初中生逻辑推理核心素养的认识与培养策略研究①

李织兰 蒋晓云 卿树勇

(1.桂林师范高等专科学校 541199； 2.广西师范大学附属宝贤中学 541001)

《全日制义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.”[1]在教学建议中提出：“要培养学生的运筹能力、发展逻辑思维能力，并能够运用所学知识解决简单的实际问题.”[1]推理是数学学习的必备品质，逻辑推理在开发智力，发展思维，培养科学精神等方面有着十分重要的作用,是落实数学学科核心素养的关键能力,逻辑推理又被列为数学核心素养之一.

初中阶段是逻辑推理素养形成的关键时期，我们必须对初中生数学逻辑推理素养的内涵、表现和价值重新认识，研究其培养策略，让逻辑推理核心素养在初中数学课堂落地.

1 关于逻辑推理核心素养的认识

1.1 逻辑推理素养的内涵与表现

“逻辑推理素养”是有别于“推理能力”的，它是指表现在人身上的东西，不仅表明这个人具有逻辑推理的能力，而且表明这个人具有较好的思维品质.

《普通高中数学课程标准 (2017年版)》第一次明确提出归纳推理、类比推理与演绎推理一样，都是有逻辑推理的思维形式，这与传统的理解有所不同.发现数学命题主要依赖归纳和类比，证明数学命题主要依赖演绎，对归纳、类比推理中所蕴含规则的认识更加深刻.讨论数学逻辑推理时，内容上要关注数学命题，形式上要关注逻辑规则.

“逻辑推理素养”与“逻辑推理能力”既有联系，又有区别，逻辑推理素养是紧紧依附于推理这一逻辑思维形式的，因此，要从思维品质的角度认识逻辑推理素养，理解一个人具备逻辑推理素养对思维模式和思维品质的影响.

理解逻辑推理的关键要素是:逻辑起点(从一些事实和命题出发)；要依据的规则(确保推理在形式上无误)；要推出其他命题(即要获得结论).逻辑的起点是一些事实和命题；推理的形式主要有归纳、类比和演绎；结论的表达主要是数学命题.

逻辑推理素养主要表现为:掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流[2].

1.2 逻辑推理素养的数学学科价值

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质[2].

对于得到数学结论、构建数学体系而言，逻辑推理作为一种重要方式是不可或缺的.通过对具体问题或具体对象的观察、实验、归纳与类比等合情推理发现数学结论，并在此基础上进一步通过演绎推理验证数学结论，从而得到数学结论.数学内部的发展、数学理论体系的构建都是建立在逻辑推理基础之上的，逻辑推理不仅是一种重要方式，而且成为数学的基本思想.

数学是按公理体系来建立自己的表述系统的，即追求从不证自明的少数几个前提(公理)出发，逻辑地演绎出整个系统，这种体系立论清晰、严密、极具理性，令人信服.严谨性是数学最重要的特点之一，这一特点的形成是以逻辑推理为基本保证的.

1.3 逻辑推理素养的育人价值

通过数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力[2].

这就是逻辑推理的育人价值或育人目标,反映了较为完整的(包含知识、技能、能力、品质、精神等)目标指向.数学是锻炼思维的体操，在发展人的思维水平有不可替代的突出作用.数学学习与研究不仅有探索与发现的过程，也有严谨理性的证明过程，数学课程的学习是培养逻辑推理素养最好的和最重要的途径.总之，逻辑推理在形成人类的理性思维和理性精神方面起着核心的作用.

2 逻辑推理核心素养培养的课例研究

我们立足于课堂实践,从数学逻辑推理素养教学实践推进的角度出发，通过课例研究探讨初中生逻辑推理素养提升策略和路径，由此提出初中生逻辑推理素养培养模式研究的一些设想,一般按“观察与发现→分析与证明→概括与表述→深化与拓展”的学习程序展开推理过程，使更多的教师能自觉在初中数学课堂上激发学生推理意识，形成推理技能，发展学生有逻辑地表达和交流的能力，通过培养学生逻辑推理素养，形成学生理性思维和理性精神.

