S-度量空间中凸压缩不动点

彭 荣

(广东培正学院 数据科学与计算机学院，广州 510830)

不动点理论是非线性分析中的重要内容，在数学的许多领域，特别是非线性微分方程和积分方程中有着广泛的应用.度量空间中的不动点在数学分析、拓扑和数学应用领域中非常重要，学者们对度量空间的概念进行了各种形式的推广和改进，获得了许多有意义的不动点结果并在解非线性方程中得到了应用[1-4].1981年，Istratescu V I[5-7]提出了凸压缩和凸非扩张映射的概念，证明了度量空间中几个凸压缩不动点定理.2011年，Sedghi S等[8]提出了S-度量空间的概念，并将度量空间中的一些结果在S-度量空间中加以推广和改进，获得了许多不动点定理[9-13].之后，许多学者在S-度量空间中研究了各类映射的不动点和公共不动点的存在唯一性问题，得到了许多研究成果[14-16].受文献[5,8]启发，在S-度量空间中引入凸压缩映射的概念，讨论凸压缩不动点的存在性和唯一性问题，将度量空间中的相关结论推广到S-度量空间中，并对证明方法加以改进.

1 预备知识

为叙述方便，下面先介绍一些基本概念和结论.

定义1[8]设X是非空集合，映射S：X×X×X→[0,+)称为X上的S-度量，如果对任意x,y,z,a∈X，满足以下条件：

i)S(x,y,z)=0⟺x=y=z.

ii)S(x,y,z)≤S(x,x,a)+S(y,y,a)+S(z,z,a).

称(X,S)为一个S-度量空间.

性质1[8]设(X,S)是一个S-度量空间，则对任意x,y∈X，S(x,x,y)=S(y,y,x).

定义2[8]设(X,S)为一个S-度量空间， 序列{xn}⊂X，

ii)如果对任意ε>0，存在n0∈N，当m，n>n0时，S(xn,xn,xm)<ε，则称序列xn为Cauchy序列.

iii)如果对任意的Cauchy序列{xn}都在X中收敛，则称S-度量空间(X,S)是完备的.

定义3[9]设(X,S)和(X′,S′)是两个S-度量空间，T是X到X′上的映射，如果对于任意a∈X和xn∈X，当S(xn,xn,a)→0时S′(T(xn),T(xn),T(a))→0，则称映射T是连续映射.如果T在任意x∈X连续，则称T在X上连续.

定义4 设(X,S)是一个S-度量空间，T:X→X是连续映射，如果满足条件：

S(T2x,T2x,T2y)≤aS(x,x,y)+bS(Tx,Tx,Ty).

其中0≤a+b<1，则称T是2阶凸压缩映射.

定义5 设(X,S)是一个S-度量空间，T:X→X为连续映射，对任意x,y∈X，

S(Tpx,Tpx,Tpy)≤a0S(x,x,y)+a1S(Tx,Tx,Ty)+…+am-1S(Tp-1x,Tp-1x,Tp-1y).

其中p∈，0≤a0+a1+…+am-1<1，则称T是p阶凸压缩映射.

2 主要结果及证明

定理1 设(X,S)是一个完备S-度量空间，T为X上2阶凸压缩映射，即对任意x,y∈X，映射T满足：

S(T2x,T2x,T2y)≤aS(x,x,y)+bS(Tx,Tx,Ty)

(1)

其中0≤a+b<1，则T在X上存在唯一不动点x， 且对任意x0∈X，Tnx0→x.

证明任取x0∈X，构造序列xn+1=Txn，n=0，1，2，……，令：

K=max{S(x0,x0,Tx0),S(Tx0,Tx0,T2x0)}

i)证明对任意n∈，其中为取整数).

事实上，对任意k∈N，由式(1)知：

S(T2kx0,T2kx0,T2k+1x0)≤aS(T2k-2x0,T2k-2x0,T2k-1x0)+bS(T2k-1x0,T2k-1x0,T2kx0).

S(T2k-1x0,T2k-1x0,T2kx0)≤aS(T2k-3x0,T2k-3x0,T2k-2x0)+bS(T2k-2x0,T2k-2x0,T2k-1x0).

代入k=1,2，则：

S(Tx0,Tx0,T2x0)≤K=(a+b)0K.

S(T2x0,T2x0,T3x0)≤aS(x0,x0,Tx0)+bS(Tx0,Tx0,T2x0)≤(a+b)K.

S(T3x0,T3x0,T4x0)≤aS(Tx0,Tx0,T2x0)+bS(T2x0,T2x0,T3x0) ≤aK+b(a+b)K≤(a+b)K.

S(T4x0,T4x0,T5x0)≤aS(T2x0,T2x0,T3x0)+bS(T3x0,T3x0,T4x0)≤a(a+b)K+b(a+b)K=(a+b)2K.

显然，当n=1,2,3,4时，命题成立.

假设对任意n≤l命题成立，即对任意n≤l，有：

则n=l+1时，

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)≤aS(Tl-1x0,Tl-1x0,Tlx0)+bS(Tlx0,Tlx0,Tl+1x0)≤

(2)

当l=2k时， 代入式(2)有：

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)=S(T2k+1x0,T2k+1x0,T2k+2x0)≤a(a+b)k-1K+b(a+b)kK=

当l=2k+1时，代入式(2)有：

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)=S(T2k+2x0,T2k+2x0,T2k+3x0)≤

因此，当n=l+1∈时：

由第二数学归纳法知，命题成立.即对任给的n∈：

ii)下证序列{xn}是X中的Cauchy序列.

