大规模MIMO系统中的联合预编码算法∗

2020-05-15白依梦梁中华翟晨辉

计算机与数字工程 2020年2期

白依梦梁中华翟晨辉辛月

（长安大学西安 710064）

1 引言

近年来，随着移动数据业务量急剧增长，为满足移动通信系统对频谱效率和数据速率的需求，第五代（5th Generation，5G）移动通信技术被提出。其中，大规模多输入多输出（Massive Multiple Input Multiple Output，Massive MIMO）技术是5G移动通信技术中的主要技术之一［1］，它能有效减少多用户之间的干扰，提高系统信道容量及频谱效率［2］。

在下行链路中，与传统MIMO技术配置的几个发射天线和接收天线相比，Massive MIMO在基站配置几十根甚至上百根天线以满足用户需求，基站与用户间的信道矩阵也会随之变大，从而需要在接收端处理大量数据，尤其是矩阵计算。在下行链路中，预编码技术是将接收端的数据处理转移到发射端，从而降低接收端信号处理的复杂度［3］。同时，预编码技术也可以减小系统的硬件成本，提高用户间的公平性。但该技术涉及大矩阵求逆问题，因此，在Massive MIMO系统中需要设计高性能、低复杂度的算法来降低预编码算法的复杂度。

预编码算法矩阵求逆的方法，分为线性预编码和非线性预编码。与线性预编码相比，非线行预编码算法在Massive MIMO系统中运算复杂度高、对硬件设备要求高，所以本文只考虑线性预编码。经典的线性预编码有：迫零预（Zero Forcing，ZF）编码［4］、正则化迫零（Regularized Zero Forcing，RZF）预编码［5］和匹配滤波器（Matched Filter，MF）预编码［6］。对于这几种线性预编码方法，MF预编码在天线数量与用户数量分别为88和77.7时，系统性能达到最佳，但会失去Massive MIMO的特性［7］；ZF预编码的缺点是没有考虑噪声对系统的影响。因此针对以上两种算法的缺点，RZF预编码中的正则化因子使算法性能达到最佳［8］。上述几种预编码方法都是对信道矩阵直接求逆，为减小矩阵直接求逆的复杂度，一些学者提出用不同方法近似矩阵求逆，现有方法有：Neumann级数法［9］是用级数求和方法近似矩阵求逆；高斯赛德尔（Gauss-Seidel，GS）迭代法是把矩阵求逆问题转换成求解线性方程式的解［10］；在GS迭代法基础上提出引入了变量松弛因子来提高收敛速率的新算法，称之为超松弛（Successive Over Relaxation，SOR）迭代法［11］；牛顿（Newton）迭代法［12］是用牛顿迭代近似矩阵求逆的方法。

为了加快Newton迭代法收敛速度较慢的问题，本文基于SOR迭代法思想得到超松弛矩阵求逆（Successive Over Relaxation-Matrix Inversion，SOR⁃MI）迭代法，并将其与Newton迭代法相结合，提出SORMI-Newton联合算法。文中分析了SOR⁃MI-Newton联合算法的收敛条件。通过实验仿真结果比较SORMI算法、Newton算法和SOR⁃MI-Newton联合算法的收敛速度。

2 系统模型

本文模型是在单小区多用户Massive MIMO系统中，在下行链路上基站端配置M根天线来满足接收端K个单天线用户的需求，其中M≫K。接收端的每个用户接收的信号可以表示为

其中，ρ表示下行链路的信噪比；H∈ℂK×M表示平坦瑞利衰落的信道矩阵，其元素服从均值为0，方差为1的标准正态分布；n∈ℂK×1表示加性高斯白噪声向量，其元素服从均值为0，方差为σ2的标准正态分布x∈ℂM×1表示通过预编码后的信号向量，计算如下：

其中，W ∈ℂM×K表示预编码矩阵；s∈ℂK×1表示调制信号。

3 预编码算法

ZF预编码算法没有考虑噪声影响，在文献［5］中提出的RZF预编码算法为了减小噪声对系统的影响在ZF算法中加入了正则化系数，其预编码矩阵表示如下：

记

将式（3）、（4）带入式（5）可得

其中，β表示功率归一化因子；ε表示正则化系数［13］。从式（5）看出RZF算法需要计算矩阵求逆。下面介绍如何用联合算法近似矩阵求逆。

GS迭代法在于迭代初始值，即在迭代初期能够获得较好的性能［3］，SOR迭代法是在GS迭代法的基础上引入的变量松弛因子提高算法的收敛速率。因此SOR算法和GS迭代法一样在迭代初期就可以获得良好性能。Newton迭代法的特点是迭代初始值计算复杂，它的优势体现在迭代后期，随着迭代次数的增加，Newton迭代法的性能逐渐变好［3］。因此本文提出把Newton迭代法与SOR迭代法组合可以集合两者的优势。在Newton迭代之前首先进行SOR迭代，能够改善牛顿迭代法的迭代初始值，获得更有效、快速的搜索方向，从而使得牛顿迭代法快速收敛的特性在迭代初期就体现出来。

