李代数对的 Atiyah class

张珊珊, 乔 雨, 成 龙

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710119)

0 引 言

Atiyah class是一个上同调类,在几何学和代数学研究中有着广泛的应用。1957年,Atiyah首次[1]介绍了Atiyah class,用来描述全纯向量丛上是否存在全纯联络。之后,Kapranov和Kontsevich都揭示了Atiyah class在研究Rozansky-Witten不变量问题上的重要性[2-3]。Kontsevich还开创性地运用Atiyah class来解决形变量子化问题[4-5],Calaque等受其启发对DG-代数上DG-模的Atiyah class展开研究[6]。Calaque等推断,给定李代数对(h,g),可以用h/g的Atiyah class来研究“PBW问题”[7]。Bordemann在文献[7]的基础上从微分几何角度解释了Atiyah class为零意味着齐次空间上正切丛的G-不变线性联络存在[8];Calaque指出,对于李代数胚对,存在类似结论[9]。特别地,Markarian构造了Atiyah class,Hochschild同调及二者关系的体系,用以证明Riemann-Roch定理[10]。

国内众多学者也参与到Atiyah class的研究工作中。陈酌等讨论了李代数胚对的Atiyah class[11],并证明了Kapranov的理论在李代数胚对层面上的适用性更广。Voglaire等进一步利用李代数胚对的Atiyah class研究与辛李对相关的Rozansky-Witten型不变量结构[12]。另一方面,Mehta等介绍了DG流形的Atiyah class与Todd class,并得到了同伦代数结构[13]。陈酌等研究了DG流形的Atiyah class与Todd class的关系[14]，定义了强同伦李代数对的Atiyah class[15]。洪伟[16]介绍了李双代数的Atiyah class及其性质。基于他的理论,文献[17]计算了复数域上三维李双代数的Atiyah class,文献[18]计算了实数域上三维李双代数的Atiyah class。

本文受文献[11,16]启发,从李代数L及其子代数A出发,应用L/A自然地是A-模这一特性,研究李代数对(L,A)的Atiyah class。

1 李代数对的Atiyah class的定义

当基流形是单点空间时,李代数胚就是李代数[11]。下面讨论李代数对的Atiyah class。

本文假定所有李代数都是有限维的。设(L,A)是域F(=R,C)上的李代数对,即L是F上的李代数,A是L的李子代数。为使符号简便,记E=L/A,则E为A-模,对应的表示为

ρ:A→End(E)

并且有

A⊥={f:L→F是线性映射|f|A=0}=E*

对任意的线性映射▽：L→End(E),满足▽|A=ρ,定义线性映射

R▽:∧2L→End(E)

∀l1,l2∈L

则R▽诱导一个映射

∀a∈A,l∈L

R▽(a,a′)=▽a▽a′-▽a′▽a-▽[a,a′]=

0,∀a′∈A

所以得到

A-模E*⊗End(E)对应Chevalley-Eilenberg链复形

为了方便计算,引入下述引理。

则

因为

b·(ξi⊗φj)=(b·ξi)⊗φj+ξi⊗(b·φj),

所以

又因为

所以

因此

2) 这里仍使用1)中的设定, 计算得

现在叙述本节的主要定理。

▽a(▽b▽l-▽l▽b-▽[b,l])-

(▽b▽l-▽l▽b-▽[b,l])▽a+

▽b(▽a▽l-▽l▽a-▽[a,l])+

(▽a▽l-▽l▽a-▽[a,l])▽b-

▽a▽b▽l+▽b▽a▽l+▽l▽a▽b-

▽l▽b▽a-▽[[b,l],a]-▽[[l,a],b]=

▽[a,l]▽b-▽[b,[a,l]])+

▽a▽[b,l]-▽[[b,l],a])=

回顾E=L/A。由定理1有：

经过上述讨论,得到Atiyah class的一个性质。

2 主要结果

根据性质1,得到判断李代数对的Atiyah class为0的2个定理。

定理2 设A,B,L是域F上的李代数,且L是B通过A的扩张,对应的正合序列为

则李代数对(L,A)的Atiyah class为0。

定理3 设L是李代数,若有向量空间直和L=A⊕B,其中A是L的子代数,并且B⊆C(L)。则李代数对(L,A)的Atiyah class为0。

下面介绍定理2和定理3的应用。

研究扩张的同构类,得到R上四维李代数同构于某个三维幺模李代数的导子扩张形式,并列出了相应的导子D。扩张后的四维李代数记为gD,gD=g⊕Re,以及[ei,e]=D(ei)(i=1,2,3)。得到下述推论：

推论1 设g是R上三维幺模李代数,gD是g通过导子D扩张的四维李代数,则李代数对(gD,g)的Atiyah class为0。

证明 因为[gD,g]=g,所以g是gD的理想,由定理2得到李代数对(gD,g)的Atiyah class为0。

另一方面,在推论1中,当导子D使得D(ei)=0(i=1,2,3)时,也能用定理3证明李代数对(gD,g)的Atiyah class为0。

3 数值算例

下面给出1个四维空间中李代数对的Atiyah class不为0的例子。

证明 在gD=g⊕Re中, 由 [·,e]=D(·)得

[e1,e]=0,[e2,e]=e1,[e3,e]=e2

ρ(e3)S(e)-S(e)ρ(e3)-ρ(e2)

致谢:感谢武汉大学洪伟老师在课题的研究过程中提供的宝贵意见。