事实上，任取m,n∈,m>n≥N0，则：

S(xm,xm,xn)≤2S(xm,xm,xm+1)+S(xn,xn,xm+1) =

2S(xm,xm,xm+1)+S(xm+1,xm+1,xn)≤

2S(xm,xm,xm+1)+2S(xm+1,xm+1,xm+2)+…+2S(xn-1,xn-1,xn)≤

(3)

对式(3)取极限，令m,n→时，则S(xm,xm,xn)→0，即{xn}是X中的Cauchy序列.

即x为T的不动点.

iii)下证x为T的唯一不动点.假设存在y≠x,y∈X也是不动点，即Ty=y.则：

S(x,x,y)=S(T2x,T2x,T2y)≤aS(x,x,y)+bS(Tx,Tx,Ty)=(a+b)S(x,x,y)

矛盾，故由反证法知，x是唯一不动点.

定理2 设(X,S)是一个完备S-度量空间，T为X上p阶凸压缩映射，即对任意x,y∈X，映射T满足：

S(Tpx,Tpx,Tpy)≤a0S(x,x,y)+a1S(Tx,Tx,Ty)+…+ap-1S(Tp-1x,Tp-1x,Tp-1y).

(4)

其中0≤a0+a1+…+an-1<1，则T在X上有唯一不动点x，且对任意x0∈X，Tnx0→x.

证明对于任意x0∈X，定义序列xn+1=Txn，n=0，1，2，…，令λ=a0+a1+…+ap-1：

K=max{S(x0,x0,Tx0),S(Tx0,Tx0,T2x0),…,S(Tp-1x0,Tp-1x0,Tpx0)}.

i)证明对任意n∈，有其中为取整数).

事实上，当n=0,1,2，…，p-1，取x=x0,y=Tx0，由假设知结论成立.当n=p时，由式(4)可知，

S(Tpx0,Tpx0,Tp+1x0)≤a0S(x0,x0,Tx0)+a1S(Tx0,Tx0,T2x0)+ …+ap-1S(Tp-1x0,Tp-1x0,Tpx0)≤λK.

则命题成立.

假设对任意n≤l∈成立，即当n≤l时，有：

则当n=l+1时，

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)≤a0S(Tl-p+1x0,Tl-p+1x0,Tl-px0)+a1S(Tl-p+2x0,Tl-p+2x0,Tl-p+1x0)+…

+ap-1S(Tlx0,Tlx0,Tl+1x0).

由整除理论知，对于任意l∈，存在k∈，使得l=kp+i，i=1,2,3,…，p-1.下面对l分类讨论，

当l=kp+i，i=1,2,…,p-2时，

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)=S(Tkp+i+1x0,Tkp+i+1x0,Tkp+i+2x0)≤

a0S(Tkp+i+1-px0,Tkp+i+1-px0,Tkp+i+2-px0)+

a1S(Tkp+i+2-px0,Tkp+i+2-px0,Tkp+i+3-px0)+…

+ap-1S(Tkp+ix0,Tkp+ix0,Tkp+i+1x0)≤

a0λk-1K+a1λk-1K+…+amλkK+…+ap-1λkK(m+1+i≥p)≤

λk-1(a0+a1+…+ap-1)K=

当l=kp+p-1时，

S(Tl+1x0,Tl+1x0,Tl+2x0)=S(T(k+1)px0,T(k+1)px0,T(k+1)p+1x0) ≤a0S(Tkpx0,Tkpx0,Tkp+1x0)+

a1S(Tkp+1x0,Tkp+1x0,Tkp+2x0)+ …+an-1S(Tkp+(p-1)x0,Tkp+(p-1)x0,Tkp+px0)≤

(a0+a1+…+ap-1)λkK=

综上，当n=l+1时结论成立.由数学第二归纳法可知对任意n∈，有：

(5)

ii)下面证明{xn}是X中的Cauchy序列.

事实上，任取m,n∈,m>n≥N0，则：

S(xm,xm,xn)≤2S(xm,xm,xm+1)+S(xn,xn,xm+1)=

2S(xm,xm,xm+1)+S(xm+1,xm+1,xn) ≤

2S(xm,xm,xm+1)+2S(xm+1,xm+1,xm+2)+…+2S(xn-1,xn-1,xn)≤

(6)

对式(6)取极限，令m,n→时，有S(xm,xm,xn)→0，则{xn}是X中的Cauchy序列.

即x为T的不动点.

iii)下证x为T的唯一不动点.假设x≠y∈X也是不动点，即Ty=y.则：

S(x,x,y)=S(Tpx,Tpx,Tpy)≤a0S(x,x,y)+a1S(Tx,Tx,Ty)+…

+ap-1S(Tp-1x,Tp-1x,Tp-1y)=λS(x,x,y)

矛盾，故由反证法知，x是唯一不动点.

定理3[4]设(X,S)是一个完备S-度量空间，T为X到X上映射，任取x,y∈X，

S(Tx,Tx,Ty)≤kS(x,x,y).

其中0≤k<1，则T在X上存在唯一不动点x且Tnx0→x.

S(Txn,Txn,Ta)≤kS(xn,xn,a)<ε.