基于情境、问题导向的探究体验式课堂教学实践——以“等比数列的前n项和”教学为例

陈德燕

(福建省福州第一中学 350001)

国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见(国办发〔2019〕29号)在创新教学组织管理中提出：“积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，注重加强课题研究、项目设计、研究性学习等跨学科综合性教学，认真开展验证性实验和探究性实验教学.”在教学实践中，结合教学情境与问题导向，通过多样化的教学，有效地促进学生思考、探究与体验，引导学生把握数学内容与数学方法的本质是形成和发展数学核心素养，落实育人方式改革要求的关键.如何实现上述要求，笔者以等比数列的前n项和为载体进行了一次教学设计与实施的尝试.

1 问题情境

1.1 实际问题

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1粒麦粒，第2个格子里放上2粒麦粒，第3个格子里放上4粒麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.(人教A版，必修5，第55页)

1.2 数学问题

数学语言既是数学思维的载体，又是数学思维的具体体现.斯托利亚尔提出：“数学教学也就是数学语言的教学”.能否运用恰当、准确的数学语言，进行有逻辑地表达、交流，体现了数学素养的高低.学会正确、合理地使用数学语言是数学学习的一项基本而重要的任务；帮助引导学生把实际问题转化为数学问题，用数学语言表述实际问题也是教学的基本任务.

师：你能从这个情境中发现和提出一个数学问题吗？

解决本题需要计算这64个格子里麦粒数的和，属于若干个数的求和与化简计算问题.学生经过独立思考，得到如下结果：

如果设第1个格子里放的麦粒数为a1，第2个格子里放的麦粒数为a2，第3个格子里放的麦粒数为a3，…，第n个格子里放的麦粒数为an.则本题需要计算a1+a2+…+a64，这里a1=1=20，a2=21，a3=22，…，a64=263，不难发现数列{an}是等比数列，因此，解决问题需要求首项为1，公比为2的等比数列的前64项和.

将其抽象、凝练，得到如下问题：已知数列{an}是公比为q的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn.

也许有些老师会认为，这个背景的数学含义非常清楚，所以不必那么麻烦地让学生去做，只要老师概括一下就可以了.但笔者认为，学生从现实情境中发现和提出问题的能力是在平时教学中，经过这样潜移默化得到培养的.这里的数学化过程看上去不难，但也需要通过引入适当的符号，将具体背景抽象化，才能形成一个具有一般意义的问题，这正是学生比较欠缺的，所以还是让学生自己动手完成更好.

2 探究体验

2.1 问题导向

要求学生探究的问题必须指向明确，也就是要让学生明确探究的对象；同时，还应该使学生明确探究的路径与方法.在指导学生探究时，明确探究对象、探究的路径与方法是探究的关键，根据问题的特征作一些必要的讲解与启发是探究得以顺利进行的基础.

师：求数列前n项和的目的是希望得到数列和式的化简式，对等比数列而言，希望得到等比数列和式的化简式，以便方便地求出任意等比数列的前n项和.具体而言，就是用等比数列{an}的首项a1、公比q、及项数n表示{an}的前n项和Sn.

归纳、猜想、证明是我们研究问题的一种常见研究方法，而观察问题特征是我们研究的起点.请同学们从数列求和的含义，结合等比数列项与项之间关系的特征，探究等比数列前n项和Sn的表达式.

2.2 和式探究

探究的目的是为了让学生经历数学知识的发生、发展过程，数学方法的形成过程.充分调动学生思维的积极性、做好探究过程的交流、提升是关键.“交流”的重点在于展示其探究的思维过程，也就是交流“是怎么想的，为什么这么想”.在学生探究过程中，根据探究的进展情况，教师可给予适当的提示、分析与讲解.

生1：取一个特殊的等比数列1，2，4，8，….计算得到S1=1，S2=3，S3=7，S4=15，我猜想Sn=2n-1.

师：好，请你告诉大家，你取的等比数列的首项与公比，仅取这一个数列能够说明问题吗？

生1：首项a1=1，公比q=2.只取这一个数列还不够.

我又取数列：1，3，9，27，….计算得到S1=1，S2=4，S3=13，S4=40.猜想Sn是多少，还没有想好.

师：确实这里Sn的表达式不容易猜想.如何归纳猜想Sn呢？

观察是关键.考虑到数列的公比q=3，Sn应该与3n有联系，因此，列出下列表格便于我们观察.

序号12345Sn1413401213n392781243

(这里，既给出了寻找Sn与n关系式的方法，同时也给出了归纳验证的策略)

再问：从上述两个数列你能发现规律吗？

生1：还不明显，需要再取一些数列看看.

师：好.请大家再取一些数列试试.

师：很好.现在我们通过计算、归纳得到3个特殊等比数列前n项和Sn的表达式.由此我们能进一步拓展得到一般等比数列前n项和Sn的表达式吗？请同学们试一试.

师：请说说你是怎么想的.

生3：我把分子、分母分开，分别考虑它们与公比的关系.发现，分子为qn-1，分母为q-1.

师：很好，同学们都很聪明，很严谨.能否进一步完善一下？

生4：老师，还应该考虑q=1的情形.

2.3 逻辑证明

上面仅仅是我们的猜想，猜想是否合理呢？取几个数列验证一下可以吗？

生4：不行.需要证明.

