义务教育阶段学生理性思维的培养

王永春

2019年11月22日上午，我在《湖北教育》第一届“教研名师”观摩课暨中小学生发展核心素养研讨会上做了题为《义务教育阶段学生理性思维的培养》的报告，主要从数学学科的角度思考义务教育阶段学生理性思维的培养问题。

一、问题的提出

中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神等六大素养，其中科学精神分为理性思维、批判质疑、勇于探究三个基本要点。理性思维的培养是理科落实核心素养的重要方面。

义务教育阶段各学科的课程理念和性质、教学目标具有系统性和连贯性，因此理性思维的培养也应通盘考虑，加强研究小学如何为初中阶段的学习打好理性思维的基础。特别是数学学科，从小学到初中，是从算术到代数、从常量到变量、从实验几何和直观几何到抽象逻辑推理的论证几何的发展过程，无论是知识还是思维、思想方法，都是一个质的飞跃。因此，如果小学阶段不加强学生理性思维的培养，势必影响初中的学习。

二、理性思维的解读

思维有三种最基本的方式：概念、判断和推理。概念既是思维的基本形式，也是判断（命题）和推理的基础。命题是表达判断的陈述句，数学命题是在数学概念和逻辑推理基础上形成的对数学对象进行判断的陈述句。命题分真命题和假命题，本文所讨论的数学命题是指真命题。数学命题是数学运算和推理的依据。概念是判断的基础，判断（命题）是推理的基础，推理是数学中最重要的思维方式或者思想方法。概念、判断和推理之间层层递进。通俗地说：如果概念不清，那么判断不明，继而推理不灵。

根据中国学生发展核心素养研究报告的解释，理性思维主要包含三个方面：①崇尚真知，能理解和掌握基本的科学原理和方法;②尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度;③逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为。根据思维的三个最基本的形式，理性思维的培养，要求学生在理解概念和命题的基础上，掌握科学的原理和思想方法，有追求科学真理的精神和实事求是的态度，能够根据事实和原理进行逻辑思考，通过推理和建立模型解决问题。

三、理性思维的培养

（一）概念的教学

概念是反映事物本质属性的最基本的思维方式。事物一旦被抽象概括成概念，就已经不是事物的现象和局部，而是抓住了事物的本质和全体。本文特别强调一个基本观点：无论是教科书的编写还是课堂教学，不要因为学生认知水平的局限性和概念的抽象性而有意回避概念的清晰表达和理解，不要绕着困难走，而应该采取各种办法，努力使学生理解概念。每次学习遇到困难就回避，就像行进中遇到石头绕着走而不是跨越过去。这样做，久而久之，困难积累多了，学生的面前就会形成一堵墙或者一座山，难以逾越，从而导致很多学生的学习只能死记硬背。

概念具有四个方面的特性或者构成要素，即概念的名称、定义、例子和属性。例如，鸟是体表被覆羽毛的卵生脊椎动物，这个概念中能反映鸟的内涵的本质属性的是“体表被覆羽毛”“卵生的脊椎动物”，那么，会飞就不是反映鸟的内涵的本质特征。因此，判断一个动物是不是鸟，不能以会不会飞为标准。但是我们可以按会不会飞为标准对鸟进行分类，即鸟可以分为两类——会飞的和不会飞的，会飞的如麻雀、喜鹊、大雁、丹顶鹤等，不会飞的如鸵鸟等。蝙蝠和蜻蜓等虽然会飞，但没有羽毛，所以不是鸟;鸵鸟等虽然不会飞，但是符合鸟的本质特征，即体表被覆羽毛、卵生脊椎动物，所以是鸟。可见，理解概念的内涵和外延非常重要。

