运载火箭姿态控制稳定性多速率陀螺组合策略

2020-04-15王建民张冬梅洪良友

宇航学报 2020年3期

王建民，张冬梅，洪良友，李宁

(1. 北京强度环境研究所可靠性与环境工程技术重点实验室，北京 100076；2. 北京强度环境研究所，北京 100076；3. 北京宇航系统工程研究所，北京 100076)

0 引言

运载火箭飞行姿态需要进行实时控制，为解决弹性振动和控制耦合问题，大型运载火箭一子级等需要采用速率陀螺组合方式进行飞行姿态控制，以平台和速率陀螺组合为例，其原理图如图1所示[1-2]，其中平台感应姿态角，速率陀螺感应角速率。这种作法是为了兼顾刚体姿态稳定性和弹性振动稳定性设计要求[3-7]。目前国内的运载火箭多采用每个姿态方向(俯仰、偏航、滚动)安装一个速率陀螺作为敏感元件，通过选择速率陀螺的合适安装位置，采取幅值稳定和相位稳定相结合的控制策略，达到弹性振动稳定的目的。选择速率陀螺的位置依赖弹性振动稳定设计方法，一般的原则是在模态频率离刚体增益交界频率比较远时，采用幅值稳定，通过在控制网络中加入陷波滤波器达到稳定，此时需要将速率陀螺尽量安放在对应模态振型斜率较小的位置(尽量靠近振型波幅的位置)；在模态频率离刚体增益交界频率比较近时，仍然用幅值稳定会降低刚体稳定裕度，此时可采用相位稳定，需要将速率陀螺安放在斜率符号比较明确的位置。满足上述速率陀螺安装位置要求并不容易，其原因为：(1)速率陀螺的安装位置受到许多实际安装条件的限制，如燃料储箱无法安装速率陀螺等；(2)火箭的飞行过程是时变的，模态参数不是一程不变的，振型波幅的位置是变化的，一个陀螺不容易满足飞行全程要求；(3)一个陀螺同时满足多个模态振型斜率要求比较困难，往往顾此失彼。在选择了速率陀螺安装位置后，还需要给出精度较高或不确定度较低的振型斜率。鉴于控制系统设计对速率陀螺安装位置及振型斜率不确定度的苛刻要求，目前火箭研制均采用实际尺寸的模态试验，试验最主要的目的是进行陀螺位置选择和振型斜率测量，实际工程中耗时耗力，代价巨大。未来重型运载火箭尺寸大大超过现有振动塔尺寸，开展全箭试验需要建立新的振动塔，耗费巨大。如果不建立振动塔，只能采用计算或子结构综合替代[8-9]，必然会增加振型斜率的不确定度，控制系统难以接受。为降低单速率陀螺位置选择的困难和斜率测量精度的要求，国外火箭有用多个速率陀螺代替单个陀螺的做法，但并未见到多个速率陀螺替代单个陀螺的详细使用方法。国内见到使用多个速率陀螺的报导均以提高控制系统冗余设计为目的[10-11]，而非弹性振动稳定性为目的。文献[3]提及了用多个速率陀螺组合替代单个速率陀螺用于弹性振动稳定性，但使用的陀螺数量应等于弹性振动稳定性所考虑的模态数量加1,且所有模态的弹性振动稳定性均采用幅值稳定方式。但工程应用中很难布置足够多的速率陀螺满足文献[3]的数量，另外大型火箭一阶模态频率较低，多采用相位稳定控制方式，二阶以上采用幅值稳定方式。鉴于此，本文给出了任意数量的速率陀螺组合代替单速率陀螺的斜率计算方法，计算方法能够兼顾控制系统相位稳定和幅值稳定要求，同时还推导了组合斜率不确定度的计算公式，并将不确定度纳入组合系数矩阵的计算当中。最后用一个型号实例说明了多个速率陀螺组合的方法，结果表明用多个速率陀螺组合更容易满足姿态控制系统弹性稳定性要求。组合陀螺的应用可以降低了对陀螺选位和斜率测量的精度要求，从而为利用计算或子结构综合替代全箭模态试验提供了可行途径。

