一次函数的常见问题分析

2020-04-24奉徽德

求知导刊 2020年5期

摘要：一次函数是初中数学教学的重点内容，也是学生今后进一步学习其他函数的基础。近年来，一次函数的定义、性质、图象以及和现实生活相结合的一次函数应用问题一直是中考的热点。文章主要对学生解答一次函数问题时常见问题予以剖析，希望对学生的学习有所帮助。

关键词：一次函数;常见问题;数形结合思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2020）05-0062-02

引言

数学对于我们日常生活以及科学研究的影响不言而喻，衣食住行都与数学息息相关。数学是一门抽象化、复杂化、逻辑性非常强的学科，在進行数学教学时，教师通常会结合实际利用多种数学思想方法来简化和具体化教学内容。

一、分类讨论思想的应用

分类讨论思想应用在数学领域是指在解决数学问题时，涉及的研究对象比较多，不能统一研究，所以需要结合实际，将研究对象以某种标准进行区分，然后分别独自进行探究，最后得出整体结论的解题思想。在解决数学问题时，一般分作以下几步进行：①明确分类对象;②明确分类标准;③逐步分类，分别得到阶段性的结果;④用最初的标准检验筛选结果;⑤归纳得出结论。与此同时，运用分类讨论的思想也要遵循一定的原则，即按照统一标准进行划分，不重不漏，按照等级先后顺序进行。

例1：已知直线y=kx+b，经过点P（1，0）且与y轴交点为Q，若直线与坐标轴所围成的三角形面积为2，求这条直线的函数表达式。

学生常见的解题方法如下：已知三角形面积表达式为面积=1/2×底×高，而直线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，因此三角形的底和高就分别是直线与坐标轴交点到原点的距离，其中OP=1，—×1×OQ=2，因此，OQ=4，Q点坐标为（0，4），再将P、Q两点坐标代入y=kx+b中，可得k=-4，b=4，所以，这条直线的函数表达式为y=-4x+4。

虽然解题思路正确，但是学生在得出Q点坐标时，思考并不全面。OQ代表的是三角形的底或高，是一条线段，因此OQ一定大于零，意味着Q点到原点之间的距离为4，而Q点极有可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上。学生凭借OQ=4>0，就判断Q点坐标为（0，4）是片面的，Q点坐标还可能为（0，-4），因此在后续解答时，要进行分类讨论。当Q点坐标为（0，4）时，将P、Q两点坐标代入y=kx+b中，可得k=-4，b=4，此时这条直线的函数表达式为y=-4x+4。当Q点坐标为（0，-4）时，将P、Q两点坐标代入y=kx+b中，可得k=4，b=4，此时这条直线的函数表达式为y=4x+4。

例2：已知一次函数y=（n-1）x+n+1的图象不经过第三象限，求m的取值范围。

笔者整理了一下，学生常见的解题方法如下。已知一次函数y=（n-1）x+n+1的图象经过第三象限，那么其函数图象会经过第一、二、四象限，而当一次函数ykx+b的图象经过第一、二、四象限时，k<0，b>0。因此n-1<0，n+1>0，联合解得-1

同样，学生在判断一次函数图象经过的象限时，缺乏考虑，因此图象不经过某个象限，并不表示其一定会经过其他三个象限，还可能会经过其他两个象限。即上题应考虑图象只经过第二、四象限的情况，此时b=0，即n+1=0，n=-1。

二、具有现实意义的一次函数问题

在利用函数性质解决实际问题时，常常忽视题目中函数所代表的实际意义，从而导致解题错误。

例3：已知某客车在离开车站5km后，以30km/h的速度匀速行驶，求客车离开车站后的距离L与其行驶时间t之间的函数关系式，并画出其图象。

学生常见的解题方法如下：设L=kt+b，由题意可知当t=0时，L=5，当t=1时，L=5+30=35，因此将两组数据分别代入L=kt+b中，可得L=30t+5，并画出函数图象为一条经过第一、二、三象限的直线。虽然这道题目比较简单，但是学生亦很容易出现解题错误。首先一次函数y=kx+b的图象是一条直线的前提条件是自变量x的取值范围是全体实数，而进一次函数与实际问题结合在一起时，其取值范围往往不是全体实数，以此题为例，自变量x的取值范围是x≥0，因此函数表达式为L=30t+5（t≥0），其函数图象不经过第三象限。

例4：小刚在探究弹簧长度与外力的变化规律时，得到一组数据，见下表。

假设砝码质量为x，弹簧总长度为y，根据表中所提供的数据信息，写出函数表达式，并指出其函数图象经过第几象限。

这道题目的表述简单，已知两函数图象上两点坐标，求函数的表达式，学生通常会做出如下解答。设y=kx+b，将x=0，y=5和x=550，y=14代入其中，求得y=—x+5，由k>0，b>0，因此函数图象经过第一、二、三象限。殊不知，这种解题方式是错误的，学生忽视了弹簧的现实意义，当弹簧被拉伸到一定长度，即外力超过弹性限度时，弹簧不会再因外力变化而伸长，因此后两组数据并不能作为函数表达式中的已知量，而且无论是砝码的质量还是弹簧总长度都是一直大于零，因此，其函数图象只会在第一象限。正解为：设y=kx+b，将x=0，y=5和x=350，y=14，代入一次函数表达式中，可得y=—x +5，图象经过第一象限。

三、数形结合思想的应用

著名数学家华罗庚曾说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，割裂分家万事非;切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。”数与形分别体现了事物的两种不同方向的属性，但是在一定条件下，数形之间可以有机结合在一起，甚至相互转化，这种思维的方式就是数形结合的思想。

例5：已知一次函数y=kx+b，和坐标图象上三点A（5，y1）、B（10，y2）、C（-4，y3），其中30，b<0知，该一次函数图象经过第一、三、四象限，得出y3

结语

分类讨论具有较强的逻辑思维性质，是一种学生在数学学习中经常要用到的常规解题思路，学生利用分类讨论思想解决一次函数问题可以使学生解题思路更加清晰且具有条理性和全面性。

学生在解决与现实生活相结合的一次函数问题时，要注意考虑函数的现实意义。

利用数形结合思想解决一次函数问题有利于学生理解复杂和抽象的数学题目，简化解题过程。

一次函数是初中代数的重要组成部分，也是解决生活实际问题的重要模型，教师在教学中要善于帮助学生梳理总结，以便学生掌握解题技巧与方法。

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