小学数学中的十进位值制计数法有几个重要的概念，十进制、数位、计数单位、0～9这10个數字。十进位值制意味着把0到9放在不同的数位上就能够表达所有的数。无论是写数、读数、比较数的大小、计算等都要根据计数单位和数位进行。例如，认识10的时候，常常用数小棒的方式计数，我们习以为常地让学生从1根数到10根捆成1捆，可是我们让学生思考过为什么吗，让学生思考过1是什么吗。学生认识了0～9这10个数字，我们让学生思考过为什么自然数10的表达没有用新的数字，而是从0～9中选择0和1这两个数字表达吗？学生认识了100以内的数，我们让学生思考过什么是一位数、两位数的本质吗？也许有老师说低年级学生理解不到这么深刻，到四年级大数的认识时再总结。然而，学生在第一学段学习了三年的数的认识和计算，有很多学生只知其然不知其所以然，主要原因是对十进位值制计数法的本质不理解。因此，我再次重申我的基本观点和做法：高水平教学，标准化考试。高水平教学是为了抽象地理解和运用数学，标准化考试是为了不增加学生的负担，因为学生的负担主要来自考试。再如，100以内数的认识，学生数数的难点之一是数到几十九，不知道接下来怎么数，实际上学生产生学习障碍的最根本原因是对十进位值制计数法没有进行抽象。没有抽象就没有本质的理解，如果学生理解了十进位值制计数法，学生就知道一个一个地数，每个数位上的最大数字是9，那么个位满十应该向十位进一，比如，数到29，再数一个，个位满十应该向十位进一，个位变成0，十位变成3，29的下一个数是30，而不是20。只要学生掌握了这个抽象的位值思想方法，就可以以此类推，顺利地数到99。99是最大的两位数，如果再增加1，两位数已经不能表示了，就需要再增加一个更高级的数位——百位，于是产生了100。其他自然数的学习，可以此类推。

另外，自然数10的认识非常重要，10的出现是自然数乃至数学发展史上的第一个里程碑。教学10的认识，可以启发学生进行时光穿越，回想我们的祖先是如何数数和计数的。至少在3300年前的商朝，中国人使用的甲骨文就有大量的数字符号，已经使用了十进制;2500年前的春秋战国时期，用算筹计数，1个物体用“ ”表示，2个物体用“”表示，3个物体用“ ”，……9个物体用“ ”表示（阿拉伯数字在我国推广使用才100多年）。那么比9个多1个，用什么表示呢？教师引导学生想象：可以继续用不同的符号表示，但是这样下去，有很多物体时，就得使用更多的符号或小棒，很麻烦，也不容易记忆。怎么办才能解决用比较少的符号表示很多数呢？教师请学生开动脑筋，想出好办法。勤劳智慧的中国人受个、十、百、千、万等计数单位的启发，创造了数位（位值制），只用0～9（刚开始还没有0这个符号，用空一位表示0，后来到了宋朝才出现用“○”表示0）10个符号就能够表示所有的数。把数字放在不同的位置上，可以表示不同的值，例如把1放在个位上表示一，放在十位上就表示一个十（10）;把1放在十位上、0放在个位上就表示10，10是最小的两位数……可别小瞧这个发明，古代中国人从3300年前发明十进制，到2500年前发明十进位值制居然用了至少800年，所以这个发明完全可以与中国古代四大发明相提并论。

初中物理有电压的概念，怎么理解电压呢？教科书只给出了名称，没有涉及概念的定义及本质属性。学生对电压的认识没有达到抽象的水平，势必影响后续知识的学习，尤其是欧姆定律等模型的建构和应用。我们打个比方，水一般往低处流，是因为高处的水具有重力势能。假设一座楼房最高有五层，自来水怎么从一楼流到五楼呢？它需要克服水的重力，也就是说一定有力的作用，即水泵施加的力有了水压，水压越大水流越大。同理，电压越大电流越大。

此次活动的观摩课“百分数的意义”是一节概念课，很好地体现了百分数概念的四个要素。教师通过师生互动交流，探究了几个核心问题：为什么要用百分数？百分数是什么意思？百分数与分数有什么联系？在什么情况下用百分数？这样的探究，使得课堂教学达到了深度学习状态。

（二）结构的教学

我们至少应从两个方面理解结构：学科知识结构和个体的学科认知结构。个体的认知结构来源于学科知识结构，个体的认知结构是不同的。学科知识结构是概念和命题的关联所形成的结构，是全体学科工作者研究的成果和智慧结晶，是一种普遍性的客观存在，它不依个人的意志而改变。学生的认知结构来源于知识结构，是学生个体对学科理解的智慧结晶，它属于学生个体，存在于学生个体的头脑中，是个性化的主观存在，是一个复杂的多要素系统，个体之间的认知结构和水平是有差异的。学习有困难的学生的认知结构是不完善的，可能的原因是对一些概念和命题没有掌握，或者是掌握了概念和命题，但对于知识的掌握是碎片化的、支离破碎的，没有形成网状结构。没有结构化的知识无法使学生形成良好的认知结构。

