极值点偏移问题的高等数学背景探究

党江平

(陕西省西安中学，713200)

函数极值点偏移问题是近年来高考的热门考点.在近十年高考中共出现4次，在全国各地的模拟考试中也多次以压轴题的形式出现,很多学生对待此类问题经常是束手无策．笔者从这一类问题的高等数学背景出发,利用泰勒定理对极值点偏移问题进行研究,得到了利用函数三阶导函数判断极值点偏移的结论．期盼在高观点下,深入浅出地理解极值点偏移问题,以期为读者在处理此类问题时，提供更多的思路．

一、极值点偏移问题的定义

二、极值点偏移的高等数学背景

①

由此，我们作出了极值点偏移的判断,并给出如下结论:

结论已知函数y=f(x)在(a,b)内只有一个极值点x0,且存在三阶导函数,f(x)在(a,b)内存两个零点x1、x2,且x1

若f‴(x)>0,则有极大值点向左偏移，极小值点向右偏移;

若f‴(x)<0,则有极大值点向右偏移，极小值点向左偏移;

若f‴(x)=0,则极值点不偏移．

评注这只是一个充分性(非必要)判定结论,使用时需注意．

三、处理高考题中的极值点偏移问题应用举例

例1(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围;

(2)设x1、x2是函数f(x)的两个零点,证明x1+x2<2.

解(1)略.

(2)由(1)知a>0,f′(x)=(x-1)(ex+2a),令f′(x)=0,得x=1.易知f(x)在区间(-∞,1)单调减，在(1,+∞)单调增，故x=1为函数的极小值点,f(1)=-e<0.又因为f(2)=a>0,所以x1<1

当x1≤0时,由于1

综上，x1+x2<2成立,命题得证.

例2(2011年辽宁高考题)已知函数

f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(1)讨论函数的单调性;

(3)若函数f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB的中点横坐标为x0,证明f′(x0)<0.

解(1)、(2)略.

美国数学家哈尔莫斯认为:“问题是数学的心脏”．在平时的学习中,我们不能局限于解决问题,还应当善于发现问题,探究问题的本源及内在规律．这应当比问题的解决更加重要,也应该是我们每一个数学工作者所坚持的．