如何根据AAA-1三段论推导出其余23个有效三段论

张晓君

（安徽大学哲学学院，安徽 合肥 230039）

一、引言

亚氏三段论实则是表征了all、some、no和not all这四个亚氏量词的推理性质。在256个亚氏三段论中，只有24个有效三段论。张晓君和李晟[1]利用广义量词理论[2]，把第一格AAA式三段论（简称AAA-1）和第一格EAE式三段论（简称EAE-1）这两个三段论作为基础公理，推出了其他全部22个有效三段论，从而初步建立起亚氏三段论逻辑的形式化公理系统。在深入研究相关成果的基础上，笔者发现：仅仅把AAA-1这一个三段论作为基础公理，就可以推导出其余23个有效三段论，从而为亚氏三段论逻辑建立起极简的形式化公理系统。

其基本思路如下：（1）利用all与其内否定量词no的单调性之间的可转换关系，可以从AAA-1三段论推出第二格AEE式三段论（简称AEE-2，其他简称与此类似），如果再利用no的对称性，从AEE-2三段论就可以推出EAE-1三段论。简言之：只把AAA-1这一个三段论作为基础公理，就可以推导出其余23个有效三段论。而且，充分利用no和some这两个亚氏量词的对称性，还可以对张晓君和李晟（2016）的相关证明进行大大简化。

国内外关于亚氏三段论的研究成果较多，例如：约翰逊（Johnson）[3]、莫斯（Moss）[4]、周北海等[5]，等等。利用广义量词理论研究亚氏三段论的成果并不多见，而且利用广义量词理论可以给出有效三段论简洁明了的证明。

二、相关基础知识

在本文中，若无特别说明，量词都是指包含亚氏量词在内的广义量词。Q表示广义量词，X、Y、Z表示量词所涉及的论元组成的集合，E表示论域，符号“^”表示“而且”，符号“⇒”表示“可推导出”；在不引起歧义或语境明了的情况下，为了表述简洁，形式化时就省略了论域E。

定义 11：四个亚氏量词的真值定义

（1）all(X,Z)⇔X⊆Z （2）some(X,Z)⇔X∩Z≠∅

（3）not all(X,Z)⇔X⊈Z （4）no(X,Z)⇔X∩Z=∅

一个广义量词Q有三种否定形式[2]54-57，即，外否定（outer negation）﹁Q、内否定（inner negation）Q﹁、对偶否定（dual negation）Qd，其定义如下：

定义 22：〈 11,, 11〉类型量词的三种否定运算

令E是任意的论域，且X，Z⊆E，对〈1,1〉类型量词Q而言：

（1）(﹁Q)E(X,Z)⇔并非QE(X,Z)；（2）(Q﹁)E(X,Z)⇔QE(X,E-Z)；

（3）(Qd)E(X,Z)⇔﹁(QE﹁)(X,Z)⇔(﹁QE)﹁(X,Z)。

具体到亚氏量词而言，如果令Q=all，那么﹁all=not all，﹁no=some；all﹁=no，some﹁=not all；alld=some；nod=not all。即：all与not all、no与some互为外否定量词；no与all、some与not all互为内否定量词；some与all、no与not all互为对偶否定量词。

单调性是广义量词最为重要的语义性质，其次是对称性。

定义 33：令Q是任意的〈1,1〉类型量词，E是任意的论域，且X，Y，Z⊆E

（1）Q是右单调递增的（记为Mon↑），当且仅当：若Z⊆Y⊆E，则Q(X,Z)⇒Q(X,Y)；

（2）Q是右单调递减的（记为Mon↓），当且仅当：若Z⊆Y⊆E，则Q(X,Y)⇒Q(X,Z)；

（3）Q是左单调递增的（记为↑Mon），当且仅当：若X⊆Y⊆E，则Q(X,Z)⇒Q(Y,Z)；

（4）Q是左单调递减的（记为↓Mon），当且仅当：若X⊆Y⊆E，则Q(Y,Z)⇒Q(X,Z)。

实例 11：有些车跑得很快。⇒有些车跑得快。

令X表示论域E中所有的车组成的集合，Z表示论域E中所有跑得很快的个体组成的集合，Y表示论域E中所有跑得快的个体组成的集合，这一推理可以形式化为some(X,Z)⇒some(X,Y)，而且Z⊆Y⊆E，根据定义2的（1）可知：some是右单调递增的量词。其他单调性可以类似分析。

