提高学生代数解题能力的两点思考

龙正武 秦玉波

(1. 人民教育出版社课程教材研究所 100081；2.山东省日照市教育科学研究中心 276826)

与2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称“实验版课标”)相比，《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“课标”)显著加强了高中学生的代数培养要求．例如，课标给出的高中数学课程内容包含函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，代数的地位有所突出；课标在必修内容中，设置了“预备知识”主题，明确了“以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡”[1]的要求，这在本质上也是要求学生提高运用代数知识解题的能力．

课标的这些要求，是对近些年来一线教学需求的反映．事实上，实验版课标实施以来，有关访谈表明：“初中不讲，高中不会”的现象，突出表现在代数运算公式和方法等内容．绝大多数教师同意增补初高中衔接内容，需要增补的内容按频次由高到低的前七项依次是：因式分解、韦达定理、二次函数、十字相乘、二次不等式、乘法公式、配方法．[2]这些多与代数相关.

另一方面，近些年的高考中，也特别注重学生代数解题能力的考察．例如，2019年高考数学中，全国II卷的文理科第4题，借助有关的物理背景给出了等式

笔者们曾经多次在教师教材培训现场和教研现场与相关教师讨论如何加强高中学生的代数解题能力，大家给出的答案往往局限于让学生多做题、多训练．实际上，考虑到代数处理的主要对象是数学符号，因此提升代数解题能力首先要做的是发展学生的数学抽象素养，这可以通过培养学生的数学阅读能力来实现[3]．除此以外，我们认为，还可以紧贴课标要求，通过采取如下具体措施，从基础知识着手，逐步提升高中学生的代数解题能力．

1 提倡代数知识与其他知识的结合，提升代数思维能力

例如，在讲解全称量词时可以指出，初中阶段学过的公式a2-b2=(a-b)(a+b)等，本质上是一个全称量词命题，只不过省略了“任意给定实数a，b”即“∀a,b∈R”．对于公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)，也可以用类似的方式进行呈现．通过这种方式，就能让学生借助新学到的内容不知不觉地夯实代数恒等式等基础知识．

还可以鼓励学生运用代数运算寻找不同的解题思路，让学生养成计算之前先观察和思考的习惯，帮助学生达到高考有关数学运算能力的“能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径”[4]要求．例如，2013年高考数学安徽卷文科第17题如下：

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：

(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

2014年全国数学高考全国课标卷第21题第二问，给出了函数f(x)=ex-e-x-2x，g(x)=f(2x)-4bf(x)，以及x>0时g(x)>0的条件，要考生求b的最大值．在解答过程中，考生在得出g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]的基础上，必须注意到上式的右边，如果将ex+e-x看成一个整体就可以看成一元二次的形式，从而可以用十字相乘法分解因式，即得到g′(x)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2)．

考生如果注意不到这一点，解题难度就大大增加了．

以上两个例子，从表面上看起来是考察函数导数和数列的有关知识，但是毫无疑问，如果学生看不出来题目中隐藏的二次形式，有关代数基础并不牢固的话，是不太可能顺利得出相关答案的，而很多高考题其实都具有这个特征．高中学生代数能力的培养，是一个长期的过程，一线的教学中，要处处注意鼓励学生运用代数知识解题，提高学生的代数解题能力．

2 以不等式为载体训练多种能力

课标将不等式的有关内容放在了必修部分的“预备知识”主题中，所以在高中开始阶段，就可以结合简单的绝对值不等式、一元二次不等式等的教学，锻炼学生的分类讨论、配方、数形结合等能力，并在后续教学内容中不断强化训练.

一线的实际教学过程中，上述绝对值不等式、一元二次不等式求解等知识往往讲得非常快，有些教师会将其中涉及的分类讨论、数形结合等知识留到函数导数等内容时再进行讲解和训练．但我们认为，从高中一年级开始就有意识地培养学生多种能力，更加符合学生的认知规律，效果也更好．有了持续的训练过程，学生需要使用这些方法解决复杂的问题时，才更有可能从容面对．

总而言之，课标突出了对高中学生代数解题能力的要求，该能力的提升应注意培养学生的观察能力，帮助学生加强各数学知识之间的联系，发展学生的数学抽象、数学运算、直观想象等数学学科核心素养，并从高一年级开始将代数能力的培养贯穿于整个高中阶段．顺带提及的是，根据课标编写并通过国家教材委员会专家委员会审核的《普通高中教科书 数学(B版) 必修 第一册》[6]，是按照上述思路呈现有关代数基础知识的，感兴趣的一线教师可以进一步参考．