案例1 三角形稳定性

人教版初中《数学》(八年级上册)中，对《三角形稳定性》的内容设计为：让学生通过对木条钉成的三角形和四边形“拉一拉”的实验方法，发现三角形木架的形状不发生改变，而四边形木架的形状会改变，从而得到三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性.然而，实验归纳的方法会受到环境、材料等因素影响，导致实验结果的不可靠.我们选择了八年级学生在学习了全等三角形判定的知识后，用数学证明的方法认识“三角形具有稳定性”，培养学生逻辑推理核心素养，增强学生演绎推理意识，铸就学生理性精神.教学过程如下：

(1)冲突重现，感悟推理必要

情境有一个同学说：拉四边形窗子的金属框架，拉动它，发现也“拉不动”，所以他得到的结论是有些四边形也是具有稳定性的.

你同意这位同学的观点吗？也就是这个四边形金属框具有稳定性吗？(学生陷入迷茫，有的说认同，有的说不认同)

设计意图“拉不动=稳定性”这个论断是不严谨的，组成三角形或四边形的不同物理属性材质选择会成为干扰判断的因素之一.通过拉“金属四边形”实验让学生感知实验观察结论可能不同，由此引发同学们对实验结果可靠性的审视，体会理性思考的必要性.

(2)明确概念，谨立推理前提

既然“拉不动≠稳定性”，我们就必须先弄明白“什么是图形的稳定性？”

文献资料中查阅得到：几何图形的稳定性指的是结构、形状和大小不会改变.

回顾一下，什么是三角形？什么是四边形？如何理解它们的结构、形状和大小？

三条线段首尾相连的所围成的图形称为三角形.四条线段首尾相连所围成的图形就称为四边形.三角形和四边形的形状、大小由围成图形的线段确定.

设计意图要追求永恒的、确定的、可靠的知识，即数学知识逻辑的严密性和结论的可靠性.首先要明确概念，即谨立可以理性方法判断的前提.

(3)活动探究，寻求推理思路

活动1每四个人一组，每组成员用四根木棍(或可看作“线段”的其它材料)去围四边形(即四条木棍首尾相连围成的图形)，同小组的观察四根棍子能围出多少个四边形？四条线段能构造出多少个四边形？(预设回答：给定四条线段可以摆出两个或者多个不同的图形，它们的形状、大小发生了改变.所以，可以说这四条线段组成的四边形不具有稳定性.)

活动2每组成员都用三根木棍(或可看作“线段”的其它材料)去围三角形(三条线段首尾相连围成的图形)，同小组的观察三根棍子能围出多少个三角形？

提示将摆出来的三角形在A4纸上画下来.因为是用小棒摆着去画，小棒会移动，那么摆好后确定三个顶点的位置，用直尺连接起来就可以了.

这些用同样三根棍子围成的三角形之间有什么关系？(预设回答：能重合或全等)

全等三角形的结构、形状和大小都是一样，可以看成同一个三角形.

你能肯定所有的用任意三根棍子摆出的都是全等三角形(或者说只能摆出一个三角形)吗？(用“从特殊到一般的归纳不一定完全”的例子告诉学生：实验归纳的结果不一定靠谱，需要证明或者证否.)

设计意图实验结果虽然不可靠，却为发现证明思路提供土壤.尤其在课堂教学中，恰当的数学活动有益于学生寻求思路，提高兴趣.通过两个动手实验，同学们思维火花被点燃，为数学证明创造条件.

(4)理性思考，推理证明过程

给定一个三角形，意味着给定了组成这个三角形的三条线段(三条边)，这个三角形由这三条线段唯一确定.因为由这三条线段围成的三角形都是全等的，从而它具有稳定性.为什么？(可依据三角形全等判定定理SSS证明，请同学们书写证明过程).这样我们通过数学证明的方法得到了“三角形是具有稳定性的”.

(5)小结反思，铸就理性精神

我们平时相信实验归纳所得到的结论，没有质疑过这些结论的可靠性，更没有去想过要用逻辑推理的方法去证明它，缺少了逻辑推理的意识，不说理，更不作证明，久而久之，也就完全肯定“实验归纳”所得到的结论，甚至认为完全没有必要做“数学证明”.