学科知识结构是一个完整的、纵向和横向连接的网状结构，是古今中外广大学科工作者集体智慧的结晶。无论是教材还是教学，都不能把这个完整的知识结构直接呈现给学生，而是通过一本一本的教科书呈现给学生。教科书根据学生的认知水平和规律，把这座高楼大厦拆散、碎片化，进行螺旋上升式的编排。学生从小学一年级到高三，在12年的时间里一课时一课时地学习，就像一砖一瓦地把自己的认知大厦重新盖起来，形成自己的认知结构。教师的任务就是指导学生填好自己的一砖一瓦，把头脑里的这座大厦盖得结构完整、结实美观。

关于结构的重要性，美国心理学家布鲁纳有过精辟论述：

一門学科的课程应该决定于对能达到的给那门学科以结构的根本原理的最基本的理解。教专门的课题或技能而没有把他们在知识领域更广博的基本结构中的脉络弄清楚，这在几个深远的意义上，是不经济的。第一，这样的教学使学生要从已学得的知识推广到他后来将碰到的问题，就非常困难。第二，陷于缺乏掌握一般原理的学习，从激发智慧来说，不大有收获。使学生对一个学科有兴趣的最好办法，是使这个学科值得学习，也就是使获得的知识能在超越原来学习情境的思维中运用。第三，获得的知识，如果没有完满的结构把它连在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命。根据可借以推断出论据的那些原理和观念来组织论据，是降低人类记忆丧失的速率唯一的已知方法。

从中可以看出，布鲁纳非常注重学科课程的原理、观念和结构。这不但有利于学习和掌握学科知识，还有利于记忆、技能和方法的迁移。本文所提出的在概念、命题基础上形成的结构，与布鲁纳的观点有许多相似之处。

认知结构的教学，其过程是复杂的、个性化的。特别需要强调的是，教师首先要有知识关联结构化的思想和意识。每节课，新知识的学习都要进行关联。一般情况下，课始直接呈现主题，进行新旧知识的自主关联，启发学生类比思考：这个新知识点与哪些学过的旧知识有关系？如何把新知识转化成旧知识？能不能用学过的知识和方法理解新知识、解决新问题？每堂课的小结阶段，也应进行关联和结构化，使新知识通过同化或者顺应纳入已有的认知结构当中。另外，即使教师每堂课把知识结构完整地呈现在黑板上，也并不表明每个学生都把知识结构转化为了自己认知结构中的一部分。教师要让学生经历知识结构的形成过程，这个过程要体现思想方法、元认知和非智力因素等整体认知结构的协调发展。

（三）逻辑推理的教学

推理一般分为合情推理和演绎推理。合情推理主要有归纳推理、类比推理、统计推断;演绎推理主要有三段论、选言推理、关系推理等。

1.归纳推理的教学

归纳推理是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳推理往往是在人们实践经验的基础上得出结论的，如通过观察、实验、比较、分析、综合、抽象、概括，形成对思维对象的共性认识，最后归纳结论。

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。如自然数、小数、分数的乘法满足交换律，有理数、实数、复数的乘法也满足交换律，所以关于数的乘法都满足交换律，就运用了完全归纳法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。不完全归纳法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。归纳法有助于发现并提出问题，进行大胆猜想。数学史上有很多著名的问题都是这样被提出来的，如哥德巴赫猜想、费马猜想等。哥德巴赫通过观察几组加法算式，发现这些大于或等于6的偶数等于两个奇素数之和：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…于是，他大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇素数之和。

这个猜想是否正确呢？两百多年来很多数学家进行了不懈的努力，而且取得了很大进展。最著名的就是我国数学家陈景润已经证明了“任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个不超过2个素数的乘积之和”，创造了距离摘取这颗数论皇冠上的明珠只有一步之遥的辉煌成果。