实例 22：有些红色车跑得很快。⇒有些车跑得很快。

实例2说明some是左单调递增的量词。实例1和实例2说明：↑some↑。

广义量词的单调性与它的三种否定量词﹁Q、Q﹁和Qd的不同单调性之间，具有可转换关系；具体的转换关系可参见下面的单调性关系定理1，定理1的部分证明可以参见皮得斯(Peters)与魏斯特霍尔(Westerståhl)[6]170-171。

单调性关系定理 11[7]：对于一个〈1,1〉类型量词Q而言：

(1)Q是Mon↑，当且仅当，﹁Q是Mon↓； (2)Q是Mon↑，当且仅当，Q﹁是Mon↓；

(3)Q是Mon↑，当且仅当，Qd是Mon↑； (4)Q是Mon↓，当且仅当，﹁Q是Mon↑；

(5)Q是Mon↓，当且仅当，Q﹁是Mon↑； (6)Q是Mon↓，当且仅当，Qd是Mon↓；

(7)Q是↑Mon，当且仅当，﹁Q是↓Mon； (8)Q是↑Mon，当且仅当，Q﹁是↑Mon；

(9)Q是↑Mon，当且仅当，Qd是↓Mon； (10)Q是↓Mon，当且仅当，﹁Q是↑Mon；

(11)Q是↓Mon，当且仅当，Q﹁是↓Mon； (12)Q是↓Mon，当且仅当，Qd是↑Mon。

即：对两个〈1,1〉类型的广义量词而言，其单调性满足“外否左右反、内否左同右反、对偶左反右同”这一规律[7]。具体到亚氏量词而言，令Q=some，则﹁Q=no，Q﹁=not all，Qd=all，根据实例1和实例2可知，↑some↑；根据这里定理1的（1）和（7）可知，其外否定量词no的单调性是↓no↓；根据定理1的（2）和（8）可知，其内否定量词not all的单调性是↑not all↓；根据定理1的（3）和（9）可知，其对偶否定量词all的单调性是↓all↑。由此可见，广义量词与其三种否定量词之间具有可转换关系。

定义 44：令Q是一个〈1,1〉类型的广义量词，Q是对称的[6]206-214，当且仅当，对所有论域E和所有的X，Z⊆E而言，Q(X,Z)⇔Q(Z,X)。

实例 33：有的保镖是女人。⇔有的女人是保镖。

令X表示论域中所有保镖组成的集合，Z表示论域中所有女人组成的集合，由实例3可以看出：some(X,Z)⇔some(Z,X)。根据定义4可知：some具有对称性。

实例 44：没有人是狗。⇔没有狗是人。

令X表示论域中所有人组成的集合，Z表示论域中所有狗组成的集合，由实例4可以看出：no(X,Z)⇔no(Z,X)。根据定义4可知：no具有对称性。

本文还会用到命题逻辑中的反三段论推理规则：

反三段论推理规则 11：令p、q、r是命题变元，如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p。

反三段论推理规则 22：令p、q、r是命题变元，如果(p^q)→r，那么(﹁r^p)→﹁q。

这两个推理规则是命题逻辑的基本推理规则。由于广义量词理论是一阶逻辑的扩展理论，因此命题逻辑的推理规则在广义量词理论中也成立。

由于全称命题蕴涵特称命题，并且some和no具有对称性，因此有：

事实 11：

（1）all(X,Z)⇒some(X,Z)； （2）no(X,Z)⇒not all(X,Z)；

（3）some(X,Z)⇔some(Z,X)； （4）no(X,Z)⇔no(Z,X)。

三、亚氏三段论的形式化

要对亚氏三段论逻辑进行公理化，首先需要对其进行形式化。根据广义量词理论可知：包含〈1,1〉类型量词的量化语句都具有Q(X,Z)这样的三分结构，而all、some、no和not all这四个亚氏量词是〈1,1〉类型量词，因此仅仅包含亚氏量词的直言命题都可以用Q(X,Z)这样的三分结构来表示。具体而言：（1）全称肯定命题（简称A）“所有X是Z”，形式化为all(X,Z)；（2）全称否定命题（简称E）“所有X不是Z”，意思是“没有X是Z”，形式化为no(X,Z)；（3）特称肯定命题（简称I）“有X是Z”，形式化为some(X,Z)；（4）特称否定命题（简称O）：“有X不是Z”，意思是“并非所有X是Z”，形式化为not all(X,Z)。因此对于EIO-3三段论就可以形式化为no(Y,Z)^some(Y,X)⇒not all(X,Z)，其他三段论的形式化与此类似。