理性的“演绎推理”、“数学证明”比起感性的“合情推理”、“实验归纳”困难得多，如果学生不愿意学习困难的“数学证明”，这会造成学生理性精神缺乏，理性思维能力不强，无法深入地学习数学，数学学习要有良好的“说理”习惯.

设计意图告诉学生，增加逻辑推理意识，平时数学学习要有良好的“说理”习惯，发展理性思维，铸就理性精神是数学学习的“灵魂”，对进一步深入学习数学意义深远重大.

案例2 矩形的“等周问题”

选自人教版初中数学九年级上册“实际问题与二次函数”的探究活动：

探究用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？

法国著名数学家笛卡儿说: “我们所解决的每一个问题，将成为一个模式，以用于解决其他问题.”我们根据探究活动中的实际问题创设趣味情境，设想在解决这个问题过程中建构起“矩形的等周问题”的数学模型，形成解决这类问题“通则通法”，使得这个问题在日常生活和生产中有了广泛的应用.

在解决“矩形的等周问题”的过程中，以新课标中提出逻辑推理素养的表现为切入点, 从发现问题和提出命题, 探索和表述论证过程, 有逻辑地表达与交流等方面来探讨如何在初中数学教学中培养学生的逻辑推理素养.

(1)情境引趣，发现问题和提出命题

欧拉巧围羊圈的故事：伟大的数学家欧拉，小时候在放学之余就帮爸爸放羊，他一边放羊一边看书，有很多是数学书.一天，他爸爸选了一块长40米，宽15米，面积600平方米的长方形的土地建羊圈，他家有100头羊，每一头羊占6平方米羊圈.准备动工时，父亲感到很为难，因为他只买了够围100米篱笆的材料，若要按原计划围羊圈，其周长将是110米，材料不够用；若是缩小面积，每头羊的面积就达不到6平方米的标准.小欧拉说他有办法了，只要移动一下羊圈的桩子，将原来的长截短到25米，将宽延长到25米，羊圈变成了一个25米为边长的正方形.父亲照着小欧拉设计的方案围羊圈，材料足够了，不多不少,面积还稍稍大了一些.

发现问题我们从欧拉的故事中能得到什么启迪呢？有那些问题值得我们研究呢？怎样做可以使羊圈的面积变大？是否可以用100米材料围出的矩形羊圈比欧拉的更大(即欧拉围出的羊圈是不是最大的)？

提出问题(矩形的等周问题)：周长不变的条件下：(1)怎样围矩形，可以使它的面积能增大？(2)围成什么样的矩形面积最大？

点评创设情境目的是为了激发学生学习兴趣；设置思维场景，唤起学生积极思维；培养学生发现问题和提出问题的能力.把现实生活中的问题抽象化和数学化，强调“提出和表达数学命题”，让学生明确数学研究的对象，这是进行逻辑推理的学习的出发点和落脚点.

(2)实验探究，归纳猜想和探索证明

实验过程用几何画板画出一个周长是固定值24厘米的任意矩形(矩形的长AC和宽BC的和是固定线段AB)，度量矩形的长、宽，周长和面积，拖动控制矩形的长和宽的点C改变矩形形状，观察矩形面积的变化.

引导观察、讨论交流AC,BC分别是矩形的长和宽，AC+BC=AB为定长，拖动C点，矩形的面积变化的规律是什么？增加还是减少？

描述观察现象(1)点C往线段AB的中点拖动，矩形面积增大(往B点方向拖动，矩形面积减小)，继续拖动，直至C与AB中点重合，矩形变成一个正方形，面积最大；(2)长AC减小，宽BC增加时，一个“细长”的矩形在变形，变成一个“短高”的矩形，短高的矩形比细长的矩形面积大.

数学语言表达结论周长不变的情况下，减小矩形的长，等量增加矩形的宽,矩形的面积增大；矩形长和宽相等时，矩形成为一个正方形，面积最大.

