“简单”的课，不简单地上*

胡 松 (江苏省南京市第二十九中学初中部 210000)

初中数学中，不同教学内容在教师心目中的难度各有不同，既有“全等三角形的判定”“二次函数的图象和性质”这样难啃的硬骨头，也有像“线段、射线、直线”“一元一次方程”这样“简单”的课．这些简单的课有几个基本特征：教材内容相对容易理解，甚至是学生自己看看就会；教学内容相对偏少，甚至是15分钟就能讲完；教学内容不常被评价，甚至是考试基本不考．但是，当笔者观摩并实践过很多这样的简单的课以后，发现简单的课其实并不简单，其实施过程中存在不少问题．本文就试着通过一些课例阐述如何把“简单”的课上得“不简单”．

1 挖掘简单知识背后不简单的思考

那些所谓学生自己看看就会的课，我们到底要让学生“会”什么？有的教师直接让学生自己看看书，或者用很短的时间把知识介绍一下．如果学生真的轻松就能掌握这些知识，那么教师就应该充分挖掘教材内容，利用空余出来的教学时间将蕴藏在内容背后的思考方式体现出来，为学生习得方法提供有利条件．

案例1苏科版七年级上册6.1“线段、射线、直线”

这是初中平面几何的第一节课，在很多教师看来除了三种图形的表示方法是初中阶段的新内容，其他都是在小学阶段就已熟悉的知识．但仔细分析本节课的内容可以发现隐藏其背后的几何学习的思考方式．线段、射线、直线是基本的几何图形，是构成其他复杂图形的要素，这三者间既有密切联系又有本质区别，它们的概念、性质、表示方法、画法等都是几何的重要基础知识，是后续学习图形和几何及其他数学知识的必备知识．从这里开始，我们将逐步帮助学生建立完整的数学语言体系，即“图形语言—文字语言—符号语言”，并逐步帮助学生弄清几何研究的基本思路，即从图形的形状、大小和位置关系的角度展开研究．所以，这节课是平面几何学习的起点，也是一个典型案例．

基于以上分析可以发现，本节课要在小学学习的基础上进一步认识线段、射线、直线，并掌握“两点确定一条直线”的基本事实，理解“确定”含义中的存在性和唯一性.不仅如此，还要初步学会几何语言的应用，能够根据图形选择恰当的文字和符号进行表述，能够理解文字和符号所表达的图形及关系．这样的几何研究的方法应该从第一节课就开始渗透．

挖掘出有深度的思考内容，教师就不会觉得简单到学生自己看看就会，课堂设计就一定不会单薄，反而能够丰满充实并且引发学生深入思考．

问题1 谈谈你对线段、射线、直线的认识．

问题2 请你分别画一条线段、射线、直线，再谈谈你对它们的认识.

问题3 如何区分你们画的这些不同的线段、射线和直线呢？

问题4 我们知道了线段、射线和直线的图形表达、文字表达和符号表示，那么直线和其他图形之间又有哪些关系呢？

问题5 观察下列图形(图1)，说出画图过程.

设计意图《义务教育数学课程标准(2011年版)》中，在小学4-6年级的课程内容中规定：结合实例了解线段、射线和直线．学生在小学已经认识了线段、射线、直线，问题1是对学生的原有知识进行的一次唤醒，激活学生知识结构中的生长点．

从问题1的会说到问题2的会画，要求更进一步，学生画线段、射线、直线，从形的角度直观思考它们的区别和联系，这比问题1里简单地要求学生辨识和认识的要求更高一点：在问题2中，要求学生能够从形状、大小的角度较为准确地进行描述，从而学习“延长”和“反向延长”的画图语言和动作，认识延长线和反向延长线．问题3是符号语言的登场．这个环节设计了一系列的问题串，让学生在自主探究中思考三者的表示方法，进而对线段、射线、直线的联系和区别有不断理性的认识．

几何研究图形的形状、大小和位置关系，研究完了前3个问题，也就经历了从“图形语言—文字语言—符号语言”的完整过程，接下来就应该研究图形的位置关系了.问题4需要让学生认识的基本位置关系是“点与线”和“线与线”，当然，学生可能还会提到直线与射线、直线与线段、射线与射线、射线与线段、线段与线段等关系．问题5的设计要求学生再从图形语言转化为符号语言和文字语言，有一定难度，尤其是符号语言和文字语言的描述，既要考虑到符号语言的规范性又要考虑到文字语言的逻辑性．

