纯多播BC 信道并存单播MAC 信道的天线效率研究

于振超，刘锋

（1.中电装备山东电子有限公司，济南250000；2.上海海事大学信息工程学院，上海201306）

0 引言

随着无线通信系统带宽和能力的增加，对收发端的天线数以及信道容量提出了新的考验。多输入多输出天线系统（Multiple Input Multiple Output，MIMO）通过充分利用空间资源，可以大幅提高频谱效率和功率。并且在频谱资源日益匮乏的现状下，多天线技术可以在不增加系统带宽的前提下，增加信号空间复用增益，增加信道容量以满足现代网络多媒体大快速发展的需要。空间复用增益（r）是由空间复用技术带来的传输速率的提高。空间复用技术可以大大提高信道容量，提高传输速率。即：在发射端将数据流分成多个平行的子数据流，并且在同一频带上使用不同的天线同时发射出去，充分利用空间传播的多径分量。

可想而知在未来的无线通信系统中，将不只是单纯的单播传输或者单纯的多播传输，更加复杂的单播、多播以及广播等多网络并存的传输方式将占据主流，以满足不同用户、不同条件下的需要，从而降低投入的成本，提高天线的利用率。当下无线通信系统中，处理信道间干扰的主流方法是迫零方法和干扰对齐。本文主要采用接收端迫零的方法，在发送端进行线性预编码处理从而在接收端解码出相应的期望信号，从而消除干扰。线性预编码技术是已知全部或者部分信道状态信息（Channel Status Information，CSI）的情况下，本文的假设条件也是已知全部CSI 的理想条件下进行的。

本文首先研究了有K 个接收端的纯多播BC 网络并存有N 个发送端的单播MAC 网络的信道模型，采用迫零算法消除干扰从而求出信道的空间复用增益。由一般情况推广到K=N=3 的特殊情况，从而得出模型的最佳的天线效率以及系统的空间复用增益。本文第二部分介绍了一般系统模型。第三部分是采用迫零算法对所设计的信道进行分析验证，从而得到收发端的天线数配置以及系统的空间复用增益从而得到天线效率，并将一般情况的模型应用到K=N=3 特例模型中。第四部分是对系统和速率、天线效率进行MATLAB 仿真，证明所述结论的可行性。

1 系统模型

我们一般称虚线已上的BC 网络为主网，虚线以下的MAC 网路为次网。然后对于主网BC 纯多播信道的K 个发送端配置M1根天线，接收端配置N1根天线，发送端发送K 个多播消息，并且每个多播消息只发送给本网络内的K-1 个接收端。对于次网MAC 单播信道的N 个发送端，在每个发送端配置M2根天线，在接收端配置N2根天线，则接收端i 接收到的信号为：

其中yi表示第i 个接收端所接收的信号，S1表示BC 信道发送端发送的信号，S2j(j=1,2,…,K)表示MAC信 道 的 第 j 个 发 送 端 发 送 的 信 号 ，表示从第2 j 个发送端到第i 个接收端的信道矩阵，Zi表示第i 个接收端接收的的加性高斯白噪声，假设其均值为0，方差为σ2。我们现在对发送端的信号进行线性预编码处理，在每个发送端通过设计一个预编码矢量矩阵F 使信号干扰迫零，从而在接收端我们可以得到期望信号。以下是经过预编码后的每个接收端接收到的信号：

其中Fi表示第i 个发送端的预编码矩阵。

2 方案分析与设计

2.1 对于K=N=3的设计分析

由于主网BC 纯多播网络接收端数至少为3，所以我们首先将一般情况应用到3 用户的特殊情况。对主网BC 纯多播信道的发送端配置6 根天线，每个接收端配置2 根天线，发送端发送3 个多播消息S11S12S13，并且每个多播消息是发送给本网络内的2 个接收端。对于次网MAC 单播信道的发送端配置7 根天线，接收端配置3 根天线，每个发送端发送1 个单播消息。由此可以得出每个接收端的接收信号为：

