基于数学核心素养培养的概念教学研究*

赵天玺

(安徽省界首第一中学，236500)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准(2017)》)明确提出了培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大数学核心素养的目标[1].基于此，笔者结合具体案例,就概念教学中如何培养学生数学核心素养给出一些思考,以期抛砖引玉.

一、“从数学角度发现和提出问题”，引入概念

在概念教学中,概念的引入是“排头兵”,是概念课教学不可缺少的重要一环.教师在引入时，要重视学生的认知需求和困惑,从学生的认知角度出发,设计合适的情境和问题,引导学生用数学的眼光观察现象、发现和提出问题.

案例1函数概念的引入

阅读北师大版《数学(必修1)》[2]第二章第一节“生活中的变量关系”教材练习3:“在一定量的水中加入蔗糖,在未达到饱和之前,糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系?如果是函数关系,指出自变量和因变量”.

师:注意到“在未达到饱和之前”这个条件,你能提出新的数学问题吗?

生:问题(1):在达到饱和后,糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间是函数关系吗?

问题(2):在达到饱和前与饱和后的整个过程中,糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间是函数关系吗?

师:很好的问题!问题(1)、(2)该怎么解答?

生:都不是,因为(1)中饱和后糖水的质量浓度是常量,不是变量.(2)中饱和前与饱和后有两个变化过程

师:事实上,问题(1)、(2)中糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间是函数关系，要想明白它们之间为什么是函数关系,我们需要进一步学习函数概念.

评注概念教学要注重揭示概念学习的必要性.函数的概念在初中学生已经学过,高中为什么又要学习,这是学生最大的困惑.初中函数“变量说”定义:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x的值,相应地就能确定一个y值,那么我们称y是x的函数.按初中教材的说法,数值发生变化的量叫变量,数值始终不变的量叫常量.另外“一个变化过程”含义也不够准确、严谨,这说明初中函数的概念有待进一步发展.

二、站在学会“数学抽象”的高度建构概念

概念建立的过程主要是“抽象”活动,在这一过程中,学生对典型、丰富的具体事例进行观察、比较、归纳,抽象出一般规律和结构,即共同且本质的数学特征,并用数学语言(文字、图形、符号)予以表征.教师要力争让学生在概念建立过程中学会“数学抽象”.

案例2函数单调性概念的建立

思考并完成下列问题:

问题1观察函数f(x)=x+1图象(图1)和函数g(x)=x2的图象(图2),从左到右它们是怎样变化的?

问题2怎样从自变量和函数值变化的角度刻画图象的变化?

问题3怎样用数学符号语言表达函数f(x)在R上和函数g(x)在区间[0,+∞)上随着自变量x的增大,对应函数值也跟着增大?

问题4请用数学符号语言给出单调递增(递减)定义?

评注学生在问题解决中体验了概念从图形语言“上升、下降”到自然语言“增大、减少”,再到数学符号语言“单调性”的定义过程,经历从具体的直观描述到形式化的符号表达的抽象过程,学生的数学抽象素养得到了培养和提升.

三、运用“逻辑推理”理解概念

概念的理解包括探究概念变式和重建概念系统.概念变式包括图形变式、式子变式、符号表示、等价说法及反面实例.因为数学概念是一类事物的共同本质属性,因此通过变式思维有利于学生掌握概念的本质.重建概念系统过程就是新概念同原有认知结构相互作用而形成新的认知结构的过程.

案例3函数单调性概念的理解

评注这是一个演绎推理的过程,学生的逻辑推理素养得到培养和提升.

案例4数列和等比数列概念的理解

按一定次序排列的一列数a1,a2,a3,…,an,…，称为数列,简记为数列{an}.记号{an}并不能深刻反映数列的本质和内涵.实际上,数列{an}每一项的序号与该项有唯一对应关系,因此数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数.在等比数列的概念教学过程中,可以类比等差数列的概念和性质来理解等比数列,从而更加快速有效地理解等比数列的概念和性质.

