由等级水平说起——例谈培养数学运算能力的教学方法和策略

葛云云

(江苏省姜堰中学，225500)

数学运算是数学学科的核心素养之一,它是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括:理解运算法则,探究运算思路,选择运算方法设计运算程序,求得运算结果等．

新版课标具体提出了数学运算形成的三个水平,如下表1所示.

表1 数学运算的三个等级水平

水平数学运算 水平1能够在熟悉的数学情境中了解数学运算对象,提出运算问题.能够了解数学运算法则及其适用范围,正确进行运算;能够在熟悉的数学情境中,根据问题的特征形成合适的运算思路,解决问题.在运算过程中,能够体会运算法则的意义和作用,能够运用运算验证简单的数学结论.在交流的过程中.能够用运算的结果说明问题. 水平2能够在关联的数学情境中确定数学运算对象,提出运算问题.能够针对运算问题,合理选择运算方法、设计运算程序,解决问题.能理解运算是一种演绎推理;能够在综合运用运算方法解决问题的过程中,体会程序思想的意义和作用.在交流的过程中.能够借助运算探讨问题. 水平3在综合的情境中,能够把问题转化为运算问题,确定运算对象和运算法则,明确运算方向.能够对运算问题,构造运算程序,解决问题.能够用程序性思想解决与表达问题,理解程序思想与计算机解决问题的联系.在交流的过程中.能够用程序性思想理解和解决问题.

上述三个等级水平循序渐进,能力要求逐步提升.基于此，数学教师在教学过程中,有以下两个问题是需要引起关注.

问题1等级水平最优化问题:不同学生对同一个数学问题所形成的数学运算等级水平势必不一样,那么对数学运算的培养,该如何开展教学才能让学生个体达到其最高的等级水平?

问题2等级水平评估问题:学生通过学习,所形成的数学运算所处的等级水平,该如何得到有效的确认和评价?

面对上述问题,结合自身的高中数学教学实践,在数学学科核心素养视野下,本文从以下方面对数学运算能力的培养进行探讨.

一、理解算法、算理

理解算法,算理包括两层含义：(1)能透彻理解数学概念,并能运用有关概念进行运算；(2)能记忆和运用公式、法则进行变形,运算．对苏教版《普通高中新课程标准实验教科书·数学》必修1-5,选修2-1,2-2,2-3模块中的数学概念、公式、定理、运算性质、运算法则、运算律进行统计,结果如表2:

表2

由表2可知，概念教学的任务繁重,通常可采取以下在概念教学中策略.

1.从对比教学中,区分概念的含义

概念、公式教学中,有时很多概念、公式非常相似,容易混淆,可通过列表、图示进行对比,还可通过新旧对比,正误对比,相似对比等．帮助学生区别模糊认识,理解清晰．比如对于等差数列的定义,可以在习题课上给出如下两道题:

(1)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,求an；

2.从变式教学中,领悟公式的要点

应用基本不等式求最值是高考热点,但学生应用时错误层出不穷．可以通过变式教学帮助学生掌握．

说明此变式主要让学生体验应用基本不等式求最值时，首先要关注的也是最重要的一点，是函数中的变量必须为正数．

说明此变式主要让学生关注应用基本不等式求最值时的第二个关键点,即乘积是否为定值.

说明此变式主要让学生关注应用基本不等式求最值时最致命的要点,这一点最容易遗漏,也就是检验等号是否取到．

通过这三道变式题,学生会对应用基本不等式求最值有系统的认识,教师还可以让学生最后总结注意点,提高运算的正确性．在公式教学时,为了深入记忆和理解公式,我们可以通过公式的正用,逆用,变用进行变式教学．

3.从知识的生长点中,经历知识的发生、发展、形成过程

教学中发现运算出错的很大原因是学生概念模糊,公式混淆．在教学时，教师应创设有效的情景,讲清每个概念,公式的生长点,让学生经历知识的发生、发展、形成过程,这样学生才能全面理解概念、公式．

二、掌握数学思想方法

古人云:“授人以鱼,不如授之以渔．”因此，在数学教学中，应充分重视数学思想方法的培养.所谓“数学思想”是对数学知识的本质认识,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想．高中数学中的主要思想方法有:化归与转化思想、函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想等等．所谓“数学方法”是在数学思想指导下,为数学思维活动提供具体的实施手段,是数学地提出问题、解决问题过程中所采用的各种具体方式、手段、途径等．基本数学方法主要有:数学归纳法、配方法、待定系数法、消元法、换元法、参数法、反证法、解析法等等．还有一些技巧性较强的方法,比如,因式分解中的拆项法、立体几何中的割补法等等．数学思想方法对提高数学运算的优越性,教学时可以用对比手法引起学生的注意．

例如，化归与转化思想.所谓化归,就是把比较困难的复杂的问题,通过某种转化过程,归类到比较容易解决的简单的问题中去,以此获得原问题的解决的一种思想方法．运用化归方法,关键是学会两点:一是学会“转化”；二是在头脑中必需贮藏大量的基本问题的模式、类型．

说明在3a=5b=c中，a,b都在指数位置,运算困难,采用把指数由“高”降“低”的方法,使得出现同底对数运算,顺利得到c的值．这种指数对数互化的方法是指数对数运算中要求学生熟练掌握的．

三、掌握常用运算技巧

除了掌握通解通法和数学思想方法,还必须注意掌握运算小细节,小技巧．所以技巧是数学知识中非常有用的部分,教学应该让学生有意识地收集,积累经验,以提高运算的简捷性．

比如混合运算时,不能见积就乘,见幂就乘方,见商就除,见根式就开方,尽量保留积、幂、商、根的形式,以便提取公因式、通分、约分等简化运算的变换．运算技巧有时还体现在巧设变量上,有时设取一个变量比设另一个变量代入运算要简捷得多．通常三角运算技巧性比较强,公式正用、逆用、变用,教学时应精心设计题目,训练运算技能．

解题过程略.

平时解题时，很多学生看到等式就化简,思维比较呆板导致运算量大．如果我们具备较强的观察能力,透过现象看本质,充分运用运算技巧,就可得到简捷的运算方法．心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的初级形式,而观察则是知觉的高级状态,所以我们应培养学生细致透彻的观察能力．

四、加强推理训练

明确运算程序,构造运算对象,是运算的最高等级水平,它需要培养思维的灵活性．思维的敏捷程度主要体现在思维的多向性、连动性和跨越性上．在教学中，我们可以通过一题多解训练，培养学生多向性思维,还可通过一题多变，培养学生的跨越性思维．我们可以在复习课上多让学生系统地把知识与知识、知识与方法、方法与方法进行对比、类比和归纳,引导学生从不同的角度,各个方面把握问题的关键,加强推理训练．

在高三教学中,加强推理训练,每一步怎么想到的,用了什么知识？什么方法？都要做到步步有根据.例题讲解可以一题多解,一法多用,一题多变,积极构造运算程序,提高运算能力．