为了不重不漏地进行推导，需要对三段论进行编号，以下证明中的编号与此相同。

[01]AAA-1 [02]AAI-1 [03]AII-1 [04]EIO-1 [05]EAE-1 [06]EAO-1

[07]AEE-2 [08]AEO-2 [09]EAE-2 [10]EAO-2 [11]EIO-2 [12]AOO-2

[13]EIO-3 [14]OAO-3 [15]IAI-3 [16]AII-3 [17]AAI-3 [18]EAO-3

[19]IAI-4 [20]EIO-4 [21]AAI-4 [22]AEE-4 [23]AEO-4 [24]EAO-4

四、AAA-1三段论与其余23个有效三段论之间的化归

利用亚氏量词的真值定义，可以证明AAA-1三段论有效性。因为AAA-1的形式化是：all(Y,Z)且all(X,Y)⇒all(X,Z)，据亚氏量词的真值定义可知：all(Y,Z)⇔Y⊆Z；且all(X,Y)⇔X⊆Y，因此，由Y⊆Z且X⊆Y可得：X⊆Z，据亚氏量词的真值定义可知：X⊆Z⇔all(X,Z)，故：all(Y,Z)^all(X,Y)⇒all(X,Z)，即：第一格AAA式三段论是有效的。因此，可以把AAA-1作为对亚氏三段论逻辑进行公理化的基础公理。

仅仅把AAA-1三段论作为基础公理，就可以推出另外23个有效的三段论，即AAA-1与另外23个有效的三段论之间具有可化归性。现在对此加以逐一证明。本文尽量优先选择利用no和some的对称性，对张晓君和李晟（2016）[1]证明过程进行简化的同时，尽量挖掘出不同三段论之间的可化归性。

1.[01]AAA-1⇒[12]AOO-2

证明：由于AAA-1三段论有效，当且仅当，all是右单调递增的，根据单调性关系定理1的（1）可知，all是右单调递增的，当且仅当，其外否定量词not all是右单调递减的；根据定义3的（2）关于右单调递减的定义可知：Z⊆Y且not all(X,Y)⇒not all(X,Z)，再根据all的真值定义“all(Z,Y)⇔Z⊆Y”可知：all(Z,Y)^not all(X,Y)⇒not all(X,Z)，即AOO-2三段论有效。证毕。

2.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2

证明：此证明与1的有效性证明类似。由于AAA-1三段论有效，当且仅当，all是右单调递增的，根据单调性关系定理1的（2）可知，all是右单调递增的，当且仅当，其内否定量词no是右单调递减的；根据定义3的（2）关于右单调递减的定义可知：Z⊆Y且no(X,Y)⇒no(X,Z)，再根据all的真值定义“all(Z,Y)⇔Z⊆Y”可知：all(Z,Y)^no(X,Y)⇒no(X,Z)，即AEE-2三段论有效。证毕。

3.[01]AAA-1⇒[03]AII-1

证明：此证明与1的有效性证明类似。由于AAA-1三段论有效，当且仅当，all是右单调递增的，根据单调性关系定理1的（3）可知，all是右单调递增的，当且仅当，其对偶否定量词some是右单调递增的；根据定义3的（1）关于右单调递增的定义可知：Y⊆Z且some(X,Y)⇒some(X,Z)，再根据all的真值定义“all(Y,Z)⇔Y⊆Z”可知：all(Y,Z)^some(X,Y)⇒some(X,Z)，即AII-1三段论有效。证毕。

4.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4

证明：根据2.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2可知，AEE-2三段论有效，即all(Z,Y)^no(X,Y)⇒no(X,Z)；又因为no具有对称性，因此no(X,Y)⇔no(Y,X)，即all(Z,Y)^no(Y,X)⇒no(X,Z)，AEE-4三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒AEE-4。证毕。

5.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1

证明：根据3.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4可知，AEE-4三段论有效，即all(Z,Y)^no(Y,X)⇒no(X,Z)；又因为no具有对称性，因此no(X,Z)⇔no(Z,X)，即all(Z,Y)^no(Y,X)⇒no(Z,X)，也即no(Y,X)^all(Z,Y)⇒no(Z,X)，因此EAE-1三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒AEE-4⇒EAE-1。证毕。

