数学转化思想在解一元二次方程的分析
2020-04-21蔡普州
蔡普州
摘 要:想让学生们以较快的速度学会解一元二次方程,就需要让学生们熟练掌握数学转化思想,让学生们学会将新问题转化成老问题。学生们在学习解一元二次方程的过程中,最重要的一部分转化就是“降次”。如果学生们能够成功地掌握“降次”方法,把一元二次方程化为一元一次方程,那么就已经完成了解一元二次方程的关键步骤,问题也就迎刃而解了。
关键词:数学转化思想 一元二次方程 降次
转化思想是初中数学中常见的一种数学思想,它的应用十分广泛。我们在解决数学问题时,常需运用它将复杂的问题转化为简单的问题,将生疏的问题转化为熟悉的问题,将难以解决的问题转化为容易解决的问题,将待解决的问题转化为已解决的问题。教师在带领学生们学习一元二次方程的解法时,涉及的一个重要的数学思想——转化思想。无论是直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,都是运用了“转化”的思想,把待解决的问题(一元二次方程),通过转化,归结为已解决的问题(一元一次方程),也就是不断地把“未知”转化为“已知”的过程。那么,一元二次方程的解法中,如何把“未知”变为“已知”,实现方程的转化呢?这正是我们今天讨论的关键所在。
一、降次方法的讲解与转化思想的渗透
降次方法是非常重要的,也是一切解题方法和解题思想的开端。因此,教师可以通过情境导入的方式,来带领学生们了解降次思想与降次方法,让学生们明白降次在解一元二次方程中的重要性,从而让转化思想学生们的脑海中生根发芽[1]。
例如:教师在课堂开始之初,可以先问学生们这样一个问题:要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽分别是多少?然后,教师可以给学生们一些时间,让学生们自己就该问题进行讨论。在学生讨论方程的解法时,教师应注意引导学生根据降次的思想,利用配方的方法解决问题,进而体会配方法解方程的一般步骤。待学生们快要讨论完毕后,教师可以根据学生们的讨论情况来做一个归纳,即:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫作配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程。而后,教师可以在此基础之上,为学生们引入降次的概念,总结并归纳降次的思想,以此来为学生们进行初步渗透。
二、利用直接开平方法求解方程
所谓“直接开平方法”,即:根据平方式的概念特征,直接通过开平方的形式将一元二次方程转化为一元一次方程,最终使方程得解。因此,“直接开平方法”在很大程度上体现了降次思想在一元二次方程的应用,是数学转化思想在一元二次方程中的初级形态。
例如:解方程(3x+1)2 =4
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做
(2)方程左边是完全平方式(3x+1)2,右边=4>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
解:(3x+1)2 =4
∴3x+1=±2(注意不要丢解)
∴3x=1或-3
∴原方程的解为x1=1/3,2x=-1
三、利用配方法求解方程
通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫作配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程[2]。此方法体现降次思想最为明显,也是转化思想的重要运用方法。因此,教师可以先给学生们一个题目,让学生们进行讨论。在学生讨论方程的解法时,教师应注意引导学生根据降次的思想,利用配方的方法解决问题,进而体会配方法解方程的一般步骤,提升学生们解决数学问题的能力。
例如:用配方法求解一元二次方程2x2+12x+16=0。
解:一移(常数项移到方程右侧)2x2+12x=-16
二除(使二次项系数为1)x2+6x=-8
三配(把方程左侧配成完全平方式)
x2+6x+9=-8+9
x+3)2=1
x+3=±1
∴x1=-2,x2=-4
有的时候我们也需要用配方法求解代数式的最值,这种情况可以以这道题为例:求2x2+12x+16的最小值
2x2+12x+16
=2(x2+6x)+16
=2(x2+6x+9-9)+16
=2(x+3)2-18+16
=2(x+3)2-2
∵(x+3)2≥0,∴2(x+3)2-2≥-2
当x=-3时,代数式有最小值-2
四、利用公式法求解方程
所谓“公式法”,即:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式,(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。求根公式是由配方法得来的,也就是说公式本身的推导过程就是转化思想在解一元二次方程的过程当中发挥作用的过程[3]。因此,教师在带领学生们学习公式法解一元二次方程的过程中,首先要为学生们介绍公式的来源和推导过程,以此来帮助学生们进行理解;其次再教会学生们如何利用公式法求解一元二次方程,让学生们能够感受到属于数学的独特魅力。
首先,教師要为学生们介绍公式的来源和推导过程,以此来便于学生对公式的理解和接受。推导过程为:ax2+bx+c=0,a≠0
方程两边除以a得:
x2+(b/a)x+c/a=0
配方——
x2+2(b/2a)x+(b/2a)2+c/a-(b/2a)2=0
[x+(b/2a)]2=(b/2a)2-c/a=(b2-4ac)/(4a2)
其次,教师要为学生们讲解如何通过公式法来解方程,案例如下:2x2-4x-1=0用公式法解该方程。
解:(1)a=2,b=4,c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0
,。
结语
综上所述,转化思想贯穿于一元二次方程的各个解法当中。因此,教师在教学过程中应将转化思想渗透于教学过程当中,以此来为学生们今后的学习和发展奠定一个坚实的基础。
参考文献
[1]龙海英.数学转化思想在解一元二次方程中的应用[J].新课程·中学,2019(4):49.
[2]王红权,李馨.从系统的观点看一元二次方程的解法教学设计[J].数学教育学报,2019,28(3):94-97.
[3]徐坤.一元二次方程的应用[J].新高考(升学考试),2015(5):31-33.