生5：我是这样证的：

因为(1+q+q2+…+qn-1)(q-1)=(q+q2+q3+…+qn)-(1+q+q2+…+qn-1)=qn-1，

所以Sn=a1+a2+a3+…+an

=a1(1+q+q2+…+qn-1)

师：很好.请问你是怎样想的？

大家看看还有没有其它的证明方法？

生6：因为Sn=a1+a2+a3+…+an，

qSn=a2+a3+…+an+an+1，

所以，两式相减得(1-q)Sn=a1-an+1.

师：这个办法好！请问你是如何思考的？

师：很好.这位同学紧紧抓住了等比数列的特征.更为可贵的是他能够从代数的运算中展开联想，发现事物的特征，从中发掘提炼有价值的证明方法，值得我们学习.他的方法还启发我们对某些数列求和问题，可以利用代数手段，将多个数的和的问题转化为简单的少数几个数的和的问题，或将不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而使问题得以解决.

考虑到在等比数列中，对任意的正整数k，均有ak+1=ak·q.

因此，由Sn=a1+a2+a3+…+an，得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn

=a2+a3+…+an+an+1,

观察比较两式特点，发现大部分项是相同的，因此将其相减，得到，Sn-qSn=a1-an+1，其右式是两个数的差，由此通过代数运算实现化简和式的目的.

为突出上述策略的特点，可以采用如下方法进行具体表达(恰当的表达方式有助于展示思维过程)：

因为Sn=a1+a2+a3+…+an，

所以qSn=a2+a3+…+an+an+1，

两式相减，得(1-q)Sn=a1-an+1;

q=1时，Sn=na1.

证法的实质是“乘以公比q后，错位相减，消除差别”.上述就是我们今天要学习的等比数列的前n项和公式(形式上与探究的结果有差异，但本质相同)

(证明的方法是多样的，由于时间关系，不作一一交流、展示)

2.4 巩固拓展

根据上述探究并证明的公式，可以解决等比数列的前n项和问题.在使用公式时，应认清首项a1、公比q以及求和的项数n.请同学们课后思考：对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn，已知几个量就可以确定其他量？

请同学们接着完成教材56页例1.

下面，我们再一起分析生6提出的证明方法.

恰当的表达排列，使我们更加清晰地看出生6这种方法与思考方式的特点与优势.

数学中一种“好的方法”与“好的思考方式”，它不仅可以解决个别特殊的问题，关键是还能够解决一类问题，我们通常说的“通性通法”就是指这类方法，同学们在学习的过程中，应力求掌握“好的方法”与“好的思考方式”.

上述这位同学的方法与思考问题的方式，就是“好的方法”与“好的思考方式”.让我们一起来看下一个问题，体会一下“好的方法”与“好的思考方式”：

求数列{an}的前n项和Sn，其中an=(3n+1)×2n.

师：板书讲解

因为Sn=4×21+7×22+10×23+…+(3n+1)×2n，

所以 2Sn=4×22+7×23+…+(3n-2)×2n+(3n+1)×2n+1，

两式相减，得

-Sn=4×21+3×22+3×23+…+3×2n-(3n+1)×2n+1

=-4-(3n-2)×2n+1.

所以Sn=(3n-2)×2n+1+4.

本题的解法展示了形如an=bn·cn(其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列)的数列求和的一般方法.值得注意的是Sn的每一项乘上的是等比数列{cn}的公比q，差式共有n+1项，中间的n-1项必定成等比数列，正是由于中间的n-1项成等比数列，使得我们可以利用今天所学的知识，解决此类数列的求和.这样，通过代数运算将不易求和的问题转化为可以求和的问题.可见，生6提供的是“好的方法”与“好的思考方式”.

3 归纳小结

本节课我们基于对实际问题的分析，抽象出等比数列求和问题.在探究等比数列求和公式的过程中，我们经历了：构建目标、寻找路径、提出假设、验证结果、证明假设及结果的数学表达等6个环节.上述过程也是我们研究数学问题的一般方法.

在学习过程中，我们还感受到了“好的方法”与“好的思考方式”.如，“特殊化”思想、“用分析法寻找解决问题的途径、综合法表述问题的解决过程”等都是“好的方法”与“好的思考方式”.从生6解决问题的想法中，我们体会到通过观察、联想发现事物特征并加以提炼可以帮助我们发现新的数学方法，观察、联想、提炼是发现新方法的途径之一.对生6提供的思维方式的拓展、延伸解决了等差乘等比型数列的求和的体验，为我们解决新问题提供一种思考的方向.

通过对等比数列前n项和公式的推导、应用我们还体会到数列求和的本质是寻找和式的化简式，观察、分析和式的特点是求和的基础，等差、等比数列求和是基础，代数运算转化是求和的灵魂.同学们可以进一步探究通项为多项式的数列前n项和的特点.

结束语

通过对实际情境数学化，基于问题导向的探究式、体验式的数学活动，在教师引导学生如何思考，以及学生通过对研究问题一般方法的感知、体验与参与，有效地促进了学生思考，教会了学生对一般问题的探究方法和思考方式，从而使学生在积累数学思维和实践经验的基础上，形成和发展数学核心素养，达到育人的目的.