错 中 悟 道——一道不等式例题的教学感悟

江中伟

(广东省梅州市虎山中学，514299)

一、问题提出

这是笔者近期高一随堂听课时一位年轻教师所采用的一道例题. 在学生思考片刻后,教师让学生A在黑板上书写他的如下解答过程.

最后教师强调:若多次利用基本不等式求最值时,必须保证每一次取得等号的条件要一致,否则就会出错.

教师点到为止, 然后进行第二题的讲评.笔者认为此时教师应该趁热打铁,引导学生进行一题多解和多题一解的探究,培养学生的数学核心素养.

二、解法探究

为方便表述，把刚才上面的正解解法记为解法1.教师可以引导学生观察题设中的x和y的关系,y可以看作是x的函数,从而得到：

教师引导学生联想初中学过的因式分解公式ab+a+b+1=(a+1)(b+1),从而得到：

教师继续引导学生:能否引进一个参数t,消去变量x,代入题设条件，得到一个含有参数t关于变量y的一元二次方程,从而得到：

解法4由已知得xy-9x-4y=0.令x+3y=t,得x=t-3y,代入上式得到方程

3y2-(t+23)y+9t=0

这样,教师引导学生从不同角度、多种方法解答问题,既帮助学生巩固了以前学过的知识和方法,又提高了学生的解题能力，培养了学生的数学核心素养. 另外，为了方便学生掌握这些解题方法,教师可以给解法1命名为“1”的妙用,解法2命名为“函数法”, 解法3命名为“整体处理法”,方法4命名为“判别式法”. 如模型:设实数x,y满足方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,求mx+ny的最值(其中a,c>0,b,d,e,f,m,n∈R). 此类题型的通法是:可令mx+ny=k,与方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0联立, 消去变量y(或x)后,得到关于变量x(或y)的一元二次方程,利用一元二次方程有实根的必要条件(判别式大于或等于零). 这样, 对于具体的问题，学生就能快速合理地选用恰当的方法.

三、触类旁通

教师还可以趁热打铁出示下列几组练习题,以检验学生学习的效果(括号内为答案).

7.(2010年高考重庆卷理科第7题)已知x>0,y>0,且x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值为(B)

核心素养是高中教育教学的灵魂,尤其是高中数学学科更是培养学生核心素养的重要阵地. 因此，在高中数学课堂教学中，应充分体现学生的主体参与过程,不能是教师的一言堂.因为“告诉我,我会忘记;分析给我,我可能记住;如果让我参与,我会真正理解” .通过一题多解和多题一解的训练,激发了学生的探究兴趣和参与意识,使得学生有了创新的冲动,化被动为主动参与、积极探究.