谈“模型”教学的几个注意点：以“铅锤高”法为例

顾彩梅

(浙江省杭州外国语学校 310023)

在数学学习的过程中，我们常从已解决的问题中提炼模型用以解决更复杂的综合问题.模型可以给解题者提供展开联想的原型，明晰解题的方向，缩短思维的推理过程，因此“模型”教学为广大教师所青睐.对于数学模型的教学，许多文献都从学生“学”的角度阐述了“套模”解题中识模的重要性[1-3]，笔者读后深受启发.恰巧，笔者所在学校的一位教师也开设了一节以模型教学为主题的专题课“‘铅锤高’法的应用：与二次函数有关的面积问题”.笔者结合本节课的教学过程和教师们的研讨反思，从学生识模、套模之前，教师如何“教”数学模型的角度，谈一些看法.

1 教学简录

问题1如图1，抛物线y=-x2+2x+3的顶点为D，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.请分别求出△ABD，△COD，△BCD的面积.

图1

预设：学生将△BCD沿着过点D的竖直方向进行分割，引出“铅锤高”法.

实施：学生给出△BCD面积的另三种解法，后在教师提示下完成预设方法.

问题2在问题1的条件下，点E是抛物线上第一象限内的动点(如图2).求(1)△BCE面积的最大值及对应的点E坐标；(2)四边形ABED面积的最大值.

图2

预设：教师板书演示第(1)问后，预设学生能将四边形ABED沿着DB划分解决问题.

图3

实施：学生首先给出将四边形面积划分成三角形和梯形面积之和的完整解法(如图3)；接着提出问题“沿对角线AE划分如何完成”，教师未给予解答；最后教师引导学生连结对角线DB，提示模仿第(1)问求出△BDE的面积再解决问题.

问题3在问题1的条件下，E是抛物线上在第四象限的点(如图4)，求使S△BCE=6的点E坐标.

预设：学生经历过点B作铅锤高失败之后，调整到过点E作铅锤高求面积.

实施：学生直接利用先补再割的方法解决问题(如图5)，S△CBE=S△OBE+S△OBC-S△EOC，后经教师引导完成过点E的“铅锤高”法求面积.

图4 图5 图6

问题4如图6，求作△BCE中经过三个不同顶点的“铅锤高”和“水平宽”.

预设：分别过点B，C，E作三角形的铅锤高及对应水平宽，学生能独立完成.

实施：学生1通过参考前面例图完成，学生2在教师提示下完成，学生3未能完成.

分析 教学预设是教师在课前对某些重要教学环节的预想和设计，预设不可能完美，应该是具有弹性和留白的，但教师所做的大部分预设都要符合学情和学生认知结构，要为数学模型的教学服务.本节课的教学未能达到执教者课前预设的效果，这引起了教师们的反思.首先，模型引入环节没有考虑模型提出的必要性，如果学生现有的知识和方法能方便快捷地解决问题，那么提出“铅锤高”法就显得多余和牵强；其次，在模型的应用和辨析过程中，教师如果能够对课堂生成性问题加以重点讲解，多多辨析，那么学生对模型的本质会理解得更深刻；最后，模型本身有一定的难度，教师要把控好这个度.在大家交流建议的基础上，笔者尝试对本节课进行了二次设计.

2 教学改进

2.1 学情分析

九年级学生已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数、三角形、四边形等章节的知识，根据前面学习经验的积累，能够比较熟练地利用割补法解决三角形(多边形)面积问题，这些为引入“铅锤高”法求解面积问题奠定了良好的基础.“铅锤高”属于物理学概念，鉴于学科差异，概念理解和辨析存在难度，因此在教授模型的过程中，教师要帮助学生完成深刻认识模型本质的过程.

2.2 教学目标

理解“铅锤高”和“水平宽”的基本概念，会用“铅锤高”法解决线段长度、三角形面积等最值问题.体会不同割补法在求解面积问题过程中的共性，感悟“铅锤高”法在解决一类动态三角形(顶点在抛物线上)面积最值问题中的优越性.经历模型提出、建立、应用的过程，积累运用模型解决问题的经验，增强解决综合问题过程中克服困难的勇气，激发学习数学的兴趣.

2.3 教学设计

问题1抛物y=-x2+2x+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(如图7).(1)E是抛物线上第一象限内的点，过E作EF⊥x轴交直线CB于点F，求线段EF长度的最大值；(2)连结EC，EB，求△BCE面积的最大值.