6.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[09]EAE-2

证明：根据2.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2可知，AEE-2三段论有效，即all(Z,Y)^no(X,Y)⇒no(X,Z)；又因为no具有对称性，因此no(X,Z)⇔no(Z,X)，即all(Z,Y)^no(X,Y)⇒no(Z,X)，也即no(X,Y)^all(Z,Y)⇒no(Z,X)，故EAE-2三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒EAE-2。证毕。

7.[01]AAA-1⇒[03]AII-1⇒[16]AII-3

证明：根据3.[01]AAA-1⇒[03]AII-1可知：AII-1三段论有效，即all(Y,Z)^some(X,Y)⇒some(X,Z)；又因为some具有对称性，因此some(X,Y)⇔some(Y,X)，即all(Y,Z)^some(Y,X)⇒some(X,Z)，AII-3三段论有效。即AAA-1⇒AII-1⇒AII-3。证毕。

8.[01]AAA-1⇒[03]AII-1⇒[16]AII-3⇒[15]IAI-3

证明：根据7.[01]AAA-1⇒[03]AII-1⇒[16]AII-3可知：AII-3三段论有效，即all(Y,Z)^some(Y,X)⇒some(X,Z)；又因为some具有对称性，因此some(X,Z)⇔some(Z,X)，即all(Y,Z)^some(Y,X)⇒some(Z,X)，也即some(Y,X)^all(Y,Z)⇒some(Z,X)，故IAI-3三段论有效。即AAA-1⇒AII-1⇒AII-3⇒IAI-3。证毕。

9.[01]AAA-1⇒[03]AII-1⇒[19]IAI-4

证明：根据3.[01]AAA-1⇒[03]AII-1可知：AII-1三段论有效，即all(Y,Z)^some(X,Y)⇒some(X,Z)；又因为some具有对称性，因此some(X,Z)⇔some(Z,X)，即all(Y,Z)^some(X,Y)⇒some(Z,X)，也即some(X,Y)^all(Y,Z)⇒some(Z,X)，故IAI-4三段论有效。即AAA-1⇒AII-1⇒IAI-4。证毕。

10.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[08]AEO-2

根据2.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2和全称命题蕴涵特称命题即可证明10。

11.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[08]AEO-2⇒[23]AEO-4

证明：根据10.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[08]AEO-2可知，AEO-2三段论有效，即all(Z,Y)^no(X,Y)⇒not all(X,Z)；又因为no具有对称性，因此no(X,Y)⇔no(Y,X)，即all(Z,Y)^no(Y,X)⇒not all(X,Z)，AEO-4三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒AEO-2⇒AEO-4。证毕。

12.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1⇒[06]EAO-1

根据5.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1和全称命题蕴涵特称命题即可证明12。

13.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1⇒[06]EAO-1⇒[10]EAO-2

证明：根据12.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1⇒[06]EAO-1可知，EAO-1三段论有效，即no(Y,Z)^all(X,Y)⇒not all(X,Z)；又因为no具有对称性，因此no(Y,Z)⇔no(Z,Y)，即no(Z,Y)^all(X,Y)⇒not all(X,Z)，EAO-2三段论有效。即 AAA-1⇒AEE-2⇒AEE-4⇒EAE-1⇒EAO-1⇒EAO-2。证毕。

14.[01]AAA-1⇒[12]AOO-2⇒[14]OAO-3

证明：根据1.[01]AAA-1⇒[12]AOO-2可知：AOO-2三段论有效，即：all(Z,Y)^not all(X,Y)⇒not all(X,Z)；再根据命题推理规则1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁not all(X,Z)^not all(X,Y)⇒﹁all(Z,Y)，因为﹁not all=all且﹁all=not all，因此all(X,Z)^not all(X,Y)⇒not all(Z,Y)，即OAO-3三段论有效。即AAA-1⇒AOO-2⇒OAO-3。证毕。

15.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[13]EIO-3

证明：根据2.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2可知：AEE-2三段论有效，即all(Z,Y)^no(X,Y)⇒no(X,Z)；再根据命题推理规则1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁no(X,Z)^no(X,Y)⇒﹁all(Z,Y)；因为﹁no=some且 ﹁all=not all，因此 some(X,Z)^no(X,Y)⇒not all(Z,Y)，也即 no(X,Y)^some(X,Z)⇒not all(Z,Y)，因此EIO-3三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒EIO-3。证毕。

16.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[13]EIO-3⇒[20]EIO-4

证明：根据15.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[13]EIO-3可知，EIO-3三段论有效，即no(X,Y)^some(X,Z)⇒not all(Z,Y)；又因为no具有对称性，因此no(X,Y)⇔no(Y,X)，即no(Y,X)^some(X,Z)⇒not all(Z,Y)，即EIO-4三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒EIO-3⇒EIO-4。证毕。

