一种互反判断矩阵残缺值和排序的推断方法及应用

李 伟，张明生，陈德强

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵阳 550025)

在各个领域的发展中,多维多准则决策问题一直都是研究的重点.特别是在一些复杂的系统中,多维的决策往往具有层次结构.20世纪70年代初由美国著名运筹学家T L Saaty教授创立的一种定量与定性相结合的决策——层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP)[1]具有系统性、实用性和简洁性的特点,因此成为了解决复杂决策问题的首选工具.

由于决策的复杂性,部分决策者对于某些指标权重的比较信息无法给出情况是完全可能的.因此,决策者放弃对于某些指标的对比做出打分,导致了判断矩阵的残缺,把这种带有残缺元素的判断矩阵称为残缺判断矩阵.对于这类问题,国内外有许多研究者从多方面进行了研究.尔古打机等[2]通过用未知数填充缺失元素,再建立对数均值诱导偏差矩阵模型来求解未知数的残缺矩阵补充模型；Wang Z J等[3]通过将属性评估转换为区间值直觉模糊数(IVIFN),开发了一种辅助线性规划模型来对替代方案进行排名；Xu Z S等基于语言评价量表的运算法则,以最少的判断就可以接受的不完整语言偏好关系,开发了一种利用加和性来构造一致的完整语言偏好关系[4-5]；胡宏宇等[6]基于残缺元素的偏差行式,以最小偏差最为约束条件计算残缺矩阵的权重向量,用可能性矩阵来确定最后的排序向量；Dopazoa E等[7]定义了相似性函数和参数折衷函数,建立了对数目标规划公式可提供一种有效的程序来计算解决方案.Bozóki等[8]研究了特征向量法和对数最小二乘法这两种加权方法的最佳完备性的唯一性问题,获得唯一性的相同简单图形理论表征判断模型；刘卫锋等[9]通过创建一个转换公式,将加性语言判断矩阵转化为互补判断矩阵,通过建立并求解一个非线性规划模型,得到专家群组的排序向量；许叶军等[10]通过对残缺互补判断矩阵建立二次规划法来得到最终排序；Fedrizzi M等[11]采用最小化全局不一致性的度量来填补矩阵,从而获得一致性最佳的矩阵,通过求解线性系统获得最优值；Gomez-Ruiz J A等[12]提出了一种基于多层感知器(MLP)神经网络的模型,在补充缺失值同时提高矩阵一致性；Frank J C等[13]进行了蒙特卡洛模拟,它使用不完整的成对比较(IPC)算法来研究AHP中简化的成对比较集的影响；吴诗辉等[14]通过将AHP判断矩阵的调整问题等价转化为一个带约束条件的优化问题,设计了改进的搜索引擎算法；等.本文在研究中主要考虑单个决策者基于9标度法在不完全信息下的决策问题.

从现有的研究基础上看,残缺矩阵缺失值和排序往往是采用随机拟合来生成，没有考虑非残缺元素和缺失元素的相对关系,对拟合得出的排序向量直接进行使用而没有加以处理.使得最后的结果不能充分反映矩阵中的残缺信息.对此,本文在对残缺互反判断矩阵的补充和排序方法进行研究时,以非残缺元素为权建立一个加权后的非线性最小二乘模型,通过伴随矩阵来消除残缺元素,然后设置一个偏差量来减少决策失误风险,最后在最终排序的处理上将拟合得到排序向量和补充完整的排序向量进行几何平均,使得出的最后排序更加柔性和可靠.

1 相关定义

1.1 残缺判断矩阵的相关定义

定义1 若在判断矩阵A=(aij)n×n中既有残缺元素又有非残缺元素，而且非残缺元素满足：

aij>0，aij=1/aji，aii=1，

则称A为残缺正互反矩阵.

定义2 设A=(aij)n×n是残缺正互反矩阵,若A的元素满足:∀i,j,k∈N+,均有aij=aikakj,则称A为完全一致性残缺正互反矩阵.

1.2 算法模型的定义

证明由定义4中的一致性指标CI可知,CI越大,矩阵的一致性越差,决策的有效性越差.

假设最大特征值λmax对应的归一化特征向量为W=(w1,w2,w3,…,wn)T,若偏差量为εij,则原判断矩阵为:

(1)

引入最大特征值的公式:

(2)

(3)

此时可以发现,判断矩阵A中的各元素的相对误差与矩阵的一致性有关,误差越小越求得的排序权向量越满足要求.

通过式(1)消去εij,此时：

(4)

(5)

证毕.