归纳推理在教学中有广泛的应用，如物理教学中，通过实验发现铜可以导电，铅可以导电，铝可以导电，于是可以初步归纳出一个猜想：金属都可以导电。

2.类比推理的教学

类比推理是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质，也叫类比法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性，如根据整数的运算律，得出小数具有同样的运算性质。

类比不同于比较，是在比较的基础上进行的推理。类比法与归纳法也有不同之处，类比法是从特殊到特殊的推理，归纳法是从特殊到一般的推理。它们也有相同之处，它们的结论都是或然的，即正确与否都是不确定的，有待证明。

无论是学习新知识，还是利用已有知识解决新问题，如果能够把新知识和新问题与已有的相类似的知识进行类比，进而找到解决问题的方法，这样就实现了知识和方法的正迁移。因此，教师要引导学生在学习数学的过程中利用类比思想，提高解决问题的能力。有些类比比较直接，如由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定律等;而有些类比比较隐蔽，需要在分析的基础上才能实现，如抽屉原理，变式练习有很多，难度较大，解决此类问题的关键是通过类比找到抽屉和物品的数量，然后运用模型思想和演绎推理思想解决问题。应用类比的思想方法，关键在于发现两类事物相似的性质，因此，观察、比较与联想是类比的基础。中学数学与小学数学可以类比的知识有很多，打好小学数学的知识基础和掌握类比思想，对于中学数学的学习会有较大益处。代数与算术、空间与平面的类比，高维与低维的类比，无限与有限、曲与直的类比等，都是常用的类比形式。如：在代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比，可以推导出有理数和整式的运算顺序和运算定律;与分数的基本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。

3.演绎推理的教学

我们主要讨论常用的三段论和关系推理。

（1）直言三段论。有两个前提（直言命题）和一个结论（直言命题）的演绎推理，叫直言三段论，简称“三段论”。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：长方形的面积等于长乘宽，正方形是特殊的长方形，所以正方形的面积也等于长乘宽，即边长乘边长。

三段论一般要借助于一个共同的词（项）把两个命题联系起来，然后推出一个新的命题（结论）。两个前提包含的共同项称为“中项”，上述例子的“长方形”就是中项;大前提与结论包含的共同项是大项，上述例子的“长乘宽”就是大项;小前提与结论包含的共同项是小项，上述例子的“正方形”就是小项。我们用字母S表示小项，M表示中项，P表示大项，一般的推理形式可概括如下：

所有M都是P

S是M

所以，S是P

三段论的核心思想是：一类对象的全部具有或不具有某属性，那么该类对象的部分也具有或不具有某属性。第一种情况见上例，第二种情况见下例：一切奇数都不是2的倍数，4的倍数加1的和是奇數，所以4的倍数加1的和不是2的倍数。

两种情况的推理可以用下图表示：

在小学数学教材和教学中，如果两个前提中的某一个不言自明，有时可能会省略一个前提。如：这个图形是三角形，它的内角和是180°，这个推理省略了大前提“三角形的内角和是180°”。

三段论通过大前提、小前提推出特殊结论。在小学数学中虽然很少有类似于初中数学证明等严密规范的演绎推理，但是在很多结论的推导过程中应用了三段论推理的省略形式。例如，根据平行四边形的面积公式推出三角形的面积公式，就是一个三段论推理：

平行四边形的面积等于底乘高 （大前提）

两个同样（全等）的三角形的面积等于平行四边形的面积 （小前提）

两个同样（全等）的三角形的面积等于底乘高 （结论）

最后根据等式的性质，推出一个三角形的面积等于底乘高的积除以2。

（2）关系推理。关系推理是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理：①对称性关系推理，如1米=100厘米，所以100厘米=1米。②反对称性关系推理，如a大于b，所以b不大于a。③传递性关系推理，分为相等关系与不等关系的传递，相等关系如a=b，b=c，所以a=c，不等关系如a>b，b>c，所以a>c。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。

此次活动的观摩课“平行四边形的面积”公式的推导过程，就很好地体现了转化和推理思想：

长方形的面积等于长乘宽

平行四边形的面积等于长方形的面积

平行四边形的底等于长方形的长、高等于宽

所以平行四边形的面积等于底乘高

此次活动的观摩课“探究四点共圆的条件”也非常好地体现了转化和推理思想。

（作者单位：人民教育出版社课程教材研究所）