评注数列是特殊的函数,数列和函数是特殊和一般的关系.把数列这个概念纳入到函数的概念知识体系中去，通过类比等差数列的概念和性质来理解等比数列，这是一个类比推理的过程,学生的逻辑推理素养得到培养和提升.

四、在概念应用中发展理性思维,全面提升数学核心素养

理性思维和科学精神是数学学科核心素养的灵魂,数学教学聚焦点应放在理性思维和科学精神发展上[3].概念是理性思维的基本形式,概念应用要让学生养成“不断回到概念中去,从基本概念出发思考问题、解决问题”的习惯,注重发展学生的理性思维、科学精神.

案例5“导数及其应用”教学片断

题目求过(1，0)点与曲线y=x3相切的直线方程.

师:方程y=0为什么要舍去?

生:因为直线y=0(x轴)，在原点处穿过了曲线y=x3.切线与曲线只有唯一公共点,且曲线在切线的同侧,如直线与圆相切.

师:我们判断直线y=0是否为切线不是靠经验感觉,而是要按照概念严格地来验证.

教师利用几何画板作函数y=x3图象,在曲线y=x3上取一动点Pn,作过原点O和Pn的割线OPn.当Pn沿着曲线趋近于点O时,割线OPn的趋近于x轴.当Pn和点O重合时,割线OPn与x轴重合.

生:按照切线定义，x轴的确是y=x3在原点处的切线.

师:对的.曲线的切线与曲线是否只有唯一公共点?

生:是的,有两个公共点就不是相切而是相交了.

师:我们仍用几何画板来验证,如图3可以看到切线27x-4y-27=0和曲线除了切点外还有一个交点A(-3,-27).

生:(惊诧不已)曲线的切线和曲线真的可以不止一个公共点!

评注经历利用几何画板来验证直线y=0为曲线切线的亲身体验,学生认识到严格按数学概念来判断和思考问题的重要性.通过学生对图3的观察,学生纠正了“切线与曲线只有唯一公共点”这个错误认识,发展了敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神[4].

案例6椭圆概念的应用

(A){Sn}为递减数列

(B){Sn}为递增数列

(C){S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

(D){S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

分析若构造函数求解,运算量极大,很多学生只能望而却步,或中途退却.

解析(师生共同)在数轴上把∆AnBnCn各边长度对应的点表示如图4:

评注学生先通过直观图形数轴和数学运算得到cn+bn=2a1为定值这个结论,然后利用椭圆概念建立椭圆模型,接着通过数学运算推得|bn-cn|在逐渐减少,最后利用∆AnBnCn的图形直观地解释{Sn}为递增数列.

五、把“认识数学对象的基本套路”落实在核心概念主题教学中

《标准(2017)》倡导主题(单元)教学,以核心概念为主题的教学是一个很好的做法,教师要努力把“认识数学对象的基本套路”落实在核心概念主题教学中.

案例7函数主题教学

“函数”是高中数学中一个极其重要的核心概念,它的思想方法贯穿了高中数学课程的始终.回顾“函数”主题的学习,我们是按照“实际背景——函数的定义、表示——图象和性质——应用——基本初等函数(函数的特例)”展开的.推而广之,从研究数学对象的一般套路出发,认识一个数学对象，可以从“背景——定义、表示——划分(以要素为标准)——性质(要素、相关要素的相互关系)——特例(性质和判定)——联系(应用)”[5]展开研究.在认识数学对象的一般规律指导下,当面对一个新对象时,学生也能够发现和提出数学问题，形成研究思路，找到研究方法,最终成为有较高数学素养的人才.

章建跃博士指出，“教好数学就是落实数学学科核心素养”[3].数学教学的核心是概念教学,做好数学概念教学是落实数学核心素养的关键所在.广大数学教师应积极引领学生在概念的学习中掌握“四基”,发展“四能”,培养和提升学生的数学核心素养.