基于“两个过程”合理性思考下的复习课设计一例

王 凯 王红权

(浙江省杭州市普通教育研究室 310003) (浙江省杭州市源清中学 310015)

我们都知道，数学学习不仅要“知其然”，更要“知其所以然”，我国著名数学教育家傅种孙先生还提出“知何由以知其所以然”.人民教育出版社中数社多位参与教材编写的资深编辑在新教材使用培训时反复提及在教学过程中数学核心素养的渗透可以借助“两个过程”的合理性，即数学知识发生发展过程的合理性和学生思维过程的合理性[1].笔者觉得不仅新授课应该如此，复习课也需要有这样的理念，学生的数学能力方能拾阶而上，将数学核心素养落地生根.笔者以自己在农村中学的一节支教课为例，来谈一下基于“两个过程”合理性思考下的高考复习课设计.

1 教学目标及目标内容解析

目标问题(2015浙江理·18)已知函数f(x)=

x2+ax+b(a，b∈R)，记M(a,b)为|f(x)|在x∈[-1,1]时的最大值．(1)证明：当|a|≥2时，M(a,b)≥2；(2)当a，b满足M(a,b)≤2，求 |a|+|b|的最大值．

该题是2015年浙江卷中难度最大的试题，全省17．7万理科考生的平均成绩为2．2分(满分15分)．笔者将要去支教的是一所农村薄弱学校，如何让学生通过一节课时间突破这个问题，任务颇为棘手．

目标解析该题考查函数的单调性与最值之间的关系，线性规划和三角形不等式等知识；同时也考查数形结合、转化化归、分类讨论等数学思想，综合程度和抽象程度均较高，特别是对绝对值的处理学生较为陌生．为此笔者的设计按照以下两条线索展开，其一为明线：通过分析一次函数的最值问题，数形结合，由浅入深，由表及里得到二次函数相关最值问题的解决方案(即数学知识发生发展过程的合理性)；其二为暗线：透过问题通过联想学习解题，启智并获得理性提升，开启学生学会思考的大门(即学生思维过程的合理性).

问题诊断由于题目中不仅出现含绝对值的二次函数，还出现了a，b两个参数，后者在高三平时的训练过程中很少出现，所以这个题目给考生的第一感觉就是抽象程度高，而且比较陌生，所以难度大．

2 教学设计

解题教学是高中数学课堂的一个重要主题，但高中三年学生都是在不停地做题，而到考试的时候经常还是不会．学生为什么不怕难题怕生题？笔者认为，教师在平时的课堂教学中缺少对数学本质的揭示，没有遵循学生思维发展的过程，以致学生数学能力提升缺乏必要的平台．

基于本节课的目的和学情，笔者将这节课定位于这道高考题第(1)问的解决，这个问题的解决要和学生讲清楚以下三个问题：1)具体函数仅仅是问题的背景；2)把握问题中对量词的要求；3)函数单调性决定最值．在这样的理解下，最后笔者将课题定为：探秘一类函数的最值问题．

问题1设函数f(x)=x-2．(1)若存在x0∈[1,4]，使得f(x0)≥t成立，求实数t的取值范围；(2)对任意x∈[1,4]，都有f(x)≥t成立，求实数t的取值范围.

图1

课堂生成片段

生1：根据图1，知(1)t≤2；(2)t≤-1.

师：能归纳出一般的解题方法吗？

生2：若存在x0∈D，使得f(x0)≥t成立，则t≤[f(x0)]max；若对任意x∈D，使得f(x)≥t恒成立，则t≤[f(x0)]min．

师：请用同样的方法完成下面的练习：设函数f(x)=x2+2x-2．(1)若存在x0∈[-2,1]，使得f(x0)≥t成立，求实数t的取值范围.(2)对任意x∈[-2,1]，都有f(x)≥t成立，求实数t的取值范围.

设计意图从最简单的一次函数入手，通过数形结合，利用函数图象的直观让基础最为薄弱的学生能动手、用眼、用脑，让他们能收获成功，吸引他们愿意投入精力和兴趣是开局设计的关键.这一开局虽看似简单直观，但已包含整节课的核心，且正好在学生的最近发展区内，符合薄弱学校的认知基础(有了数学知识发生发展过程合理性的前提条件).让学生感悟在不同量词的表述下和函数最值的一些相关关系，进而得到一些普遍性的结论(为学生思维进阶提供了基础)．

教学实践证明这样做是合适的.学生通过动手和思考基本能解决问题1，并能归纳得到问题的更普适的结论.同时，将改变问题情境为二次函数后，学生能顺利解决，收获自信．

问题2设函数f(x)=x2+ax-2，a≥2,若存在x0∈[-1,1]，使得f(x0)≥t成立，求实数t的取值范围.