图1 火箭姿态控制系统原理图Fig.1 Illustration of attitude control system for launch vehicle

1 多速率陀螺组合方法

为了说明问题，现仅在火箭的一个姿态方向上(如俯仰方向)进行阐述。设火箭俯仰方向上取n个陀螺安装位置，分布n个速率陀螺感应该方向的角速率。俯仰方向上的全箭第i阶弹性模态对应的斜率矩阵为：

(1)

式中:w′ij表示第i阶模态在第j(j=1，2，…，n)个点上的振型斜率值。刚体转动模态对应的振型斜率矩阵为：

(2)

试图用多个速率陀螺输出的组合代替单个陀螺，可采用线性叠加法，设第i阶组合斜率为：

(3)

这里[α]为1×n组合系数矩阵。因为刚体模态组合斜率必须为1，因此需要满足

[α]{w′0}=1

(4)

(5)

或写成矩阵形式为：

[α][w′0,w′1, …,w′n-1]=[1, 0, …, 0]

(6)

式中:[w′0,w′1, …,w′n-1]为方阵，假定{w′i}(i=0,1,2,…,n-1)之间互不相关(当多个安装位置选择合适时，这一假定可以满足)，[w′0,w′1, …,w′n-1]为非奇异矩阵，可以得到

[α]=[w′0]T[C]

(7)

其中

[C]=([w′0,w′1, …,w′n-1]·

[w′0,w′1, …,w′n-1]T)-1

(8)

按照式(7)获得的组合系数矩阵对多个陀螺感应到的信号进行组合，已经将1至n-1阶弹性响应降低或消除，幅值稳定自动满足。这一方法与文献[3]的方法基本一致。但在实际的工程应用中，很难做到安装足够多的速率陀螺，使得陀螺数等于控制系统弹性振动稳定需要考虑的弹性模态阶数加1，因为安装过多的速率陀螺会增加系统的复杂性、降低系统的可靠性，另外当速率陀螺过多时，很难有合适的安装位置使[w′0,w′1, …,w′n-1]非奇异。当使用的陀螺数少于控制系统设计所需考虑的弹性模态阶数加1时，式(5)为超定方程，无法精确满足，此时组合系数矩阵的计算式(7)不再适用。这种情况下，可以结合控制系统对每阶弹性模态稳定性的设计策略，采用优化的方法计算组合陀螺系数矩阵。如控制系统设计仍然采用1～N阶弹性模态幅值稳定策略，此时N>n-1，则可以采用如下优化方程计算组合陀螺系数矩阵：

(9)

这里0≤ri≤1(i=1,2,…,N)是第i阶组合斜率权重系数，可以按照控制系统稳定性对每阶组合斜率的幅值要求选取。当控制系统采用一阶相位稳定、2～N阶幅值稳定策略，则要求一阶组合斜率有明确的符号(不失一般性，这里取负号)，此时计算组合陀螺系数矩阵的优化方程为：

(10)

式中:δ为保证组合斜率符号确定的最小正数，一般可以取比组合斜率不确定度稍大一点。关于不确定度的计算方法将在第2节叙述。

(11)

火箭飞行过程随着燃料的消耗质量变化，其斜率[w′1],[w′2],…,[w′N]也随着飞行变化，但利用变化的斜率通过式(7)～(11)获得变化的组合斜率系数矩阵[α]，组合斜率可以使控制系统弹性振动稳定性在飞行全程有利，而单个陀螺则不容易兼顾飞行全程。

2 组合斜率的不确定度分析

单个速率陀螺的控制系统设计不仅需要给出斜率值而且要求给出斜率的不确定度，对于幅值稳定的模态，要求其不确定度较小，对于相位稳定的模态，要求有明确的正负号，或者说斜率的绝对值应大于其不确定度。由多个速率陀螺的组合斜率也应满足这一要求，因此需要分析组合斜率的不确定度。