其中yi表示第i 个接收端所接收的信号，S1表示BC 信道发送端发送的信号，S2j(j=1,2,3)表示MAC 信道 的 第 j 个 发 送 端 发 送 的 信 号 ，Hi(2j)(i=1,2,3,4;j=1,2,3)表示从第2 j 个发送端到第i个接收端的信道矩阵。

同理我们对其发送端的信号进行线性预编码处理，以下是经过预编码后的接收信号：

对于每个接收端不止是接收到期望消息而且还有来自不同接收端的干扰消息，我们以主网BC 信道的发送端消息S11为例来分析。S11对于接收端1、2 为期望消息，而对于另外的接收端是干扰消息。迫零方法就是要讲干扰消息置于传输信道的零空间内，即H31H41的零空间中。为此我们先介绍零空间的概念。

引理给定两个矩阵A ∈Cm×n和B ∈Cg×n，若令，则Cx=0 ↔Ax=0和Bx=0，即C 的零空间的交Null（C）=Null（A）∩Null（B）。

由引理得出信道矩阵的零空间的性质。设(m+g)×n 的矩阵C 的秩为r=rank(C)，因为至少得存在一个零空间的交，故有n-r ≥1。但是已知C 是满秩的，有r=min（m+g,n），由此可以推出r=m+g。综上可以得到零空间交的性质：

由此可以得到S11的零空间矩阵为C=[H31;H41]。在接收端按照“有几个有效消息配置几根天线”的原则，我们在接收端3 配置2 根天线，在接收端4 配置3根天线。因此H31是一个2*M1的矩阵H41是一个3*M1的矩阵。从而可以得到零空间矩阵C 是一个5*M1的维度，再根据引理可以得到M1至少为6 根天线。同理可以得到3 用户MAC 信道每个发送端配置7 根天线。

接下来对S11的零空间矩阵进行奇异值分解，假设S11的预编码矢量满足f11ϵNull(C)，并且可知C 的秩为5，它的右奇异向量V1,V2,V3,V4,V5,V6中，与1 个零奇异向量V6构成零空间的交的标准正交基。于是预编码矢量，最后得到发送端1 的波束成形矩阵，其他发送端的波速成形矩阵可以此类推。

定理在单播MAC 网络中，发送端的天线数分别为M1…Mk，接收端天线数为N 时，其空间复用增益为。在多播BC 网络中，空间复用增益的大小即是每个接收端解码出的期望消息数的和。因此可以得到K=N=3 模型的空间复用增益是9。

图2 3个接收端的BC纯多播并存3个发送端的MAC单播的系统模型

2.2 对于K＞3的设计分析

在验证了K=N=3 模型的信道天线配置的合理性的前提下，我们对BC 信道的接收端和MAC 信道的发送端进行了扩展，以适应更多用户的需求。一根天线一个信道维度，同样我们给BC 信道的每个接收端配置K-1 根天线，MAC 信道的接收端配置N 个天线，以满足接收期望消息的需求。然后采用迫零方法经行分析干扰消息，将其都置于对应的信道矩阵零空间，进而得到模型的发送端的天线数量，提高系统的天线效率。

定理对于有K 个接收端的BC 纯多播并存N 个发送端的MAC 单播网络系统，BC 的发送端发送K 个多播消息，并且每个多播消息发送给主网内的K-1 接收端，给BC 每个接收端配置K-1 根天线。MAC 的每个发送端发送一个单播消息，给MAC 的接收端配置N根天线。在这种条件下，BC 发送端的最优天线配比是K+N 根，MAC 发送端的最优天线配比是K（K-1）+1 根天线。

证明同样我们以BC 发送端1 和MAC 发送端1为例进行分析，BC 发送端发送的信号S11被本网络内的K-1 个接收端接收，对于剩下的一个接收端和MAC的接收端来说是干扰信号，因此可以将其置于其信道矩阵中如Hi1和H(K+)11的零空间中。可以得到S11零空间矩阵的维度是（N+K-1）*M1，由引理进而可以得到M1的最小值是N+K。同样我们可以分析MAC 发送端1发送的信号S21只对于本网络的接收端是期望信号，对于BC 的K 个接收端都是干扰消息，只需将干扰消息S21置于Hi(21)( i= 1,2…N )的信道矩阵的零空间中。可以得到发送端的零空间矩阵K（K-1）*M2，进而由引理得出M2的最小值是K（K-1）+1。