3.1 SORMI算法

Newton迭代法是对的G-1的估计，而SOR迭代法是采用求解线性方程组的方法。假设：

则

在求解方程式（7）时，把矩阵G可以分解为

其中，D、-U和-L分别代表对角阵、严格上三角矩阵和严格下三角矩阵，其元素与矩阵G中的元素一一对应。SOR迭代法表示如下［14］：

其中，i表示迭代次数；ω表示最优松弛因子。一般情况下迭代初始值f（0）取零向量。

从方程（7）可以看出f的解是G-1s，即SOR迭代法求解结果是预编码矩阵的逆与调制信号的乘积。该方法复杂度较低，但如果要使用G-1的值就很难从G-1s的结果中分离出来。如式（10）所示，计算系统总数据速率C［15］需要G-1的值。同样，SOR迭代结果也无法用作牛顿迭代法的初始值。因此提出SORMI迭代法，该算法从迭代前将s分离出来先求解G-1，具体迭代方法见引理1。

其中，tr（）表示矩阵的迹。

引理1：当i→∞时，Z(i)趋近于G-1，其中 Z(i)可通过下面公式迭代获得

证明：文献［12］提出当迭代初始值为D-1时，算法收敛速度较快。

当 i=0时，取Z（0）=D-1，且 f（0）=D-1s。

当 i=k时，假设f（k）=Z（k）s成立，则

由引理1，式（11）可得，当i=k+1时，

将式（14）带入式（13）可得

由数学归纳法可知，f（i）=Z（i）s成立。

因为当 i→∞时，f（i）→G-1s，所以 Z（i）→G-1。

从上述引理可知，SORMI迭代法是直接对G-1的估计。该方法便于将G-1用于其他计算，与现有的SOR迭代结果相比SORMI迭代结果使用范围更广。

3.2 SORMI-Newton联合算法

SORMI-Newton联合算法（以下简称联合算法）步骤如下。

第一步：设定初始值；

第二步：进行一次SORMI迭代；

第三步：进行Newton迭代，直到满足需要的性能。

4 联合算法收敛性分析

由联合算法可知，该算法是否收敛主要取决于在该算法的第二阶段Newton迭代算法是否收敛。收敛条件为

采用文献［12］的方法，对算法收敛性分析，在不同天线配置时求α的值，Z（1）表示一次 SORMI迭代的值，结果如图1所示。

图1 不同M/K时联合算法收敛情况

在图1中，图中的数代表从上往下M/K的值。当M/K=1，α＞1，所以联合算法不收敛；当M/K≥2时，满足收敛条件α＜1，联合算法收敛。并且随着M/K的增大，α的值越小，联合算法收敛概率越大。与此形成对比文献［12］中，当M/K≥6时，Newton迭代法才能收敛。所以本文提出的联合算法可以在确保接收端用户通信质量的前提下减少发射端天线数量的配置，能有效减少系统硬件成本。

5 仿真结果

为了验证联合算法性能，对SORMI迭代法、Newton迭代法、联合算法及RZF算法的误码率进行仿真，通过误码率评估各个算法的收敛性的差异。因为RZF预编码是对G-1的准确计算，所以把RZF预编码的BER作为基准线用来衡量其他算法在不同迭代次数时对G-1估算的准确程度。仿真采用信号调制方式为16QAM。

由图2可知，所有算法的误码率随着信噪比的增大而减小。以RZF预编码的仿真结果为基准线，在M×K=256×64的配置下Newton迭代法性能损失非常大。当迭代次数i=2时，SORMI迭代法与联合算法的结果都不理想；当i=3时，在高信噪比下，联合算法的误码率比SORMI迭代法的误码率小，甚至接近i=4时的SORMI迭代法的误码率；特别是在迭代次数i=4时，联合算法的性能已达到RZF算法，而其他算法还存在性能损失。通过以上分析可知，在相同信噪比下联合算法通过更少的迭代次数精确估计出了G-1。

图2 Massive MIMO系统M×K=256×64配置下算法BER性能比较

由图3可知，在M×K=256×32时，牛顿迭代也能很好的收敛，在相同迭代次数、相同信噪比时，联合算法的误比特率更小。由图2、图3可知，算法收敛速度由快到慢依次为SORMI-Newton联合算法、SORMI迭代法、Newton迭代法；同时，在相同信噪比下，当基站用相同数量的天线服务更少的用户数量时系统误码率更小。