课堂生成片段

图2

师：这意味着什么？

生4：给定的二次函数在区间[-1,1]上单调递增，这样问题就转化为问题1一样的解决思路，即只需要t≤[f(x0)]max=f(1)=a-1．

设计意图在学生的最近发展区建立支架(在二次函数中嵌入一个有范围的参数)，借助学生之前的习得(前两个问题的解决)，帮助学生沿概念框架逐步攀升，以达到学生对数学理解从一个水平提升到另一个新的更高水平的目的(让学生的数学知识和思维都在原有的基础上有了小步的提升).

问题3设函数f(x)=|x2+ax-2|． (1)对任意a≥2，记M(a)为f(x)在x∈[-1,1]时的最大值，求M(a)；(2)对任意|a|≥2，记M(a)为f(x)在x∈[-1,1]时的最大值，求M(a).

课堂生成片段

生5：把原来的函数加上绝对值后，图象发生了变化，将x轴下方的图象关于x轴做了对称(图3)．

图3

师：你能说说与问题2的区别吗？

生6：函数在给定区间里不单调了，先减后增．

师：如何解决？

生7：f(x)的最大值可能在区间的两个端点取到，即M(a)=max{|f(-1)|，|f(1)|}=max{|-a-1|，|a-1|}.

师：能否进一步化简结果？

生8：可以利用a≥2来去绝对值M(a)=max{|-a-1|， |a-1|} = max{a+1，a-1} =a+1．

生9：也可以在同一坐标系下作函数f(a)=|-a-1|和f(a)=|a-1|的图象(图4)，比较大小可知M(a)=a+1．

图4

设计意图由于之前引导帮助多一些，到 这时的逐渐减少，通过愈来愈多地放手让学生自 己探索，使学生在宏观的层面上形成了自己的解 题经验(为学生思维提升提供了平台)．在解决M(a)=max{|-a-1|,|a-1|}时用两个不同的视角，也为进一步解决最终的问题做了方法上的储备．

目标问题(2015浙江理·18(1))已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，记M(a,b)为 |f(x)|在x∈[-1,1]时的最大值．证明：当 |a|≥2时，M(a,b)≥2．

课堂生成片段

师：这个问题和问题3一样吗？

生10：除了多了个b没有任何区别．

师：那么能解决吗？

生11：由问题3的解法有M(a,b) = max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|1 -a+b|, |1 +a+b|}．

师：余下的问题是——

生12：说明max{|1-a+b|,|1+a+b|}在 |a|≥2时的最小值为2．

师：能解决吗？问题3对我们有帮助吗？

生13：好像用代数法去绝对值不行．

师：那么用函数图象的方式呢？

生14：同一坐标系下作f(b)=|b-(a-1)|和f(b)=|b-(-a-1)|的图象．

师：可以直接作图吗？

生15：需要知道a-1和-a-1的大小．

师：具体怎么做？

生16：分成a≥2和a≤-2讨论.

讨论后得到图5(a≥2)和图6(a≤-2).

图5

生17：所以max{|1-a+b|,|1+a+b|}≥ |a|≥2，命题得证．

图6

设计意图通过由浅入深的过程，使原来复杂的问题逐渐变得明朗.在之前生成的思维成果基础上达到对当前所学概念比较全面、正确的理解，让学生理解问题本质，进而学会掌握问题的方法，即最终完成对所学知识的意义建构．

3 课后练习

设计意图让学生进一步消化和巩固课堂所生成的成果．

4 教学反思

复习课的教学过程中会有两种情况发生：一种是学生做对了，教师一带而过，就此终了；还有一种就是在学生生成的解题过程上暴露其解题思路．若是后者，教学中教师要从学生的认知起点出发引导学生寻求思维的生长点与发展方向，教师应该从数学学科的整体结构、核心内容上整体把握和认知数学教学内容，设计和学生的认知水平与自主思维相符合的问题探究和解决策略，给学生充分的时间和空间来进行探究分析，让其更好地理解数学.始终坚持把学生数学知识发生发展过程和思维进阶的合理性放在首位，改变重结论轻过程的教学陋习.这也是培养学生数学核心素养的抓手，把完整的数学教给学生，全面发挥数学的育人功能.高中数学复习课对学生来说不应该是炒冷饭，而应该是提升综合能力的一个载体，数学复习课的教学设计要坚持“两个合理性”的理念，讲好数学就是发展数学核心素养.