例谈处理极值点偏移问题的有效策略

白志峰 祁京生

(北京市通州区潞河中学，101149)

极值点偏移是导数应用中的一个难点．因为极值点的偏移产生了自变量之间的不等关系,由此编拟出的试题极具挑战性．将自变量的大小关系转化为函数值的大小关系、将非对称问题转化为对称问题、构造辅助函数等手段,是处理此类问题比较有效的策略．

本文通过一道例题的解答介绍几种处理极值点偏移问题的常用策略,供读者参考.

例题 已知函数f(x)=xe-x(x∈R).如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2>2.

策略1 借区间转化,建单调性桥梁

此类解题策略是通过区间转化,把自变量转化到函数的同一单调区间内,构建运用函数单调性的桥梁,将自变量的大小关系转化为函数值的大小关系.

证法1 易知f′(x)=(1-x)e-x,故x<1时,f′(x)>0；x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,1)单调增,在(1,+∞)单调减,x=1是f(x)的极大值点.

注意到f(0)=0,且x>0时,f(x)>0,由x1≠x2,且f(x1)=f(x2),不妨设x11.

由x1+x2>2等价于x1>2-x2,得2-x2<1,从而x1与2-x2位于f(x)的同一单调(递增)区间内.因此，只需证明f(x1)>f(2-x2)，结合f(x1)=f(x2),只需证f(x2)>f(2-x2).

构造函数h(x)=f(x)-f(2-x)=xe-x-2ex-2+xex-2(x>1),只需证h(x)>0.

由h′(x)=e-x(1-x)(1-e2(x-1))>0,可知h(x)为增函数,所以h(x)>h(1)=0.

综上,得证.

策略2 借对称之石,攻非对称之玉

极值点偏移是由“不对称”关系引起的,它与“对称”关系存在什么关联呢?借助对称关系的思路解题,是突破此类问题的第2种常用策略.

证法2 同证法1，可知f(x)在(-∞,1)单调增，在(1,+∞)单调减，且x>0时f(x)>0.不妨放x11.

作f(x)的图象,如图1.取关于x=1对称的两点1-x与1+x(0

因为f(x)在(1,+∞)单调减,所以在1+x的右侧,必存在一点x2,使得f(1-x)=f(x2).在x2>1+x两侧同加1-x,得1-x+x2>2,再令1-x=x1,得x1+x2>2.得证.

策略3 借等量代换,构辅助函数

证法3 由f(x1)=f(x2)，得x1e-x1=x2e-x2,其中01(见证法1).

回顾以上三种策略，其本质都是降维思维——把二元问题转化为一元问题进行论证求解,离不开函数与方程、转化与化归、数形结合等基本数学思想. 其中方法1易于迁移利用,更具普遍性.

以下4道类似练习题,读者不妨一试.

1.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围;

(2)设x1、x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

2.已知函数f(x)=lnx-x+a(a∈R).若x1、x2是函数f(x)的两个零点,且x1

(1)求a的范围;

(2)求证:x1x2<1.

(1)求f(x)的单调区间,并写出实数m的取值范围;

(2)证明:x1+x2>0.

4.设函数f(x)=x3+cg(x)=8x2-20x,方程f(x)=g(x)有三个不同实根x1、x2、x3(x1

(1)求c的取值范围;

(2)求证:x1+x2>4.