与K=N=3 求系统空间复用增益的方法相似，可以得到一般情况下的模型的空间复用增益为（K-1）*K+N。

3 仿真与结论

3.1 系统的空间复用增益

通过MATLAB 仿真证明了以上定理的可行性，并最后得出关于空间复用增益的结论。首先我们假设每个信道为不相关的瑞利衰落信道，发送端的功率为P，由于发送端在满足总的功率有限的条件下，对每个用户的发送功率平均分配。每个用户接收端的噪声方差都相同且设为σ2。假设每个发送端可获知它所服务的所有用户的无差错的等效信道状态信息，每个用户也能获得信道状态信息。BC 用户i 的单播数据流经过发送干扰抑制矢量、信道和接收干扰抑制矢量作用后，接收信噪比为：

接收端i 可以获得的单播信号的和速率为：

接收端i 可以获得的多播信号的和速率为：

由此，系统的总和速率为：

接下来我们对系统的和速率随系统发送信噪比的变化进行了K=N=3、4、5 的仿真。其中横坐标SNR 的单位是dB，每条直线段的斜率和其对应的系统空间复用增益是10 倍关系。

然后我们对系统的和速率随系统发送信噪比的变化进行了K=3,N=2、K=4,N=3、K=5,N=4 的仿真。其中横坐标SNR 的单位是dB，每条直线段的斜率和其对应的系统空间复用增益是10 倍关系。

3.2 系统的天线效率（恒小于1的数值）

首先给出空间复用增益的数学表达式，假设传输速率为：

图3 K=N时的和速率性能图

因此空间复用增益定义为：将MIMO 系统能够得到的传输速率与SISO 系统的最大传输速率log(1+SNR)的比值。即：

MIMO 系统能够得到的最大空间复用增益r(max)=min(Nt,Nr)，Nt 表示发送端的天线数，Nr 表示接收端的天线数。

然后我们给出天线效率的数学表达式：

天线效率（E）的定义为无线空间复用增益（r）与系统所用收发天线数总数（n）的比值。

由此可以得到一般模型的天线效率为：

首先，可以由MATLAB 仿真可以得到在3 ≤K ≤20时，N 依次随机取2、7、13、56、103、200 等值时的天线效率如图5。

由图5 的仿真结果，可以分析：在BC 主网的接收端数K 固定在有限范围时，天线的效率随着MAC 次网的发送端数N 的增加而增大。并且由式子（13）可以看出，当N 无限增大时，天线效率将接近于1。由此可以看出，次网MAC 单播的参与用户数对整个系统的天线效率有增益，有助于天线效率的提高。设计系统时可以适当的提高N。

图4 时的和速率性能图

图5 天线效率图（1）

图6 天线效率图（2）

然后，可以得到在2 ≤N ≤20 时，K 依次随机取3、5、7、10、57、109 等值时MATLAB 的天线效率如图6。

由图6 的仿真结果，可以分析：在MAC 次网的发送端数N 固定在有限范围时，天线的效率随着BC 主网的接收端数K 的增加而减少。并且由式子（13）可以看出，当K 无限增大时，天线效率将接近于0。由此可以得出，主网BC 多播的参与用户数越多对整个系统的天线效率有减损，不利于天线效率的提高。设计系统时不能让M 值过大，而因该控制在一定的范围内。

4 结语

本文通过使用接收端迫零的方法，通过设计预编码矩阵，提供出了一种切实可行的处理干扰的方法。并且能够将一般K 个接收端的BC 纯多播信道并存N个发送端的MAC 单播信道的情况应用到特殊情况下，最后得到发送端天线数的最少配置，接收端能够完美解析出期望信号。然后，通过BC 主网和MAC 次网的合理参与用户数的设计，可以提高了系统的天线效率。最后通过仿真的形式证明了提出理论的可行性。下一步将分析更加复杂的纯多播并单播的情况，以适应当下应用环境的更多需求。