习中的两个重要方面”。在小学数学教学中，合理利用几何直观，能促进学生的直观理解。凭借几何直观进行数学观察，能让学生认识到抽象概念的本质。正如法国著名数学家笛卡尔所说：“没有图形就没有思考。”也正如另一位数学家斯蒂恩所说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”运用直观引导学生观察，不仅能让学生认识数学知识的本质，而且有助于提升学生的几何直观能力。

二、几何直观：在操作中丰富学生直观体验

“几何直观”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增加的三个核心词之一。“几何直观”不仅是一种重要的数学思想方法，更是学生拥有的一种重要素养。所谓“几何直观”，是指“运用图形描述和分析问题，从而让学生具体、直观地理解数学”。借助“几何直观”，不仅能生动地表征概念，而且能有效地揭示算理，清晰数量之间的关系，等等。瑞士著名教育心理学家皮亚杰曾经说过，“儿童的智慧自动作发端”。运用几何直观，还要引导学生进行直观操作，因为只有在操作中，才能丰富学生的直观感受、体验。为此，教师要给学生实践、实验等的体验时空，让学生描画、拼摆、测量。在这个过程中，自然能促成学生稳固表象的形成，为学生形成高层次的几何直观水平奠定坚实基础。

比如教学“倍数和因数”（小学数学教材苏教版第10册），教师就可以引导学生运用几何直观操作，助推概念的理解。因为，“因数和倍数”属于抽象的数学概念，具有十分丰富的数学内涵和外延。如果教师在教学中只是简单地让学生用列举策略去找寻一个数的倍数、因数，那么学生就不能理解倍数、因数的实际意义。事实上，抽象地谈论一个数的因数、倍数是没有意义的，倍数和因数只有在情境中才能彰显出其存在的必要性。为此，笔者在教学中出示了两种规格不同的长方形，其一是边长为6厘米的正方形，其二是边长为8厘米的正方形。然后让学生拿出事先准备的长3厘米、宽2厘米的长方形纸去铺。在直观操作中，学生发现用长方形纸能密铺边长为6厘米的正方形，却不能密铺边长为8厘米的正方形，原因就在于用长方形的长边不能密铺。学生通过直观操作，就能认识到，2和3是6的因数、6是2和3的倍数的几何意义。这样的教学，深化了学生对数學概念的本质理解。

由于小学生的思维以形象、直观为主，因而他们对数学抽象概念的理解往往存在着困难，并且容易停留在记忆的层面。借助几何直观，让学生动手做、动手画，引导学生认识数学概念与图形之间的密切关联，就能让学生获得直观的感受。当学生通过几何直观建立因数、倍数的操作表象后，遇到相应的因数、倍数数学问题时，总能借助操作表象进行分析、思考，从而有效地解决问题。

三、几何直观，在思考中促进学生直观洞察

如果说，直观感知是较低层次的几何直观，主要是借助感知、操作等认识直观载体的表面意义，那么，直观洞察就是一种深刻的数学直觉，这种数学直觉往往能在一瞥之下窥见数学知识的本质，认识数学知识的深层意义。直观感知主要借助观察，而直观洞察则要借助学生的思考，在思考中进行比较、沟通、联想。用现象学大师胡塞尔的话语来表达，直观洞察就是一种本质直观。在数学教学中，教师可以引导学生比较促思、联想促思、沟通促思。

几何直观不仅可以运用于数学的“图形与几何”领域，而且可以运用于数学的“数与代数”领域。著名数学家华罗庚说过，“形缺数时难入微，数缺形时少直观”。借助于几何直观，不仅可以让抽象的“代数问题”变得直观，而且可以让抽象的代数算法、代数算理得到生动的诠释、展现。比如教学“分数乘分数”（小学数学教材苏教版第11册），为了促进学生理解算理，教师就必须引导学生借助几何直观，针对例题“的是几分之几”“的是几分之几？”教师可以先让学生画出一个长方形表示单位“1”，然后引导学生表示出“”，再表示出“的”，学生就能通过双重阴影，直观洞察到“的是”。在此基础上，引导学生从“图导”走向“图构”，让学生运用几何直观，分别表示“的是几分之几？”“的是几分之几？”“的是几分之几？”等等。在类似的比较中，学生能直观洞察到，“分数乘分数”为什么用分母相乘的积作分母，用分子相乘的积作分子。有学生借助几何直观，理解了“分母与分母相乘的积就是长方形一共被平均分的份数”，而“分子与分子相乘的积就是长方形中重复涂色的部分”。以形悟理，促进了学生对算理意义的深度理解。

直观洞察是发展学生几何直观认知、几何直观能力的关键。在小学数学教学中，教师要引导学生善于从几何直观的视角去探寻数学概念、算理。只有从几何直观的视角去考量数学问题，才能启动学生的直观思维。正如德国著名数学家希尔伯特在其著作《直观几何》中认为的那样，“图形既可以帮助我们发现、描述研究的问题，又可以帮助我们寻求解决问题的思路，还可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”

苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫说过，“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化”。几何直观的数学思想方法在数学教学中无时不在、无处不在。作为教师，要充分发挥几何直观的优势，找准数学知识与几何直观的链接点，帮助学生在形象思维和抽象思维之间搭建桥梁。学生的“几何直观”能力培养过程是一个潜移默化、逐渐渗透的过程。发展学生几何直观，能开发学生的左右脑，让学生的直觉思维、形象思维与逻辑思维协同运作。借助几何直观，化解学生的数学学习难点，提升学生的数学学力，发展学生的数学核心素养。