17.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[13]EIO-3⇒[04]EIO-1

证明：根据15.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[13]EIO-3可知：EIO-3三段论有效，即no(X,Y)^some(X,Z)⇒not all(Z,Y)；又因为some具有对称性，因此some(X,Z)⇔some(Z,X)，也即no(X,Y)^some(Z,X)⇒not all(Z,Y)，故EIO-1三段论有效。即AA-1⇒AEE-2⇒EIO-3⇒EIO-1。证毕。

18.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[13]EIO-3⇒[04]EIO-1⇒[11]EIO-2

证明：根据17.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[13]EIO-3⇒[04]EIO-1可知：EIO-1三段论有效，即no(X,Y)^some(Z,X)⇒not all(Z,Y)；又因为no具有对称性，因此no(X,Y)⇔no(Y,X)，也即no(Y,X)^some(Z,X)⇒not all(Z,Y)，因此EIO-2三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒EIO-3⇒EIO-1⇒EIO-2。证毕。

19.[01]AAA-1⇒[02]AAI-1

根据全称命题蕴涵特称命题即可证明19。

20.[01]AAA-1⇒[02]AAI-1⇒[18]EAO-3

证明：根据19.[01]AAA-1⇒[02]AAI-1可知：AAI-1三段论有效，即all(Y,Z)^all(X,Y)⇒some(X,Z)；再根据推理规则1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁some(X,Z)^all(X,Y)⇒﹁all(Y,Z)；又因为﹁some=no且﹁all=not all，因此no(X,Z)^all(X,Y)⇒not all(Y,Z)，即EAO-3三段论有效。即AAA-1⇒AAI-1⇒EAO-3。证毕。

21.[01]AAA-1⇒[02]AAI-1⇒[21]AAI-4

证明：根据19.[01]AAA-1⇒[02]AAI-1可知：AAI-1三段论有效，即all(Y,Z)^all(X,Y)⇒some(X,Z)；又因为some具有对称性，因此some(X,Z)⇔some(Z,X)，即all(Y,Z)^all(X,Y)⇒some(Z,X)，即AAI-4三段论有效。即AAA-1⇒AAI-1⇒AAI-4。证毕。

22.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1⇒[06]EAO-1⇒[10]EAO-2⇒[17]AAI-3

证明：根据13.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1⇒[06]EAO-1⇒[10]EAO-2可知：EAO-2三段论有效，即no(Z,Y)^all(X,Y)⇒not all(X,Z)；再根据推理规则1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁not all(X,Z)^all(X,Y)⇒﹁no(Z,Y)；因为﹁not all=all且﹁no=some，因此all(X,Z)^all(X,Y)⇒some(Z,Y)，即AAI-3三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒AEE-4⇒EAE-1⇒EAO-1⇒EAO-2⇒AAI-3。证毕。

23. [01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1⇒[06]EAO-1⇒[10]EAO-2⇒[17]AAI-3⇒[24]EAO-4

证 明 ：根 据 22.[01]AAA-1⇒[07]AEE-2⇒[22]AEE-4⇒[05]EAE-1⇒[06]EAO-1⇒[10]EAO-2⇒[17]AAI-3可知：AAI-3三段论有效，即all(X,Z)^all(X,Y)⇒some(Z,X)；再根据推理规则1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁some(Z,X)^all(X,Y)⇒﹁all(Y,Z)；又因为﹁some=no且﹁all=not all，因此no(Z,X)^all(X,Y)⇒not all(Y,Z)，即EAO-4三段论有效。即AAA-1⇒AEE-2⇒AEE-4⇒EAE-1⇒EAO-1⇒EAO-2⇒AAI-3⇒EAO-4。证毕。

至此，笔者仅仅把第一格的AAA式三段论作为基础公理，推出了其余23个有效的三段论，从而为亚氏三段论逻辑建立起了极其简的形式化公理系统；并在证明过程中，还揭示了多个三段论之间的可化归性。三段论的有效性实则表征了所涉及的量词的单调性、对称性等语义性质。不同三段论之间的可化归关系表征了亚氏量词的单调性与其三种否定量词单调性之间的可转换关系，或者表征了no和some的对称性。这些可化归性和可转换性实则彰显了“事物之间是普遍联系”的辩证唯物主义思想。