采用多个陀螺的组合斜率，其不确定度来源于参与组合的每个陀螺安装位置的斜率不确定度。用均方差表示不确定度，利用式(3)可以给出组合斜率不确定度表达式：

(12)

(13)

当控制系统采用一阶模态相位稳定方式时，要求一阶斜率有明确的符号，用组合斜率时，要求其一阶组合斜率的绝对值要大于其不确定度，以保证其符号明确，此时计算组合斜率系数矩阵的优化方程(11)变为：

(14)

3 火箭实例分析

以某运载火箭为例说明多个速率陀螺组合的方法和较单个陀螺带来的好处。某运载火箭开展了地面全箭动力学特性试验，试验在一二级级间段处选择了一个速率陀螺作为一级俯仰方向的控制敏感元件，记为速率陀螺1，同时在仪器舱惯组上布置了一个速率陀螺测点，记为速率陀螺2，在尾段上布置了一个速率陀螺测点，记为速率陀螺3。试验时对上述三个陀螺位置测量了前三阶俯仰方向模态的斜率。全箭动特性试验针对6个秒状态分别开展了模态试验，测量获得每个秒状态的斜率值如表1所示。二阶和三阶采用幅值稳定，组合系数矩阵计算采用式(14)，利用Matlab中的优化函数fminimax。图2给出6个秒状态，单个陀螺、两个陀螺组合、三个陀螺组合的一阶、二阶、三阶斜率对比，以及不确定度放大系数。因二阶、三阶只关心斜率绝对值，不关心符号，因此图中给出的是斜率的绝对值。表2给出了不同秒状态、不同组合以及不同阶次的斜率值。从图中的二阶斜率、三阶斜率对比可以看出，2组合斜率值和3组合斜率值较单陀螺斜率值总体上有所降低，但降低幅度在不同秒状态下有所不同。2组合斜率在100 s时效果最好，二阶斜率降低了83%，三阶斜率降低了94%，但在121 s和140 s时组合斜率与单陀螺斜率基本相同，组合后效果不明显。3组合斜率无论是二阶还是三阶较单个陀螺斜率效果明显改善，尤其是前4个秒状态组合斜率值几乎接近0，只有140 s状态组合斜率与单个陀螺斜率基本相同，组合效果不明显。从控制系统设计弹性振动稳定要求看，一阶斜率因满足斜率值与不确定度的约束条件而能够保证符号的确定性，二阶、三阶组合斜率值较单个陀螺的斜率值普遍降低，尤其是100 s状态单个陀螺的斜率值过大，而组合后斜率变得很小，非常有利于控制系统弹性振动稳定性。从不确定度放大系数可以看出，组合后不确定度放大系数除了58 s 的3组合外其余均小于等于1，即使58 s的3组合不确定度放大系数大于1，但也接近1，所以组合斜率不确定度整体上比单个陀螺不确定度是减小的。

表1 试验测量的三个陀螺位置斜率值Table 1 The mode shape slope in three rate gyroscopes under test

图2 单陀螺与组合陀螺斜率对比Fig.2 Comparison of mode shape slope between single rate gyroscope and multiple rate gyroscopes grouping

表2 单陀螺与组合陀螺斜率对比Table 2 Comparison of mode shape slope between single rate gyroscope and multiple rate gyroscopes grouping

多个陀螺组合的另一个意义是可以降低对斜率测量不确定度的要求。姿态控制系统弹性振动稳定性设计时不仅要考虑斜率值，还要考虑斜率值的不确定度，当组合方式能够得到更好的斜率值时，对斜率值的不确定度就可以降低要求，从而降低对试验的要求，如果斜率不确定度要求降低，则对大型运载火箭可以用子结构试验替代全箭试验，甚至未来用计算替代全箭试验也存在可能性。