2 挖掘简单技能背后不简单的思维

有的“简单课”内容少、方法简单，学生很快掌握了技能，之后教师认为只需要通过大量训练进行巩固就能完成一节课的教学目标．这样理解技能的获得就把数学学习想得过于简单了．数学学习如果仅仅通过训练就可以达到目的，那么对学生能力的提升没有本质帮助．教师要能够研究方法的内涵，看看方法背后有没有数学思维值得挖掘，比如数学思维和其他内容之间是否一以贯之，数学技能的得来过程是否比结果更有价值等．

案例2苏科版七年级下册8.1“同底数幂的乘法”

从教材文本来看，这节课只要求学生掌握一个公式，即同底数幂的乘法公式．这个公式本身并不难推导，应用也比较单一，但这个乘法法则的背后承载着学习数学所需要的理性思维．“幂的运算”是初中代数“式的运算”的一部分，“幂”在初一学生的知识结构中应该属于单项式．因为在他们的认知里，a2，a3等都是幂，它们都是单项式.既然已学习了单项式的运算，为什么幂的运算要单独研究？这是第一个要思考的问题．其实在这一章里，负指数的引入让学生认识到幂(数字除外，如23)不一定是整式，这也是这一章单独研究的必要性的体现．其次，幂的运算应该和其他运算一样，既有加减，也有乘除、乘方．数学的一致性告诉我们，数的运算、式的运算都应该保持研究方法的一致性.为什么这一章没有研究加减运算？因为幂的加减运算中只有底数相同、指数相同的幂(数字除外，如23)才可以进行加减，法则就是整式加减的方法——合并同类项．最后，这一节研究的乘法运算为什么不叫“幂的乘法”而叫“同底数幂相乘”呢？这还是涉及到幂的乘法的特殊性．为什么同底数的两个幂(数字除外，如23)才可以相乘，而不同底数的幂不能相乘？是如何想到要把两个同底数幂相乘的？这样的思维过程不能不展示给学生，而不是告诉学生我们只学习同底数幂的乘法．

基于以上的分析，这节课大有文章可做．数学课不应只是教教材，更要培养学生的理性思维能力．教材里那些隐藏在方法法则四周而没有体现成显性文本的东西，往往正是我们需要挖掘的．这里，让学生体会幂的运算是数的运算的延续，是式的运算的一类，所以其研究思路保持一致，也应该从加减、乘除、乘方各种运算的角度进行研究．其中幂的加减运算使用了整式加减的法则(合并同类项)，因而这一章的研究从乘法开始．这样的教学把知识之间的逻辑关系展现给学生，把教学从一个公式扩展成一个过程、一种研究思路、一种思维方法．

有了这样的思考，教师会发现这节课有太多内容可以深挖，绝不是“15分钟”可以解决的内容了．课堂设计开放有度、引导有路，学生的数学素养便会随之得到提升．

问题1 光在真空中的速度约是3×108m/s，光在真空中穿行1年的距离为1光年．

请你算算：

(1)1光年约是多少km(1年以3×107s计算)？

(2)银河系的直径达10万光年，约是多少km？

(3)如果一架飞机的飞行速度为1 000 km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？

问题2 我们研究幂的运算有其必要性，那么我们先弄清楚两个问题：

(1)什么是幂？

(2)我们学习过哪些运算？

问题3 请你自行研究幂的加减法．

问题4 请你自行研究幂的乘法．

设计意图问题1给出需要幂的运算参与的实例，目的之一是体现本章学习的必要性，另一个目的是体现幂的乘法的运算，可以根据乘方意义来，但是比较繁琐．问题2提了两个关键问题．任何研究不搞清楚研究对象是无法展开活动的，搞清楚幂的运算就是要学生去和学过的知识进行不断的碰撞，发现其中的联系和区别，进而思考如何展开幂的运算的研究．问题3是教材中没有的内容，却是学生研究过程中自然产生的部分．在这个研究过程中，才会有幂的加法有的可以进行、有的不能进行这样的“思维冲突”，这个冲突是本章所有研究的必然产物，也是为乘法的研究做铺垫．幂有底数和指数之分，所以需要对加数分类讨论，分别研究发现只有最后一种可以相加，使用的法则是整式的加法法则．问题4是这节课的重点内容，也是前面两个环节之后的自然生成．这时候学生再看乘法就有了一定的思维高度，能够自行进行分类、猜想、推理论证了．

