核心素养下提升高中生运算能力的几个策略

■河南省长葛市第一高级中学

运算能力是当下高中生的六大核心素养之一,运算是一种演绎推理,运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。在综合情景中,能够把试题转化为运算问题,确定运算对象和运算法则,明确运算方向,构造运算程序,解决问题。运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短,运算步骤少,运算时间短,同时也体现在概念的灵活运用,公式的恰当选择,数学思想方法的合理使用。

一、整体思想

整体思想就是从问题的整体出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,进行有目的、有意识地整体处理。

例1已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinB=。

解析：先观察代数式结构特点,然后利用对偶式解题。

因为sinB=,所以(sinB)2=3(sinA)2。

故(cosB)2=1-(sinB)2=1-3(sinA)2。

当且仅当B-A=时,原式取得最大值。

点评：利用整体思想,观察代数式的整体结构,发现对偶式特征,从而简洁明快地得到结果。

二、转化与化归思想

例2如图1,已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为,点M(0,)在椭圆C上,焦点为F1,F2,圆O的直径为F1F2。

(1)求椭圆C及圆O的标准方程。

(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P,且直线l与椭圆C交于A,B两点。记△OAB的面积为S,证明：S＜。

解析：(1)由题意知,椭圆C的方程为=1(a＞b＞0)。

所以椭圆C的方程为=1。

因为焦点在x轴上,所以椭圆C的焦点为。

所以以F1F2为直径的圆O的方程为x2+y2=6。

(2)由题意知,直线l与圆O相切于第一象限内的点P,设直线l的斜截式为y=kx+m(k＜0,m＞0)。

因为直线l与圆O相切,所以点O到直线l的距离为,即m2=6k2+6。

直线l与椭圆C相交于A,B两点,由整理得：

设A(x1,y1),B(x2,y2),则：

故Δ=(8km)2-4×(1+4k2)(4m2-8)=16×(8k2-m2+2)。

又m2=6k2+6,故Δ=32(k2-2)＞0,k2＞2。

因为k＜0,所以k＜。

设1+4k2=t,则t＞9。

令u=,则0＜u＜。

则S△OAB=。

设h(u)=-27u2-6u+1=。

因h(u)在上单调递减,故h(u)＜1。

因此,S△OAB＜。

点评：圆锥曲线中求三角形面积最大值时,往往要首先用函数表示出面积,然后转化为求函数的最值问题。

例3已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与抛物线C的交点为A,B,与x轴的交点为P。

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

解析：设直线l：y=+t,A(x1,y1),B(x2,y2)。

设AB的中点M(x3,y3),由得到点P为线段BM的中点,故y3+y2=0。

则x1+x2=。

则x3=。

因为y3=+t=1,所以y2=-y3=-1,x2=,x1=3,y1=3。

故|AB|=。

三、设而不求思想

在点参数型的直线与圆锥曲线相交问题中,交点的横、纵坐标与中点坐标有约束关系,所以交点的横、纵坐标可以用其他坐标表示,通过整体约分达到简化运算。圆锥曲线很多问题都遵循“设—列—解”的程序化运算,突出了解析几何的设而不求特点。

例4(选修2-1课本第62页)已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?

解析：设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),点P是线段AB的中点。

AB直线方程为y=2x-1,代入x2-=1得到2x2-4x+3=0。

则Δ=(-4)2-4×2×3=-8＜0,故不存在AB直线,使得点P为AB的中点。

点评：解决本题的关键是求斜率,若直接设斜率,首先要分类讨论斜率存在与不存在两种情况,然后与曲线方程联立方程,根据韦达定理求解,因而运算量较大,可通过设而不求、边化简边运算、数形结合等方法简化运算。最后一定要检验直线是否存在,这一点同学们最易忽略。