2 基于加权最小二乘法拟合残缺值和排序向量的算法

在实际的决策过程中，判断信息的不完整严重影响最终的决策,所以必须对残缺元素进行补充.本文认为在满足一致性的基础上使原矩阵与补充后的完整矩阵偏差越小越符合条件,具体的算法步骤如下.

第1步：输入残缺互反判断矩阵A=(aij)n×n;

第2步：由定义5设置残缺矩阵的伴随矩阵ΔA=(Δaij)n×n,其中:

(6)

第3步：采用加权后的最小二乘拟合算法,引入第2步中求得的伴随矩阵Δaij,通过：

(7)

算出最优的排序向量W′;

第5步：填补完整判断矩阵,通过特征值法求得权重W″;

第6步：通过几何平均求出最终排序向量:

(8)

3 算例试验

例1 已知5阶残缺判断矩阵A1,缺失3个元素.

根据第2步中求得其伴随矩阵ΔA1:(ΔA1如上右所示)

通过第3步中的拟合算法,得到排序向量为:

通过第4步求得残缺元素a23=3.748 9,a25=6.251 2,a34=0.166 7,此时:

CR=0.003 3<0.1,λmax=5.014 9，W1″=(0.209 1,0.261 3,0.069 7,0.418 1,0.041 8)T.

例2 已知5阶残缺判断矩阵A2,残缺元素为5个.

根据残缺矩阵推断模型,其伴随矩阵ΔA2为:(ΔA2如上右所示)

通过第4步求得残缺元素:a14=0.720 2,a23=3.752 1,a25=6.250 1,a34=0.240 4,a45=6.944 4，此时:

λmax=5.119 4,CR=0.026 7<0.1,W2″=(0.154 2,0.192 8,0.051 4,0.570 0,0.030 8)T.

例3 已知一个8阶矩阵A3缺失12个元素残缺判断矩阵,如下:

根据残缺矩阵推断模型,其伴随矩阵ΔA3为:(ΔA3如上右所示)

通过第3步中的拟合算法,得到排序向量为:

通过第4步求得残缺元素a23=0.939 9,a25=2.058 5，a27=0.179 7，a34=2.610 5，a36=1.254 2，a38=0.117 6，a45=0.839 0，a47=0.073 3，a56=0.572 6，a58=0.053 7，a67=0.152 5，a78=0.615 1.此时:

λmax=10.159 2，CR=0.2187>0.1，

W3″=(0.153 3,0.057 1,0.153 4,0.019 6,0.022 5,0.040 6,0.181 8,0.371 8)T,

4 试验对比

在算例1和算例2下,通过比较3种经典的残缺矩阵补全算法:改进模式搜索算法[14]、优化模型补全算法[18]和对数诱导偏差矩阵算法[2]与本文提出的基于改进的最小二乘法拟合残缺值和排序向量的算法进行对比分析,其中补全后的矩阵为上三角元素从左往右和从上往下排列.结果如表1所示.

表1 实验结果分析Tab.1 Analysis of experimental results

由表1可知,不管是在5阶判断矩阵缺失三个元素信息的例1中还是缺失5个元素信息的例2中,文中算法所得出的结果都与其他3种算法一致,且补全后的矩阵一致性非常接近于0,说明在实际决策中得出的排序向量具有很高的真实度和合理性性,进一步证明了算法的有效性和可行性.

在算例3下,通过比较优化模型补全算法[18]和对数最小二乘优化模型[8]与本文提出的基于改进的最小二乘法拟合残缺值和排序向量的算法进行对比分析,结果如表2所示.

由表2可知,当残缺矩阵阶数较大,残缺元素较多时文献[8]中的算法和文中提出的算法在一致性上大于0.1,在可信度上会受到影响.但在排序结果中,文中算法和文献[15]中的算法保持一致,在一定情况下对决策结果不会造成错误的影响,也反应了算法在高阶残缺判断矩阵中有一定的可行性.若协同文献[15]中的一致性修正算法来进行调整,当修正范围取30%时,此时CR=0.095 6<0.1,即达到满意一致性条件.

5 结语

针对在多维决策系统中信息不完整的问题，提出了一种补全残缺值和排序向量的算法，并研究了一种在求出的完整矩阵不满足一致性时的修正方法.本文最终的排序向量是由拟合得到的排序和补全后得到的排序几何平均处理后得出的，使得最后的决策的柔性更强，正确性更高，减少了风险，并在相同的算例下与几中经典的残缺矩阵补全算法进行比较，结果表明本算法所给出的残缺值和排序向量都是合理的，证明了本算法的可行性及有效性.

表2 试验结果分析Tab.2 Analysis of experimental results