3 挖掘简单操作背后不简单的思想

有的内容涉及操作，这些操作看似对学生知识的掌握没有太大作用，甚至操作的问题考试不会考．于是，有的教师在课堂上也“简单操作”，要么用视频演示的方式，要么一带而过，或者干脆让学生课后自己“玩一玩”．细想来这些内容被安排在教材文本中一定是有其用意的，要么对知识的呈现起到推动作用，要么对知识本身起到验证作用，要么起到应用知识从而能内化成学生的数学素养的作用．这些是教师不能忽视的地方，需要深入挖掘．

案例3苏科版七年级上册5.1“丰富的图形世界”第二课时

第二课时的内容是“七巧板”．七巧板是启发智力的好伙伴．它能够把孩子对实物与形态之间的桥梁架构起来，培养观察力、想象力．七巧板的教育意义很多，形状概念、视觉分辨、视觉记忆、手眼协调等是针对低龄儿童的，初中生已经逐步成长为少年，在认知程度上精确性、概括性得以发展，在空间知觉上带有更大的抽象性，在观察力发展上目的性、持久性、精确性和概括性都有了显著的发展．这一内容安排在初一年段，但是在考试中几乎不会评价，所以很多教师觉得这节课就是“玩玩”．细想一下，对于初中生来说，研究“七巧板”就不能再像儿童时期那样没有目的或者目的模糊地观察、拼图了．立足于对几何图形的基本认识，发展学生的几何直观和空间想象能力成为这节课的基本目标．面对熟悉又有点陌生的七巧板，学生要能够通过观察说出七巧板各个图形之间的形状、大小和位置关系，再根据自己的观察制作七巧板；利用做出的七巧板进行拼图，并向同伴清晰地描述拼图的流程．这种数学运用的意识完全符合“用数学的眼光看、用数学的思维想、用数学的语言说”的核心素养．

对七巧板有了这样的认识，教师会理解教材这样编排的用意，七巧板也绝不是简单的“玩玩”而已．课堂设计就一定会既有高度又有深度．

问题1 你知道七巧板吗？你能说出七巧板中各图形之间的关系吗？

追问1 七巧板由哪些图形组成？

追问2 你关注到这些图形间有什么联系，有什么区别了吗？

问题2 根据刚刚观察分析的结论，用手中的纸片制作一个七巧板．

问题3 (1)请利用你所做的七巧板拼出你喜爱的图形，并向同伴说明你拼图的过程．(2)请把你的拼图过程讲给全班同学听，看看大家是否能准确地拼出你想要的图形．

设计意图问题1引导学生观察七巧板，理性地从每一块图形的整体和局部去分析图形的形状和大小，再从七块板之间的关系入手分析．这一环节既体现初中数学的抽象思维也训练了学生有条理地表达，通过对这些图形的各个要素的解读，进一步巩固学生的图形研究的思路和方法，并让学生进一步体会数学语言的精确和简练．问题2把那些经验转化为实践，让学生手脑并用制作七巧板．这一环节能够很好地培养学生动手动脑的能力，既运用了问题1中的经验，又为问题3做了工具的准备．问题3要求运用七巧板进行拼图，但这里的拼图不是单纯地拼，不是只追求图案美观，这里有两个层次的要求：一是能将自己的拼图过程准确表达出来，二是能够根据别人的表达将图形准确拼出来．

总之，“简单”的课要“不简单”地上．教师只有从教材本身出发，充分挖掘显性知识背后的隐形价值，引导学生经历丰富的数学活动，体验数学思想方法，方可真正发挥数学育人的价值功能，让学生体会数学学科的广度与深度，从而发展数学素养．