正交试验设计中正交表的特点及正交的意义浅析

于慧春，殷 勇，李 欣，袁云霞，吴 昊

（河南科技大学食品与生物工程学院，河南洛阳 471023）

0 引言

在科学研究中，针对某个具体的指标，其影响因素往往有多个，考查多个因素及其交互作用对指标的影响，属于多因素试验。在多因素试验中，找出各因素的最优水平组合，最直接且易于理解的做法就是对所有因素水平的组合都进行试验，根据试验指标值来确定各因素的最优水平组合[1-2]。这样做的最大问题就是当因素数较多时，试验次数以因素数为指数增长，随着因素数的正交增多，试验次数迅速增长，导致试验灾难，让人难以接受，甚至难以完成。因此，只能减少试验次数，从全部的试验中选择部分试验来实施。那么关键的问题就是如何选择部分试验，使其既能大大减少试验次数，又能代表全面试验的结果。从全部试验中“科学”地选择“部分试验”的过程，即“试验设计”。常用的多因素试验设计方法有正交设计法、参数设计法、回归设计法、均匀设计法、混料设计法。

正交试验设计在科学试验中应用非常广泛。因此，结合自己对正交试验设计方法的理解，对正交试验设计的特点和“正交性”的理解作一简单的介绍。

1 正交试验设计方法

正交试验设计（Orthogonal Experimental Design）是一种主要的分式析因设计方法，是寻求因素水平的较优组合的一种简单、高效、快速的试验设计方法[3]。在正交试验设计中，各因素的水平根据先验知识进行确定，如此全部因素水平的组合，即在因素空间所有试验点的分布是确定的，正交试验设计即从所有试验点中根据“正交性”选择部分有代表性试验点来实施试验，选出的这部分试验点，构成一张表，即“正交表”。

正交试验设计方法就是利用已经造好了的“正交表”中各试验点的因素水平搭配方案来安排试验并进行数据分析即可。因此，相对来说是最简单、最易于理解和掌握的一种试验设计方法。

2 正交表的特点

正交表具有均衡搭配、综合可比的特点，这一特点决定其正交性，具有重要的意义。

（1）均衡搭配。任一因素的任一水平与其他因素的每一水平搭配的次数均相等。

（2）综合可比。任一因素的各水平出现的次数相等[3-4]。

关于正交表的特点比较容易理解，以一个最简单的三因素二水平的L4（23）正交表为例来说明。

L4（23）正交表见表1。

表1 L4（23）正交表

由表1可知，各个因素的水平均出现2次，各个因素的水平与任一因素的水平均搭配1次。因此，所选的试验点是均衡搭配、综合可比的。

也可以用图来表示，以三因素三水平的试验设计为例。

三因素三水平正交试验设计试验点的分布见图1。

图1 三因素三水平正交试验设计试验点的分布

由图1可知，对应于因素A有A1，A2，A3共3个平面，同样对应于因素B和C也各有3个平面B1，B2，B3和 C1，C2，C3，一个面代表一个因素水平，9个因素水平，所以共9个平面。图中所有交点即全面试验的所有试验点，被选出构成正交表的试验点用⊙表示。选取试验点时，要求每个因素的每个水平都要同等看待。

由图1可知，①这9个平面中，每个面上的试验点一样多，即对各因素水平的选择次数一样多，每一个因素每一个水平出现次数均等。这体现了对各因素水平的同等看待，即综合可比的特点。②每个平面上都有3行、3列，每行、每列上的点一样多，每个平面的每行每列都有一个点，而且只有一个点，因而每个平面上都恰好有3个点。这体现了所选试验点分布的均匀性，即均衡搭配的特点。总共选用9个试验点代表全面试验，试验次数大大降低。

3 正交表的正交性

正交表的正交性相对来说，比较难以理解，首先解释根据正交性来选试验点的意义，然后再来证明正交表的正交性。

正交的意义：线性代数中，“正交”是“垂直”这一概念的推广，“正交”意味着2个向量相互独立，不相关，即两个向量的内积为0，如定义2个向量的夹角，则“正交”可直观理解为两向量“垂直”。从“正交”的基本概念可知，向量“正交”的实际意义是：向量各自包含的信息没有重叠，不相交。由此，可以这样来理解，整个因素空间的全部信息，分布在所有试验点，每个试验点都包含一部分信息，且各个试验点所包含的信息存在交叉和重叠。因此，正交试验设计方法的实质就是找出那些信息不重叠、不相关的试验点，这些有代表性的试验点即代表了因素空间的全部信息，又避免了信息重叠，这样就能用部分的试验次数来代表试验的全部信息。所以，“正交表”中的试验点就是从因素空间全部试验点组合所选出的有代表性的试验点，由他们所组成的试验表，具有正交性，因此称为“正交表”。

正交表的正交性如何体现：强调正交表的正交性的意义，那么如何体现出其正交性？弄明白这一点，对真正理解正交试验设计方法的实质有重要的帮助作用。

正交表中每一个因素都可看作是一个向量，其各水平可以看作向量的元素（正交表中的列）[5]。正交表中各个字母，仅仅代表因素的不同水平，没有实际的数学意义，所以可以用其他任何字符来代替，为了较直接地证明其正交性，用不同的数字或字母来替换。如2水平的正交表，可以用a和-a来分别代表其2个水平，三水平的正交表可以用a，-a和0来分别代表其3个水平，以此类推，四水平时，分别用a，-a，b，-b来分别代表其4个水平，五水平分别用a，-a，b，-b和0来分别代表其5个水平等进行这样的替换后，正交表中任意两列的乘积的和为0，即正交表中每一列当作一个向量，任意两列的内积为0，以一个3水平正交表L9（34）为例（见表2），表中的3个水平分别用a，-a和0来表示。

替代后的三水平正交表见表2。

表2 替代后的三水平正交表

由表2可知，对各水平的表示方法进行替代，替代后任意两列内积为0，换其他任何水平的正交表，均是如此。之所以有这样的结果，正是因为在选试验点时，所依据的均衡搭配、综合可比的思想。依据这一思想在因素空间来选择试验点，保证了正交表的“正交性”，这是实现用较少的试验来代替全面试验的理论基础。

4 结语

依据正交性从全面试验中选出有代表性的试验点构成正交表，具有均衡搭配、综合可比的特点；反之，正交表的均衡搭配、综合可比的特点，也保证了正交表的正交性。正交表的正交性保证了所选出各个试验点信息的不重叠，是实现用较少的试验代替全面试验的理论基础。