数学变式训练激活学生思维

金枝焕

【摘要】《数学课程标准》指出：“数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识，基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质，要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心，不断提高自主学习的能力”。因此，加强变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，从而真正把学生能力的培养落到实处。

【关键字】学变式训练 激活 学生思维

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（ 2020） 06-083-02

变式练习即变换问题中的条件、形式、内容或图形的位置，而问题的字实质不变;善于抓住问题的本质，且根据知识间的内在联系，把问题的可能范围向纵横方向引申和扩充。这不但有利于巩固知识，而且还能增强学生的应变创新能力及分析问题、解决问题的能力。下面是我在教学时采用的“变式训练”教学法的一点尝试。

【案例一】原题

已知二次函数的图像经过A（-3，0），B（l，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式。

变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B （1，0），求这个二次函数的解析式。

变式2：已知抛物线经过两点B（l，0），C（O，-3）。且对称轴是直线x=-l，求这条抛物线的解析式。

变式3：已知一次函数的图像经过点（1，0），且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A（1，m）、B（n，4）两点，又知二次函数的对称轴是直线x=2，求这两个函数的解析式。

对变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A、C两点的坐标。对变式2，引导学生抓住“对称轴是直线x=l”利用对称性，求点A的坐标。对变式3，要善于应用“化整为零、各个击破”的思想方法把一个综合题分解为几个简单问题来解决，逐步引导学生把变式3分解为三个简单问题：①求一次函数的解析式;②求m、n的值并画出草图分析;③求二次函数的解析式（转化为变式2）。

这组题目最终都是通过设二次函数一般式，利用三点法建立方程组来求解。通过这组“多题一解”变式训练，既可巩固强化解题思想方法，又让学生通过多题一解，抓住本质，触一通类，培养学生的变通能力，发展智力，激活思维，收到举一反三，少而胜多的效果。

【案例二】原题

如图1，分别以RtABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为Sl、S2、S3，，则Sl、S2、S3之间的关系是

变式1：如图2，如果以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为sl、S2、S。，则sl、S2、S3之间的关系是

变式2：如图3，如果以Rt△ABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为Sl、S2、S3，则sl、S2、S。之间的关系是

变式3：如果以Rt△ABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3，为使sl、S2、S3之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。

变式4： 如图4， 梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为sl、S2、S3，则sl、S2、S3之间的关系是

变式5： 如图5， 梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则Sl、S2、S3之间的关系是

变式6： 如图6， 梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作半圆，其面积分别为Sl、S2、S3，则Sl、S2、S3之间的关系是

上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦;既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。

【案例三】原题

如图1，在平行四边形ABCD中，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由。（引导学生分析，完成此例题）

变式1：若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为BE=DF，其它条件不变，结论成立吗？为什么？

变式2：若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为E、F为直线BD上两点且BE=DF，结论成立吗？为什么？

变式3：如图2：在平行四边形ABCD中，H、G、E、F分别为线段BO、DO、AO、CO的中点，问四边形EGFH是平行四边形吗？为什么？

变式4：如图3在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个点;G、H是对角线BD上的两点。若AE=CF，DG=BH，上述结论仍旧成立吗？

变式5：在图l中，若四边形AECF是平行四边形，B、D为直线EF上两点，且BE=DF，四边形ABCD是平行四边形吗？

变式6：在图1中，若四边形ABCD是矩形，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是矩形吗？

变式7：在图l中，若四边形ABCD是菱形，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是菱形吗？

这组题中，例题主要是利用“对角線互相平分的四边形是平行四边形”这个判定来证明四边形AECF是平行四边形。变式1引导学生抓实质，利用例题的判定方法，进一步熟练此判定。变式2、变式3把例题和变式l中点E、F所具有的特殊性规律变为一般性规律，培养了学生的由特殊到一般的归纳分析能力。变式4、变式5在“变”的过程中在逐步加深，让学生深刻理解平行四边形的判定定理的应用，变式6、变式7把原题进一步引向矩形、菱形，极大地锻炼了学生的思维深度、广度，提高了数学解题能力和探究能力。

【案例四】原題

如图1已知：点0是等边△ABC内一点，OA=4，OB=5，OC=3，求∠AOC的度数。

变式1：

如图2在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2，求∠AOC的度数。

变式2

如图3，点0是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=135°

试问：（ 1）以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形？若能，请求出三角形各内角的度数;若不能，请说明理由

（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？

一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论;也可以保留条件，改变结论;或者同时改变条件和结论;也可以将某项条件与结论对换等等。

【案例五】原题

已知：如图1，△AEC、△ABD都是等边三角形且B、A、C在同一直线上，连线BE、CD。请说明BE=CD的理由

变式一：条件不变、观察图形探究结论

如图2设BE、CD相交于点S，AD、BE相交于点M，AE、CD相交于点N，根据图形你还能写出哪些结论，并说明理由。

变式二：图形旋转，探究原结论是否成立

如图3：△AEC绕着点A转动时

（1）试问：BE和DC还相等吗？

（2）设DC与BE的交点为F，问：在△AEC转动过程中，∠DFB的大小是否发生变化？

变式三：在变式二的基础上、增加条件探求结论

如图4，设DC、BE的中点分别为M、N连结AM、AN、MN在△AEC绕着点A转动的过程中，请判断△AMN的形状。

本题是典型的“一题多图”型的变式训练，通过把图形中的其中一个三角形旋转，培养学生运动哲学观点，把图形同静态变为动态，创设了在运动中探索规律的情境，能对培养学生一定的创新意识，同时可以让学生掌握类比的数学思想。

以上介绍了几种基本的数学变式教学，在教学中这样的例子还很多。其实数学变式训练不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习的需要，遵循学生的认知规律而设计，其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用——理解一一形成技能——培养能力”的认知过程。因此，教学中数学变式训练设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的度，要有目的性，要起到引导、激发学生思维活动的作用。在变式教学中应该始终以学生为教学的主体，教师不断引导学生去思考和发现问题，最终由学生来解决问题，切实提高学生的能力。