为什么有这样的规律？

如下图，矩形ABCD的长AB=a减少n，宽AD=b增加n，保证(长+宽)不变，也就是周长不变，且长≥宽，即a≥b，从而b·n≥a·n.变形后，矩形AFGE面积=矩形ABCD+矩形DHGE-矩形FBCH=矩形ABCD+a·n-b·n≥矩形ABCD，所以，即矩形AFGE面积≥矩形ABCD.

结论在矩形的周长不变情况下，长和宽越接近面积就越大，正方形的面积最大.

点评数学问题的分析与解决往往依赖于几何直观，抽象的数学知识只有通过具体的操作过程才能更好地帮助学生理解和掌握，因此利用几何画板进行探索实验，发现规律，归纳猜想，培养学生的观察能力和几何直观能力.几何直观将图形语言转化为文字语言，这是进一步推理论证的思维基础，数学实验促进探索证明结论的思路.

(3)构建模型，函数刻画和计算推理

用图形语言和文字语言书写证明，有时不够精确，还需要进行严密化、精确化的研究.因此，用数学变量来刻画等周条件下的矩形的面积变化的规律，构建“矩形的等周问题”的函数模型，用数学符号的语言和计算推理的方法严谨地、明晰地表述论证过程.

模型求解从二次函数的知识和图像可知

从一般到特殊教材中探究活动的实际问题就成了“矩形的等周问题”的特殊情况.

用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？

当矩形的宽L=15米时，矩形场地为正方形，其面积最大，S=225平方米.

点评经历将“矩形的等周问题”抽象为函数模型的过程.体会到函数是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型.利用模型进行计算推理，形成更加严谨、更加简明、更加精确的逻辑思考，进行有条理有逻辑地表达与交流.

(4)变式训练，深化理解和拓展应用

变式1用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，由于实际条件的限制，矩形有一组对边不能超过12米，你如何围成面积最大的矩形？

变式2用总长为40 m的篱笆围成矩形场地.

(1)怎样围可以使它的面积最大？最大面积是多少？

(2)如果我们限定墙长为15 m，你如何围成面积最大的矩形？

扩展问题比较下面两个乘积的大小：

A=87596512 × 57128463,B=87596505 × 57128470.

深化已知两个正数x，y的和x+y=a(a为常数)，两数的乘积S=xy有什么规律？(这是矩形等周问题的更高层次的抽象：把两个正数x，y看成矩形的长和宽，条件x+y=a(a为常数)就相当于矩形的周长不变，乘积S=xy就是矩形的面积)

结论若两个正数x，y的和x+y为常数，则x，y越接近，乘积S=xy的值就越大；(2)当x=y时，乘积S=xy的值最大.

点评通过变式训练，使一个问题延伸出一类问题，开拓学生解决问题的思路，拓宽学生视野，培养学生思维的探索性和深刻性.伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”，通过深化理解延伸出更多的新问题，往往是从原问题相似、相关或相反角度来提出新的问题，深刻挖掘其教育功能，促进学生积极思考，在更高层次发展学生思维，更广泛拓展应用空间.

纵观整节课，教师引导学生对一道常规题目一般化，发现并提出了“矩形的等周问题”，并借助图形直观加以分析和解决.学生进一步将图形语言和文字语言构建的模型进行严密化、精确化的研究，体会函数是刻画现实世界中量与量之间关系的数学模型，进一步发展符号感，学会用数学语言表达自己的思维成果.学习过程中，能够把握事物之间的联系和发展脉络，学会有逻辑地思考问题，并有条理地表达发现和论证过程，形成重证据、有条理的思维品质和理性精神.交流过程中，多数学生能准确地用图形语言、文字语言和数学符号语言表达观点，论述有理有据，培养了学生严谨求实的科学精神.

3 逻辑推理核心素养的培养策略

3.1 巧妙设置疑问，催生推理意识

推理意识形成学生逻辑推理的自觉.著名的科学方法论学者波普尔说：“正是怀疑、问题激发我们去学习，去发展知识，去实践，去观察.”要想让学生在数学学习中自觉意识到使用逻辑推理，教师可以通过问题情境巧妙设置疑问，让学生的推理意识自然萌发.

