基于改进牛顿学习律的超声波电机转速控制

周 颖，宋 璐，史敬灼

(河南科技大学 电气工程学院，河南 洛阳 471023)

0 引 言

用于超声波电机运动控制的迭代学习控制策略，表现出较好的控制性能。由于传统迭代学习控制策略的复杂性相对较低，在超声波电机产业化进程中有着良好的应用前景。超声波电机具有明显的非线性运行特征[1]，为改进控制性能，有必要考虑非线性迭代学习控制策略。

文献[2]利用数值分析中的牛顿法，给出一种算法简单的非线性迭代学习控制策略——牛顿学习律，并通过理论分析表明牛顿学习律具有比线性学习律更快的学习收敛速度。牛顿学习律源自牛顿法。在数值分析中，牛顿法用来求非线性方程的根，而用在控制系统中，则是求取使误差为零的控制量值。即，牛顿学习律是用牛顿法来求解控制量-误差关系方程这一特定的非线性方程。既然是同源的，牛顿学习律自然具有与牛顿法相同的基本特征，例如收敛性。牛顿法能够收敛的必要条件是被求解方程的二阶导数大于零，牛顿学习律也是如此。然而在以驱动频率为控制量的情况下，超声波电机控制量-误差关系表达式的二阶导数小于零。于是，采用牛顿学习律进行超声波电机迭代学习控制时，需要采用牛顿下山法等措施以避免学习发散。在数学领域，为解决牛顿法这一固有缺陷，研究者进行了多种尝试。文献[3]利用李雅普诺夫方法，构建同解方程来改变非线性方程二阶导数的符号，构造了一种改进牛顿法。本文基于该方法，结合同解方程和割线法构造了闭环改进牛顿迭代学习控制算法，用于超声波电机转速控制。

文献[4]引入一阶低通滤波环节去除控制过程中的信号干扰。文献[5]采用一阶低通滤波器消除噪声扰动，提高系统暂态过程的鲁棒性。

本文针对牛顿学习律不能保证迭代学习收敛的问题，给出一种改进的牛顿学习律，并引入低通滤波器抑制转速波动。实验结果表明，所述控制算法能够渐近改善转速控制性能，控制过程平稳。

1 改进牛顿迭代学习控制算法

考虑下列非线性方程的求解问题

f(x)=0

(1)

构造式(1)的同解表达式

g(x)=eaxf(x),a≠0

(2)

式中，a为常数。

则f(x)的单重根x*也是g(x)的单重根。为引入动力学系统，令

(3)

由此可知，v(x)≥0。

假设af(x)+f′(x)≠0成立，引入一动力学系统[3]

(4)

根据李雅普诺夫稳定性理论，函数v(x)满足

(1)v(x*)=0且v(x)>0；

-eax[f(x)]=-v(x)<0

由此证明，x*是式(4)所示系统渐近稳定的平衡点。

采用欧拉法解初值问题式(4)，得到求根迭代公式

(5)

式中，hk为步长。其值的选取应保证迭代过程具有单调性，即满足|f(xk+1)|<|f(xk)|；a为常数。

式(5)即为改进牛顿法的迭代求解公式，该式对应于待求解非线性方程式(1)的同解方程式(2)。从式(1)变为式(2)，增加一个乘积项eax，可以改变待求解非线性方程二阶导数的符号，从而使得该方程的迭代求解过程能够收敛。

例如，对于超声波电机转速控制而言，以电机的驱动频率为控制量，控制量与转速误差之间关系表达式f(x)的二阶导数小于零，如图1(a)所示。将其变换为式(2)形式，即对图1(a)所示函数关系乘以eax。a取不同值时，可得式(2)所示同解函数g(x)曲线如图1(b)所示。如图中所示，当a=0.5时，对应曲线近似为一条直线，二阶导数接近0；a>0.5时，曲线二阶导数大于0。因此，若将式(5)所示改进牛顿法用于超声波电机的迭代学习转速控制，只要常数a满足a>0.5，就能够保证迭代学习收敛，不必再附加牛顿下山法等措施以避免学习发散。

图1 二阶导数符号的变化

为将式(5)用于超声波电机的迭代学习控制，采用差商代替式(5)中的导数，得到改进牛顿学习律

(6)