图7

追问 这两问之间有关联吗？(当EF取最大值时，△BCE面积最大)

图8

问题2在问题1的条件下，当点E在直线CB下方的抛物线上运动时，求使得S△BCE=6时点E的坐标.

图9

问题3在问题1条件下，已知直线y=-3x+3分别与x轴、y轴交于点H，C(如图10)，点M是抛物线上第一象限内的动点，设点M的横坐标为m，△CHM的面积为S.求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.

图10 图11 图12

图13

设计说明进一步体会“铅锤高”法在求解“一类以二次函数为背景的三角形面积问题”中发挥着重要作用，而且该模型所蕴含的“化斜为直”的思想是解决许多平面几何综合问题的关键.

3 关于模型教学的思考

3.1 让学生感悟模型提出的必要性和合理性

改进前，纵观整节课，问题1～3无需“铅锤高”法也可解决，所有解法自然生成，不同的解题思路还充分展示了学生良好的基本功和敏锐的观察力.这样，模型的提出还有何意义？必要性体验的缺失，使得整节课的教学意义悬空，学生缺少学习的动力.改进后，教师通过对例题条件和设问的再次整合, 有效避免了坐标系中其他求解面积方法的干扰，让学生切身体会到模型在解决问题中的优势及广泛的应用性.从合理性角度出发，数学模型具有快捷解决问题的优势，但模型不是解决问题的唯一途径，例如，问题1中的三角形面积最值问题就有先补再割法、铅锤高法、切线法、三角函数法等多种解题思路，模型的提出只是从策略上帮助学生更好地把握几何图形的结构，快速找到解题的突破口，进而提升解决问题的能力，增强解决问题的信心.

3.2 让学生感知模型的深刻本质

“铅锤高”是一个物理学概念，延伸到数学学科，也并非我们教科书中定义的“高”(由三角形的一个顶点向对边或者对边所在的直线所作的垂线段)， 此“高”非彼“高”.学生对三角形中高的定义接触在先，先入为主，如果不从本质上加以区分和理解，学生容易混淆基本概念，影响模型的接受.

“铅锤高”和“水平宽”是该模型提出的两个基本概念.笔者发现，与本节课的执教者一样，大多数教师都认为“铅锤高”是模型的主角而忽略了“水平宽”，这样的理念局限了解题思路，不利于学生一般性和发散性思维的发展.不同于物理学中的“铅锤”意义，坐标系中竖直和水平方向地位平等，这点笔者在改进后的教学设计中有所体现，如问题3中的方法3.改进前，学生的解法始终跳不出“割补法”，也是因为“铅锤高”模型法的本质其实只是在求三角形面积过程中的一种特殊的割补方法；特殊法可以解决的，一般法肯定也适用.模型的特殊性并不在于这条同名于物理学中的“铅锤高”的作用，而是分割后的两个三角形所共用的这条底边，底边的方向既可以竖直也可以水平，竖直或水平方向的底边可求化是利用模型快速解题的精髓所在.

3.3 让学生感受模型建立的过程

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：教学课程目标的整体实现，是通过教学过程展开的.教学活动要重视过程，突出重点.虽然本文的“数题模型”与数学建模不是一回事，但可以借鉴数学建模的教学过程来开展此类数题模型教学.学生学习“铅锤高”法解决问题的过程是整体性的，包括观察、猜测、归纳、推理和建模的过程，也包括学生在学习过程中的情感体验.比如改进前，课堂上学生提出和遇到了一些困难，教师如果能够利用这些生成性资源，让学生充分感受和经历“铅锤高”法求解面积的探索过程，那么学生对该模型的认识会更加深刻.只有这样，学生才能在学习知识技能的过程中学会如何思考、如何解决问题，保持对数学学习的兴趣，提高数学素养.

3.4 让学生感触模型学习的乐趣

心理学家克鲁切斯基在对中小学生数学能力研究的过程中发现，数学能力强的学生“一眼就看出了问题的结构，就能把已知的条件联系起来”，这种条件反射式的应激性反应是数学模型所期望的，但是这种单一的思维模式却屏蔽了其他信息，它往往只对解决一类问题很奏效.因此，教师在教授模型的同时，更要加强对基础知识、技能和基本思想方法的重视，“通性通法”具有更普遍的基础性、生长性和应用价值，也有利于增强学生解题的自信心.九年级学生虽然具备一定的认知基础和探究问题的能力，但是本节课提出的“铅锤高”模型法具有一定的难度.改进前的问题4抽象性强、混淆度大，不利于学生顺利解决问题，因此教师还要恰当把握新模型教学的难易程度，使得学生在学习模型的过程中保持兴趣和乐趣.