降元法巧解双极值点含参恒成立问题

孟 彪

(江苏省南京师范大学附属扬子中学，210048)

函数f(x)的双极值点x1、x2的本质是f′(x)的双零点,含有双极值点的恒成立问题是双变量问题．解决双变量问题的核心思想是通过某种途径降元,把双变量问题转化为单变量问题．而含参的双极值点问题除了两个变量x1、x2外还有一个参数,这给解题带来巨大的困扰．对于这类双极值点含参恒成立问题，通常考虑消参或以参数为媒介构造一个新的单变量函数,研究其最(极)值．本文给出常见的几种处理方法.

一、利用双极值点存在的等量关系转化为关于参数的一元函数问题

此类问题的解题思路:f(x)的双极值点x1、x2是f′(x)的双零点,利用韦达定理,把含参数a的双变量问题转化为关于参数a的一元函数问题,利用新函数的单调性、最(极)值解决问题．

例1已知函数f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R),若函数f(x)在区间(0,+∞)存在两个不同的极值点x1、x2,且f(x1)+f(x2)<5+ln 2,则实数a的取值范围是______.

二、以参数为桥梁，将二元问题转化为关于x1或x2的一元函数问题

此类问题的解题思路:抓住双极值点x1、x2是f′(x)的双零点这一本质,以参数a为中间变量,将二元问题转化为关于x1或x2的一元函数问题,以方便问题解决．

例2已知函数

f(x)=x2+2ax+2lnx(a∈R).

(1)若f(x)是单调函数,求a的取值范围;

三、双极值点x1、x2不存在等量关系时,利用消参转化为形式,再换元化为一元函数问题

(1)若f(x)在x=0处的切线方程为y=x-1,求实数a、b的值;

(2)若f(x)在x=x1和x=x2两处取得极值,求实数a的取值范围;

解(1)略．

(2)0

(3)f′(x)=aex-x.由题意，aex1-x1=0,aex2-x2=0,且0

通过以上分析发现,降元思想是解决双极值点含参恒成立问题的主要方法.解题的核心是:把多变量的函数问题转化为单变量的函数问题．但具体转化为关于哪个变量的函数,要根据题目特征做出模型识别,灵活运用降元思想,将问题转化为熟悉的一元函数问题,研究其单调性、极(最)值即可．双极值点问题的处理方法很多,本文仅从降元思想这一角度进行探讨,为多元化的含参恒成立解题教学提供一个思路.