式中，uk+1(i)、uk(i)分别为系统第k+1和第k次运行过程中i时刻的控制量；uk(i-1)为系统第k次运行过程中i-1时刻的控制量；nk(i)和nk(i+1)分别为系统第k次运行过程中i、i+1时刻的电机转速；ek(i+1)为系统第k次运行过程中i+1时刻的转速误差。

式(6)所得控制量与当前控制信息无关，是开环的迭代学习控制策略，难以有效、及时应对各种扰动带来的影响。为此，将式(6)中的ek(i+1)替换为ek+1(i)，构造闭环迭代学习律

(7)

迭代学习控制过程中，控制量增量的大小取决于式(7)等号右侧第二项的分式值。若分母中的分式值相对较小，会使控制量增量趋于步长hk与参数a的比值，成为一常数，失去了根据分母中分式所表达的被控对象控制特性来修正控制量的优点。由此，有必要增加分母中分式值的比重，故将式(7)修改为

(8)

式中，d为加权系数，常数。

通过DSP编程实现式(8)所示迭代学习控制器，进行迭代学习转速控制实验。实验用电机为Shinsei USR60型两相行波超声波电机，驱动主电路采用H桥结构。与电机同轴刚性连接的光电编码器，在线测量电机转速，控制器输出量为电机的驱动频率。

图2 转速阶跃响应曲线(hk=-30，空载)

以比例系数、积分系数分别为-1、-2的PI控制器进行第1次实验，控制参数设为hk=-30、a=0.6、d=-200，转速阶跃给定值30r/min，进行5次迭代学习控制实验，得图2所示实验结果。从图中可以看到，转速曲线上升过程存在较为明显的波动。

相同控制参数条件下，进行第2次、第4次交替加载0.2 Nm的闭环迭代学习控制实验，结果如图3所示。从图中可以看到，与空载情况相似，上升过程仍不平稳。

图3 转速阶跃响应曲线(hk =-30，第2、4次加载0.2 Nm)

2 滤波型迭代学习转速控制

前述转速控制实验结果表明，改进牛顿学习律能够在迭代学习过程中，逐次改进电机转速控制性能，控制性能较好。但转速响应过程曲线有较为明显的波动，稳健性不足。为解决这一问题，尝试引入低通滤波器对改进牛顿学习律进行修正。

在闭环迭代学习控制律式(8)中引入一阶低通滤波器Q，得

(9)

将一阶低通滤波器Q写为离散的数字形式

y(i)=(1-c)y(i-1)+cx(i)

(10)

式中，y(i)为i时刻的滤波输出信号，y(i-1) 为i-1时刻的滤波输出信号，x(i)为i时刻的被滤波信号，c为滤波器参数。

采用式(9)所示控制律进行实验时，取控制参数hk=-50，a=0.6，d=-200，c=0.2，转速阶跃给定值仍为30 r/min，实验结果如图4所示。与未引入滤波器时的转速响应实验结果图2对比，转速控制过程更加平稳，调节时间更小。

图4 转速阶跃响应曲线(c=0.2, hk=-50，空载)

改变转速阶跃给定值为90 r/min，令hk=-80，其它空载参数保持不变，重复相同的实验过程，得到转速阶跃响应实验结果如图5所示。在相同控制参数情况下，进行第2次、第4次交替加载0.2 Nm的迭代学习控制实验，实验结果如图6所示。转速响应没有超调，曲线更平滑。与空载情况下的结果图5对比，负载对控制性能的影响较小，表明所述控制策略对负载扰动具有一定的鲁棒性。

图5 转速阶跃响应曲线(c=0.2, hk=-80，空载)

图6 转速阶跃响应曲线(c=0.2, hk=-80，第2、4次加载0.2 Nm)

3 结 论

针对牛顿迭代学习律存在的固有缺陷，给出一种改进牛顿学习律，构建同解方程改变被控对象非线性控制关系的特征，保证其学习收敛。将改进牛顿迭代学习控制应用于超声波电机转速控制，为减小响应过程中的转速波动，引入一阶低通滤波器修正控制量。超声波电机不同转速给定值、空载及交替加载情况下的实验结果表明，所述迭代学习控制律不仅能够保证学习收敛，而且转速响应过程平稳，对负载扰动具有一定的鲁棒性。