案例《三角形的稳定性》中创设问题情境“有一个同学拉四边形窗子的金属框架，拉动它，发现也“拉不动”，所以他得到的结论是有些四边形也是具有稳定性的.”正是立足于对三角形的“稳定性”产生怀疑，通过安排的活动对实验归纳得到的结论不一定正确产生直观的认知，激发学生用“数学证明”的方法认识“三角形具有稳定性”，增强学生演绎推理的意识，养成良好的“说理”习惯，培养学生的“逻辑推理”核心素养.

3.2 完善推理工具，形成推理技能

讨论数学逻辑推理时，需要关注两个方面：数学的命题，逻辑的规则，因此，掌握逻辑推理的基本形式和规则对培养学生逻辑推理核心素养至关重要.从推理形式上看，合情推理主要有是归纳和类比推理规则，借助其进行猜测与验证，着力引导学生数学发现，提出定义和命题；演绎推理规则主要有 “直言三段论”、假言推理和选言推理等推理规则，着力引导学生论证，证明结论的正确性.

在初中数学中常用综合法证明命题，这是初中生必须掌握的基本方法，其中“三段论”是综合法中基本的推理形式，综合法可以理解为多步三段论的组合，我们在教学中以学生易理解和接受的形式呈现，要求学生理解并学会书写.

从思维过程来看，任何三段论由大前提、小前提和结论组成，缺一不可.我们经常把三段论用文字表述为：因为“小前题”，根据“大前提”，所以“结论”.

在具体的语言表述中，为了简洁明了，人们常常省略三段论中的某些部分(如大前提、重复内容、图中很清楚等)，也通常把“大前提”以备注形式写在“结论”的后面.

经过反复训练，学生可以掌握数学证明的综合法，提高推理表述能力.

在初中数学推理中，要直观地告诉学生合情推理具有或然性，要通过多次猜想、验证，才能使合情推理的结论更具合理性，形成探索规律的技能.

有时小学的知识和经验也可能成为发展初中生“逻辑推理”核心素养和“理性精神”的障碍，思考问题时学生往往会首选头脑中固有的方法，推理过程中初中学生通常习惯用感性方法和形象思维，往往只注意直观的结论，不太愿意学习和使用“烧脑子”的演绎推理进行论证，忽视了推理的严谨性.证明是数学研究的灵魂，由于演绎推理具有必然性，数学证明必须依靠演绎推理，只有训练演绎推理技能，才能消解学生的假象推理.

3.3 学会语言互化，提升表达能力

数学语言是进行数学思维与交流的工具，数学学习中常用三种语言:自然语言(文字语言)、图形语言(直观语言)、符号语言(形式语言).自然语言便于理解问题的本质；图形语言形象、直观，小学数学经常用图形描述和分析问题，初中逻辑推理经常结合图形用直观的图形语言进行表述；符号语言简洁、严谨，是数学思维的外在形式，是逻辑推理必备基础.学会三种语言的互译互化，在数学交流中灵活运用，有利于提升表达与数学交流能力.

案例《矩形的等周问题》的问题解决阶段，授课教师先让学生用自然语言提出命题，理解“矩形的等周问题”本质，为下一步的语言互化做好准备.用几何画板画出符合文字语言意思的图形，几何直观，数形结合，发现与论证结论，用文字语言表述过程.引入符号语言用数学变量来刻画等周条件下的矩形的面积变化的规律，构建“矩形的等周问题”的函数模型，进行严密化、精确化的研究.让学生感悟符号语言的简洁、明晰、精确、严谨，更高层次发展学生思维，更广泛拓展应用空间.在逻辑推理过程中培养学生进行语言互化和使用符号语言交流的意识，长此以往，可以提升学生有逻辑地表达与数学交流的能力.

逻辑推理素养是在不断学习中逐步形成和发展的.在初中数学教学过程中, 教师应该以逻辑推理素养的表现为切入点，从发现问题和提出定义与命题，增强学生演绎推理的意识，形成推理技能，探索和表述论证过程，形成命题体系结构，有逻辑地表达与交流等方面培养学生的逻辑推理素养.